7.1 圆的概念、定理
一、圆的相关概念
1、定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个________旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆.
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于________（半径）；
（2）到定点的距离等于________的点都在同一个圆上.
即：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的________.
2、弦：连接圆上任意两点的________叫做弦，经过圆心的弦叫做________.
3、弧：圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧.
（1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做________；
（2）大于半圆的弧叫做________，小于半圆的弧叫做________；
（3）能够重合的两个圆叫做________；
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________.
4、圆心角：顶点在________上的角叫做圆心角.
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆________，我们把这样的角叫做圆周角.
6、对称性：圆是________对称图形，任何一条直径所在________都是圆的对称轴；圆也是________对称圆形，对称中心是圆心，且具有旋转形不变的性质.
二、垂径定理
1、垂直于弦的直径________这条弦并且平分弦所对的两条________.
2、推论：
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论，称为知二推三.
（1）平分弦所对的优弧
（2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
（3）平分弦（不是直径）
（4）垂直于弦
（5）过圆心
三、弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________，所对的弦的________也相等.
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个________、两条________、两条________或两弦的________中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都________.
四、圆周角定理：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
2、推论：
（1）同弧或等弧所对的________相等；
（2）半圆（直径）所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________.
五、圆内接多边形：
1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接________，这个圆叫做这个多边形的________.
2、定理：圆的内接四边形的对角________，并且任何一个外角都等于它的________.
考点一：圆的相关概念
下列结论正确的是（ ）
A. 经过圆心的直线是圆的对称轴???????????????????? B. 直径是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴?????????????????? D. 与直径相交的直线是圆的对称轴
变式跟进1（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲.乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
/
考点二：垂径定理
垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A. ①②?③④ B. ①③?②④ C. ①④?②③ D. ②③?①④
变式跟进2如图，为⊙的弦， 于点．若， ，则⊙的半径长为__________．
/
考点三：弧、弦、圆心角、弦心距
如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
/
变式跟进3如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
/
考点四：圆周角定理
如图，A、B、C三点都在⊙O上，若∠BOC=80°，则∠A的度数等于（ ）
/
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
变式跟进4如图，的直径AB的长为10，弦AC的长为的平分线交于点D．
求BC的长； 求弦BD的长．
/
考点五：圆内接四边形
如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是( )
/
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
变式跟进5如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，AC平分∠BCD.
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)若BD=6cm，求⊙O的半径.
/
一、单选题
1.（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1 ， O2为圆心，
1
2
为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（? ） /
A.?π????????????????????????????????????????B.?
1
2
π????????????????????????????????????????C.?
1
4
π????????????????????????????????????????D.?2π
2.（2016?舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则
????
∧
的度数是（ ） /
A.?120°????????????????????????????????????/B.?135°????????????????????????????????????/C.?150°????????????????????????????????????/D.?165°
3.（2017?河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（?? ） /
A.?18°???????????????????????????????????????B.?36°???????????????????????????????????????C.?54°???????????????????????????????????????D.?72°
4.（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（?? ） /
A.?2米????????????????????????????????????/B.?2.5米????????????????????????????????????/C.?2.4米????????????????????????????????????/D.?2.1米
5.（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（?? ）
/
A.?26π???????????????????????????????????B.?13π???????????????????????????????????C.?
96??
5
???????????????????????????????????D.?
39
10
??
5
6．（2018?南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
/
A．58° B．60° C．64° D．68°
7．（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
/
A．
2
5
5
B．
5
5
C．2 D．
1
2
8．（2018?锦州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=2
2
,则AE2+BE2的值为 （ ）
/
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题
9．（2016?泉州）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE= ．
/
10.（2016?益阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为________．
/
11.（2017?大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在
????
上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为
5
，则正方形的边长为________． /
12.（2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________. /
13.（2017?永州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是
????
的中点，点E是
????
上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=________度． /
14．（2018?吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，
????
=
????
，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
/
15．（2018?毕节）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．
/
16．（2018?绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
/
三、解答题
17．（2016?宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2
3
，求CD的长．
/
18.（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径 （1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求 ??
??
2
+??
??
2
的值
/
19．（2018?青海）如图△??????内接于⊙??，∠??=
60
°
，CD是⊙??的直径，点P是CD延长线上一点，且????=????．
(1)求证：PA是⊙??的切线；
(2)若????=
5
，求⊙??的直径．
/
20．（2018?福建（B卷））如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=/DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
/
一、单选题
1.（2017·青岛一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为（?? ）
/
A.?45°?????????????????????????????????????/B.?90°?????????????????????????????????????/C.?100°?????????????????????????????????????/D.?135°
2.（2017·洛阳三模）把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径（?? ）
/
A.?3cm?????????????????????????????????B.?3.25cm?????????????????????????????????C.?2
3
cm?????????????????????????????????D.?4cm
3.（2017·南阳三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是
????
上一点，且
????
=
????
，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（?? ）
/
A.?45°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?55°???????????????????????????????????????D.?60°
4.（2017·临沂三模）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（?? ） /
A.?
2
????????????????????????????????????????/B.?1????????????????????????????????????????/C.?2????????????????????????????????????????/D.?2
2
5.（2017·成都二模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，若∠EDF=50°，则∠C的度数为（?? ）
/
A.?40°??????????????????????????????????????/B.?50°??????????????????????????????????????/C.?65°??????????????????????????????????????/D.?130°
6．（2018·福州模拟）如图，3个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若??也在格点上，且∠AED=∠ACD，则∠AEC 度数为 （ ）
/
A．75° B．60° C．45° D．30°
7．（2018?鸡西模拟）已知点M、N在以AB为直径的圆O上，∠MON=x°，∠MAN= y°， 则点(x，y)一定在（ ）
A．抛物线上 B．过原点的直线上 C．双曲线上 D．以上说法都不对
8．（2018?苏州模拟）下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆； ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2018?安庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD=4，BD=5，则OA的长度为（ ）
/
A．
27
6
B．
15
6
C．
25
6
D．
2
3
10．（2018?宝鸡二模）如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是
????
上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为（ ）
/
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
2
D．
3
5
10
二、填空题
11.（2017·深圳二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=________°． /
12.（2017·合肥模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2
3
，则阴影部分的面积为________． /
13.（2017·十堰模拟）如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，
????
=
????
=
????
，则CM+DM的最小值为________． /
14．（2018?张家界模拟）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=___°．
/
15．（2018?南昌三模）如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝_______度．
/
16．（2018?山西模拟）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将
????
沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的
????
上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
/
三、解答题
17.（2017·南通一模）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．
求证：AE=BF． /
18.（2017·天津二模）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点． 如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长； 如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求
????
????
的值． /
19．（2018?连云港模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
/
20．（2018?哈尔滨调研）如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，点E为弧AD上一点，连接CE、DE，CD与AB交于点N．
（1）如图1，求证：∠AND=∠CED；
（2）如图2，AB为⊙O直径，连接BE、BD，BE与CD交于点F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求证：CD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF，若BE=BD+4，BC=2
10
，求线段OF的长．
/
/
7.1 圆的概念、定理
一、圆的相关概念
1、定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
即：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合.
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
（1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（2）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；
（3）能够重合的两个圆叫做等圆；
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4、圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角.
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
6、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称圆形，对称中心是圆心，且具有旋转形不变的性质.
二、垂径定理
1、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.
2、推论：
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论，称为知二推三.
（1）平分弦所对的优弧
（2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
（3）平分弦（不是直径）
（4）垂直于弦
（5）过圆心
三、弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.
四、圆周角定理：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2、推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
五、圆内接多边形：
1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
考点一：圆的相关概念
下列结论正确的是（ ）
A. 经过圆心的直线是圆的对称轴???????????????????? B. 直径是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴?????????????????? D. 与直径相交的直线是圆的对称轴
【答案】A
【解析】因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A选项正确,
B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误,
C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误,
D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选A.
【点评】本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性.
变式跟进1（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲.乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
/
【答案】（1）相等；（2）相等.
【解析】解：（1）BC=AB-AC=10，
甲所走的路径长=?2?π?=?2?π?=20π（m），
乙所走的路径长=?2?π?+?2?π?=?2?π?+?π?=20π（m），
所以两人所走路程的相等；
（2）两人走的路程远近相同．理由如下：甲所走的路径长=?2?π?=π?AB，
乙所走的路径长=?2?π?+?2?π?+?π?=π（AC+CD+DB）=π?AB，
即两人走的路程远近相同．
【点评】（1）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC和BC为直径的两个半圆长的和，然后根据圆的周长公式进行计算，再比较大小即可；
（2）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC、CD和DB为直径的三个半圆长的和，然后根据圆的周长公式分别计算他们所走的路径，再比较大小即可.
考点二：垂径定理
垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A. ①②?③④ B. ①③?②④ C. ①④?②③ D. ②③?①④
【答案】B
【解析】垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧，故本题选B．
【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理及其推论即可得出答案.
变式跟进2如图，为⊙的弦， 于点．若， ，则⊙的半径长为__________．
/
【答案】
【解析】解：∵，
∴为的中点，
∴，
在中， ， ，
∴．
∴⊙的半径为．
故答案为：
【点评】利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，进行解题即可.
考点三：弧、弦、圆心角、弦心距
如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
/
【答案】75
【解析】解：∵，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角也相等，熟知相关性质是解题的关键.
变式跟进3如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
/
【答案】证明见解析.
【解析】证明：如图,∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴AE=BE,CF=DF,在△OBE与△ODF中,
,
∴△OBE≌△ODF（HL）,
∴BE=DF,2BE=2DF,
即AB=CD.
/
【点评】先利用HL定理可证得△OBE≌△ODF,可证BE=DF,继而可证AB=CD.
考点四：圆周角定理
如图，A、B、C三点都在⊙O上，若∠BOC=80°，则∠A的度数等于（ ）
/
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
【答案】B
【解析】解：由圆周角定理，得：∠A=∠BOC=40°．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理，结合图形并熟练应用圆周角定理是解题的关键.
变式跟进4如图，的直径AB的长为10，弦AC的长为的平分线交于点D．
求BC的长； 求弦BD的长．
/
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC===5；
（2）如图，连接BD，同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5．
/
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
考点五：圆内接四边形
如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是( )
/
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
【答案】B
【解析】解：四边形是圆内接四边形，
故选B.
【点评】利用圆内接四边形的对角互补即可解答.
变式跟进5如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，AC平分∠BCD.
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)若BD=6cm，求⊙O的半径.
/
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：∵AC平分∠BCD，∠BCD=120° ,
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∵∠ACD=∠ABD, ∠ACB=∠ADB .
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∴△ABD是等边三角形.
（2）解：作直径DE,连结BE
/
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°
∴∠BED=∠BAD=60°
∵DE是直径,
∴∠EBD=90°.
∴∠EDB=30°.
∴DE=2BE .
设EB=x,则ED=2x,
∴（2x）2-x2=62.
∵x＞0.
∴.
∴
即.
【点评】本题目是一道圆的简单证明题目，以圆的内接四边形为背景，圆的内接四边形的对角互补，在圆中往往通过连接直径构造直角三角形.在通过三角函数或勾股定理来求解线段的长度.
一、单选题
1.（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1 ， O2为圆心，
1
2
为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（? ） /
A.?π????????????????????????????????????????B.?
1
2
π????????????????????????????????????????C.?
1
4
π????????????????????????????????????????D.?2π
【答案】B
【解析】解：π×12×
1
2
=π×1×
1
2
=
1
2
π． 答：图中阴影部分的面积为
1
2
π． 故选：B． 【点评】考查了圆的认识，关键是熟练掌握半圆的面积公式，注意对称平移思想的应用． 将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解．
2.（2016?舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则
????
∧
的度数是（ ） /
A.?120°????????????????????????????????????/B.?135°????????????????????????????????????/C.?150°????????????????????????????????????/D.?165°
【答案】C
【解析】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=
1
2
BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°， 则∠BOC=150°， 故
????
∧
的度数是150°． 故选：C． / 【点评】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
3.（2017?河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（?? ） /
A.?18°???????????????????????????????????????B.?36°???????????????????????????????????????C.?54°???????????????????????????????????????D.?72°
【答案】B
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴
????
=
????
， ∴∠CAB=∠BAD=36°， ∵∠BCD=∠BAD， ∴∠BCD=36°， 故选B． 【点评】根据垂径定理推出
????
=
????
，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
4.（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（?? ） /
A.?2米????????????????????????????????????/B.?2.5米????????????????????????????????????/C.?2.4米????????????????????????????????????/D.?2.1米
【答案】B
【解析】连接OF，交AC于点E，
/ ∵BD是⊙O的切线， ∴OF⊥BD， ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC∥BD， ∴OE⊥AC，EF=AB， 设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE=
????
2
=
????
2
=0.75米， OE=R﹣AB=R﹣0.25， ∵AE2+OE2=OA2 ， ∴0.752+（R﹣0.25）2=R2 ， 解得R=1.25． 1.25×2=2.5（米）． 答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米． 故答案为：B． 【点评】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
5.（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（?? ）
/
A.?26π???????????????????????????????????B.?13π???????????????????????????????????C.?
96??
5
???????????????????????????????????D.?
39
10
??
5
【答案】B
【解析】解：连接OA，
/ ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴AM=
1
2
AB=6， ∵OM：MD=5：8， ∴设OM=5x，DM=8x， ∴OA=OD=13x， ∴AM=12x=6， ∴x=
1
2
， ∴OA=
1
2
×13， ∴⊙O的周长=2OA?π=13π， 故选B． 【点评】连接OA，根据垂径定理得到AM=
1
2
AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=
1
2
×13，于是得到结论．
6．（2018?南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
/
A．58° B．60° C．64° D．68°
【答案】A
【解析】根据????=????，根据等边对等角得到∠??=∠??????=
32
°
,根据????是直径，得到∠??????=
90
°
,根据直角三角形的性质即可求得∠??的度数.
解：因为????,????均为半径，
所以????=????，
所以∠??=∠??????=
32
°
,
因为????是直径，
所以∠??????=
90
°
,
在△??????中，
∠??=
90
°
?∠??=
58
°
.
故选：A.
【点评】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
7．（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
/
A．
2
5
5
B．
5
5
C．2 D．
1
2
【答案】D
【解析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.
解：∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB=
1
2
，
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
8．（2018?锦州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=2
2
,则AE2+BE2的值为 （ ）
/
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
=
4
2
=16,由此即可得结论.
解：∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=2
2
，
∴EF=4；
连接BD，
/
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中，??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
=
4
2
=16,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.
二、填空题
9．（2016?泉州）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE= ．
/
【答案】2：3．
【解析】已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，根据相交弦定理得到AE?BE=CE?DE，所以AE：DE=CE：BE=2：3.
10.（2016?益阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为________．
/
【答案】115°
【解析】解：连接OC，如右图所示， 由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°， ∴∠COB=50°， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=65°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠D+∠ABC=180°， ∴∠D=115°， 故答案为：115°． / 【点评】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11.（2017?大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在
????
上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为
5
，则正方形的边长为________． /
【答案】2
【解析】解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=
??
2
，PN=a，
/ 在Rt△OPN中， ON2+PN2=OP2 ， 即（
??
2
）2+a2=（
5
）2 ， 解得a=2． 故答案为：2． 【点评】连结半径，构造出直角三角形，利用勾股定理建立方程求出边长.
12.（2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________. /
【答案】90°
【解析】解：∠DAE与∠DOE在同一个圆中，且所对的弧都是
????
， 则∠DOE=2∠DAE=2×45°=90°. 故答案为90°. 【点评】运用圆周角与圆心角的关系即可解答.
13.（2017?永州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是
????
的中点，点E是
????
上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=________度． /
【答案】100
【解析】如图，
/ 连接AE， ∵点D是
????
的中点， ∴∠AED=∠CED， ∵∠CED=40°， ∴∠AEC=2∠CED=80°， ∵四边形ADCE是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°， 故答案为：100． 【点评】可利用等弧所对的圆周角相等，连结AE，构造出另一个圆周角∠AED=∠CED，同时构造出圆内接四边形AECD，利用其性质对角互补即可求出.
14．（2018?吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，
????
=
????
，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
/
【答案】29
【解析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=
1
2
∠BOC求解即可；
解：连接OC，
/
∵
????
=
????
，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=
1
2
∠BOC=29°，
故答案为29．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2018?毕节）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．
/
【答案】30°
【解析】连接OC,由题意得出△AOC是等边三角形即可解答.
解：如图，连接OC．
/
∵AB是直径，
????
=
????
=
????
，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【点评】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识.
16．（2018?绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
/
【答案】10或70
【解析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.
解：如图，作半径????⊥????于C，连接OB，
/
由垂径定理得：????=
1
2
AB=
1
2
×60=30cm，
在????△??????中，????=
50
2
?
30
2
=40????，
当水位上升到圆心以下时??水面宽80cm时，
则????′=
50
2
?
40
2
=30????，
水面上升的高度为：40?30=10????；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70????，
综上可得，水面上升的高度为30cm或70cm，
故答案为：10或70．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
三、解答题
17．（2016?宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2
3
，求CD的长．
/
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=/BC=/，由割线定理可证得结论．
解：（1）∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）连接AE，
/
∵AB为直径，
∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=/BC=/，
∵CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，
∴/?2/=4CD，
∴CD=/．
18.（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径 /
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求 ??
??
2
+??
??
2
的值
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径， ∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB, 同理AP=AE, 又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ∴CP=BE, 在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ∴CP2+PB2=PE2=4.
【点评】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证. （2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
19．（2018?青海）如图△??????内接于⊙??，∠??=
60
°
，CD是⊙??的直径，点P是CD延长线上一点，且????=????．
(1)求证：PA是⊙??的切线；
(2)若????=
5
，求⊙??的直径．
/
【答案】（1）见解析；（2）⊙??的直径为2
5
．
【解析】(1)连接OA，根据圆周角定理求出∠??????，再根据同圆的半径相等从而可得∠??????=∠??????=
30
°
，继而根据等腰三角形的性质可得出∠??=
30
°
，继而由∠??????=∠???????∠??，可得出????⊥????，从而得出结论；
(2)利用含
30
°
的直角三角形的性质求出????=2????，可得出?????????=????，再由????=
5
，可得出⊙??的直径．
解：(1)连接OA，如图，
/
∵∠??=
60
°
，
∴∠??????=2∠??=
120
°
，
又∵????=????，
∴∠??????=∠??????=
30
°
，
又∵????=????，
∴∠??=∠??????=
30
°
，
∴∠??????=∠???????∠??=
90
°
，
∴????⊥????，
∴????是⊙??的切线．
(2)在????△??????中，∵∠??=
30
°
，
∴????=2????=????+????，
又∵????=????，
∴????=????，
∵????=
5
，
∴2????=2????=2
5
．
∴⊙??的直径为2
5
．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
20．（2018?福建（B卷））如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=/DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）20°或40°．
【解析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=
1
2
AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
解：（1）证明：如图1，
/
∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=
3
DH，
∴tan∠ACB=
????
????
=
3
????
????
=
3
，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=
1
2
AC，
∴DH=
1
2
AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
/
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=
1
2
AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
/
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【点评】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想．
一、单选题
1.（2017·青岛一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为（?? ）
/
A.?45°?????????????????????????????????????/B.?90°?????????????????????????????????????/C.?100°?????????????????????????????????????/D.?135°
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D=180°． ∴∠D=180°﹣135°=45°． ∴∠AOC=90°． 故选；B． 【点评】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数，然后依据圆周角定理求解即可．
2.（2017·洛阳三模）把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径（?? ）
/
A.?3cm?????????????????????????????????B.?3.25cm?????????????????????????????????C.?2
3
cm?????????????????????????????????D.?4cm
【答案】B
【解析】解：连接OA交BC于点E， 设OB=r， ∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB， ∴BE=
1
2
AB=
1
2
×6=3cm， 在Rt△BOE中， OE2+BE2=OB2 ， 即（r﹣2）2+9=r2 ， 解得r=
13
4
=3.25cm． 故选B． / 【点评】连接OA交BC于点E，根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．
3.（2017·南阳三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是
????
上一点，且
????
=
????
，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（?? ）
/
A.?45°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?55°???????????????????????????????????????D.?60°
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°． ∵
????
=
????
，∠BAC=25°， ∴∠DCE=∠BAC=25°， ∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°． 故选B． 【点评】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
4.（2017·临沂三模）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（?? ） /
A.?
2
????????????????????????????????????????/B.?1????????????????????????????????????????/C.?2????????????????????????????????????????/D.?2
2
【答案】A
【解析】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′， 则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′， ∵∠AMN=30°， ∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°， ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON=
1
2
∠AON=
1
2
×60°=30°， 由对称性，∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=
2
OA=
2
×1=
2
， 即PA+PB的最小值=
2
． 故选：A． / 【点评】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=
2
OA，即为PA+PB的最小值．
5.（2017·成都二模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，若∠EDF=50°，则∠C的度数为（?? ）
/
A.?40°??????????????????????????????????????/B.?50°??????????????????????????????????????/C.?65°??????????????????????????????????????/D.?130°
【答案】C
【解析】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB， ∴∠OED=∠OFD=90°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 由圆周角定理得，∠C=
1
2
∠AOB=65°， 故选：C． 【点评】根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．
6．（2018·福州模拟）如图，3个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若??也在格点上，且∠AED=∠ACD，则∠AEC 度数为 （ ）
/
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【解析】将圆补充完整，利用圆周角定理找出点E的位置，再根据菱形的性质即可得出△CME为等边三角形，进而即可得出∠AEC的值．
解：将圆补充完整，找出点E的位置，如图所示．
/
∵弧AD所对的圆周角为∠ACD、∠AEC，
∴图中所标点E符合题意．
∵四边形∠CMEN为菱形，且∠CME=60°，
∴△CME为等边三角形，
∴∠AEC=60°．
故选B.
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点E的位置是解题的关键．
7．（2018?鸡西模拟）已知点M、N在以AB为直径的圆O上，∠MON=x°，∠MAN= y°， 则点(x，y)一定在（ ）
A．抛物线上 B．过原点的直线上 C．双曲线上 D．以上说法都不对
【答案】B
【解析】由圆周角定理得出∠MON与∠MAN的关系，从而得出x与y的关系式，进而可得出答案.
解：∵∠MON与∠MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角，
∴∠MAN=
1
2
∠MON，
∴??=
1
2
?? ，
∴点(x，y)一定在过原点的直线上.
故选B.
【点评】本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
8．（2018?苏州模拟）下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆； ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆周角定理对③行判断，根据直径对④判断．
解：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以①错误；不共线的三点确定一个圆，所以②错误；在圆中，任何一条弦都对应着两条弧，而这两条弧一般是不相等的，只有弦是直径时，所对的两条弧才相等，故③错误；直径为圆中最长的弦，故④正确；
故选：A.
【点评】本题考查的是圆，熟练掌握垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论和确定圆的条件是解题的关键.
9．（2018?安庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD=4，BD=5，则OA的长度为（ ）
/
A．
27
6
B．
15
6
C．
25
6
D．
2
3
【答案】C
【解析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由勾股定理求出BH=3，设OD=x，则OH= x-3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OD，如图所示：
/
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵HD=4，BD=5，
∴BH=3，
设OD=x，则OH= x-3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2=（x-3）2+42，
解得：x=
25
6
，
∴OA=OD=
25
6
，
故选C．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
10．（2018?宝鸡二模）如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是
????
上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为（ ）
/
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
2
D．
3
5
10
【答案】A
【解析】连接BD，根据圆周角定理可得cos∠BDC=cos∠BPC，又BD为直径，则∠BCD=90°，设DC为x，则BC为2x，根据勾股定理可得BD=
5
x，再根据cos∠BDC=
????
????
=
??
5
??
=
5
5
，即可得出结论.
解：连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD过圆心O，
∵∠BDC=∠BPC（圆周角定理）
∴cos∠BDC=cos∠BPC
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵
????
????
=
1
2
,
∴设DC为x，
则BC为2x，
∴BD=
??
??
2
+??
??
2
=
??
2
+
2??
2
=
5
x，
∴cos∠BDC=
????
????
=
??
5
??
=
5
5
，
∵cos∠BDC=cos∠BPC，
∴cos∠BPC=
5
5
.
故答案选A.
/
【点评】本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.
二、填空题
11.（2017·深圳二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=________°． /
【答案】50
【解析】连接CO， / ∵∠B=40°， ∴∠AOC=2∠B=80°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=（180°﹣80°）÷2=50°， 故答案为：50． 【点评】连接CO，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，列式计算出∠OAC的度数。
12.（2017·合肥模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2
3
，则阴影部分的面积为________． /
【答案】
2??
3
【解析】解：连接OD． / ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=
1
2
CD=
3
（垂径定理）， 故S△OCE=S△ODE ， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD=
60??×
2
2
360
=
2??
3
，即阴影部分的面积为
2??
3
． 故答案为：
2??
3
． 【点评】根据垂径定理求出CE=DE的值，得到S△OCE=S△ODE ， 根据圆周角定理得到∠COB=2∠CDB，根据扇形面积公式求出S扇形OBD 的值.
13.（2017·十堰模拟）如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，
????
=
????
=
????
，则CM+DM的最小值为________． /
【答案】16
【解析】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M， / 此时，点M为CM+DM的最小值时的位置， 由垂径定理，
????
=
????′
， ∴
????
=
????′
， ∵
????
=
????
=
????
，AB为直径， ∴C′D为直径， ∴CM+DM的最小值是16． 故答案是：16． 【点评】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得
????
=
????′
，然后求出C′D为直径，从而得解．
14．（2018?张家界模拟）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=___°．
/
【答案】40．
【解析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．
解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为：40．
/
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
15．（2018?南昌三模）如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝_______度．
/
【答案】90
【解析】根据垂径定理得出
????
=
????
，根据∠CAB=67.5°求出
????
和
????
的度数都是135°，求出
????
的度数，即可得出答案．
解：∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴
????
=
????
，
∵∠CAB=67.5°，
∴
????
和
????
的度数都是2×67.5°=135°，
∴
????
的度数是360°-135°-135°=90°，
∴∠AOB=90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，能求各段弧的度数是解此题的关键．
16．（2018?山西模拟）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将
????
沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的
????
上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
/
【答案】①②
【解析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．
解：如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．
/ 由题知：
????
沿着弦AB折叠，正好经过圆心O ∴OF=OA=
1
2
OB ∴∠AOF=∠BOF=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等） ∠D=
1
2
∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ∴∠ACD=180°-∠ACB=60° ∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） 故，①②正确 ?? 下面研究问题EO的最小值是否是1 /? 如图2，连接AE和EF ∵△ACD是等边三角形，E是CD中点 ∴AE⊥BD（三线合一） 又∵OF⊥AB ∴F是AB中点 即，EF是△ABE斜边中线 ∴AF=EF=BF 即，E点在以AB为直径的圆上运动． 所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小 /
此时，AE=EF，AE⊥EF ∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1 ∴AF=
3
（勾股定理） ∴OE=EF-OF=AF-OF=
3
-1 所以，③不正确 综上所述：①②正确，③不正确． 故答案是：①②．
【点评】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
三、解答题
17.（2017·南通一模）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．
求证：AE=BF． /
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM． 又∵OE=OF ∴EM=FM， ∴AE=BF． /
【点评】如图，过点O作OM⊥AB于点M．根据垂径定理得到AM=BM．然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知EM=FM，故AE=BE．
18.（2017·天津二模）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点． 如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长； 如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求
????
????
的值． /
【答案】见解析
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠B=30°， ∴∠AOC=30°+30°=60°， ∴∠OAC=90°， ∵OA=5， ∴OC=2AO=10． 连接OD， ∵∠AOC=60°，AD∥BC， ∴∠DAO=∠AOC=60°， ∵OD=OA， ∴∠ADO=60°， ∴∠DOB=∠ADO=60°， ∵OD=OB， ∴△DOB是等边三角形， ∴BD=OB=OA， 在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= /BD， ∴ /= /． /
【点评】求出∠B=∠C=30°，求出∠AOC=60°，求出∠OAC=90°，得出OC=2OA即可．根据勾股定理求出AC，求出△BOD是等边三角形，求出AC=
3
BD，即可求出答案．
19．（2018?连云港模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
/
【答案】(1)5;(2)6
【解析】（1）⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，根据垂径定理得到AC=
1
2
AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，根据勾股定理即可求出求⊙O半径OA的长；
（2）AE是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，在Rt△ABE中，用勾股定理即可求得EB的长．
解：（1）∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
/
∴AC=
1
2
AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r-2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r-2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴⊙O半径OA的长为5.
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴????=
??
??
2
???
??
2
=
1
0
2
?
8
2
=6.
【点评】属于圆的综合题，考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
20．（2018?哈尔滨调研）如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，点E为弧AD上一点，连接CE、DE，CD与AB交于点N．
（1）如图1，求证：∠AND=∠CED；
（2）如图2，AB为⊙O直径，连接BE、BD，BE与CD交于点F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求证：CD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF，若BE=BD+4，BC=2
10
，求线段OF的长．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）OF=
5
.
【解析】（1）连接BE，则∠CAB=∠CEB，∠BCD=∠DEB，由CD是∠ACB的平分线得∠ACD=∠BCD，从而，∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB；由∠CAB+∠ACD=∠AND可得结论；
（2）根据2∠BDC=90°-∠DBE得∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC，由∠BDC=∠BAC得∠BDC+∠DBE=∠CFB，结合AB是直径可得∠CFB=∠CBN，从而可证明∠CDE=∠CED，故可得结论；
（3）过C作CM⊥BE，CK⊥DB易证△CEM≌△CDK，△CMB≌△CKB从而求出CM=6，作FH⊥BC于点H,FH交CM于点G，易证△CGH≌△FHB，得CG=BF，设FM=x，利用tan∠GFM=tan∠MCB=
1
3
=
4???
??
求得 FM=3,CF=3
5
. 作EQ⊥DF交DF于点Q，通过△CBF∽△EDF设FQ=3k，EQ==6k，则DQ=2k,EF=3
5
k，DE=2
10
k得BE=5+3
5
k，BD=BE-4=3
5
k+1，作DP⊥BE交于点P，运用勾股定理求出k的值，连接OD,在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5，故OF=
5
.
解： (1)证明：连接BE.
/
∠CED=∠CEB+∠DEB
∠AND=∠CAB+∠ACD
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠ACD=∠BCD=∠DEB
∵∠CAB=∠CEB，
∴∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB
∠CED=∠AND；
(2)∵2∠BDC=90-∠DBE
∴∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC
∵∠BDC=∠BAC
∴∠BDC+∠DBE=∠CFB
∴90°-∠DBE=90°-∠CAB
∵AB是直径，∴∠ACB=90
∴∠CFB=∠CBN，
∠CNB=∠CBE=∠CDE
∠CNB=∠AND=∠CED
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD；
(3)过C作CM⊥BE，CK⊥DB
∴∠CME=∠CKD=90°，∠CEM=∠CDK，CE=CD
∴△CEM≌△CDK，∴EM=DK，CM=CK
∴△CMB≌△CKB，∴BM=BK
∴BE-BD=2BM=4，BM=2，∴CM=6.；
作FH⊥BC于点H,FH交CM于点G
/
∵∠FCB=45°∴△CGH≌△FHB，∴CG=BF
设FM=x，∴CG=BF=x+2，GM=6-(x+2)=4-x
tan∠GFM=tan∠MCB=
1
3
=
4???
??
∴x=3,FM=3,CF=3
5
.
∵△CBF∽△EDF(可以用正切值相等)
作EQ⊥DF交DF于点Q
设FQ=3k，EQ==6k，则DQ=2k,EF=3
5
k，DE=2
10
k
∴BE=5+3
5
k，BD=BE-4=3
5
k+1
作DP⊥BE交于点P,∵∠PED=∠BCD=45°,
∴PD=PE=
1
2
DE=2
5
k,PB=BE-PE=5+
5
k；
在Rt△PDB中，PB2+PD2=DB2,(5+
5
k)2+(2
5
k)2=(3
5
k+1)2
∴k=
3
5
5
, DF=5k=3
5
=CF, BD=3
5
k+1=10,；
∴OF⊥CD
连接OD,∴∠AOD=∠BOD=90°,∴OD=
1
2
BD=5
2
在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5，∴OF=
5
【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．综合性比较强，难度偏大．
/
