7.2 与圆有关的位置关系
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内；
（2）点在圆________；
（3）点在圆外；
2、不在同一条直线上的________点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的________. 外接圆的圆心是三角形三条边的________的交点，叫做这个三角形的________心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）有________交点；
（2）直线与圆相切（图2）有________交点；
（3）直线与圆________（图3）无交点；
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________.
（2）直线和圆有________公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做________.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的________之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________心.
3、相关定理：
（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于________的直线是圆的切线.
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过________的半径；
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过________；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过________.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________.
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）无交点；
（2）两圆外切（图2）有一个交点；
（3）两圆相交（图3）有两个交点；
（4）两圆内切（图4） 有一个交点；
（5）两圆内含（图5）无交点；
2、相关概念：
（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆________，分为________（图1）和________（图5）两种情况；
（2）如果两个圆只有________公共点，那么这两个圆________，分为________（图2）和________（图4）两种情况；
（3）如果两个圆有________公共点，那么这两个圆相交.
考点一：点与圆的位置关系
已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（?? ）
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.不能确定
变式跟进1如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为 3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（?? ）
A.?点B??????????????????????????????????????B.?点D??????????????????????????????????????C.?点E??????????????????????????????????????D.?点A
考点二：确定圆的条件
如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
变式跟进2如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A，B，C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．
考点三：三角形与外接圆
直角三角形两直角边长分别为 3 和1，那么它的外接圆的直径是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
变式跟进3如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（?? ）
A.?O是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????B.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C.?O不是△AEB的外心，O是△AED的外心????????????????D.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
考点四：直线与圆的位置关系
在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心2.5cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（?? ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
变式跟进4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．
考点五：圆和圆的位置关系
如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（????? ）
A.?外离?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?内切
变式跟进5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 r 的圆相交，那么 r 的取值范围是（?? ）
A.?r<5 ；??????????????????????????B.?r>5 ；??????????????????????????C.?r<10 ；??????????????????????????D.?5考点六：切线的性质与判定
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
变式跟进6如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 BE 的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD= 45 ，BF=15，求AC的长．
考点七：三角形与内切圆
在△ABC中，I是内心，∠ BIC=130°，则∠A的度数为________。
变式跟进7已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（?? ）
A.32 B.34 C.27 D.28
考点八：切线长定理
如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 3 ，则线段AB的长是（?? ）
A.3 B.3 C.2 3 D.3 3
变式跟进8如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA=2时，求AB的长．
一、单选题
1.（2016?宜昌）在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（ ）
A.?E，F，G????????????????????????????B.?F，G，H????????????????????????????C.?G，H，E????????????????????????????D.?H，E，F
2．（2016·湘西）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，2.5cm为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
3.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为?????????? （? ??????）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.（2017?陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（?? ）
A.?5??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?5 ??????????????????????????????????????D.?5
5.（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（?? ）
A.?0≤b＜2 ???????????B.?﹣2 ???????????C.?﹣2 2 ???????????D.?﹣2 ＜b＜2
6．（2018·常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
7．（2018·重庆b卷）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=23，则线段CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．32 D．323
8．（2018·上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
二、填空题
9.（2016?徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=________°．
10.（2016?黔西南州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足 +（n﹣2）2=0，圆心距O1O2= ，则两圆的位置关系为________．
11.（2017?大庆）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为________．
12.（2017?上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是________．
13.（2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
14．（2018·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.
15．（2018·内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
16．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．
三、解答题
17．（2016·丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
18.（2017?福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
19．（2018·曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=3，求四边形OCDB的面积．
20．（2018·镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
一、单选题
1.（2017·泰州二模）⊙O的半径为4，圆心到点P的距离为d，且d是方程x2﹣2x﹣8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?点P在⊙O内部?????????????B.?点P在⊙O上?????????????C.?点P在⊙O外部????????????D.?点P不在⊙O上
2.（2017·河南模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（?? ）
A.?（0， ）???????????????????????B.?（ ，0）???????????????????????C.?（0，2）???????????????????????D.?（2，0）
3.（2017·济南三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（?? ）
A.?（0，0）????????????????????????B.?（1，0）????????????????????????C.?（﹣2，﹣1）????????????????????????D.?（2，0）
4.（2017·滨州模拟）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（?? ）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?14
5.（2017·宁波模拟）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（?? ）
A.?6cm?????????????????????????????????????B.?4cm?????????????????????????????????????C.?3cm?????????????????????????????????????D.?8cm
6．（2018?芜湖二模）如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
7．（2018?上海三模）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离
B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切
C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切
D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离
8．（2018?潍坊模拟）如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（ ）
A．60° B．100° C．110° D．120°
9．（2018?太原三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF=3AF
10．（2018?德阳模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
二、填空题
11.（2017·长春一模）如图，在△ABC中，以边AB上的一点O为圆心，以OA的长为半径的圆交边AB于点D，BC与⊙O相切于点C．若⊙O的半径为5，∠A=20°，则 的长为________．
12.（2017·防城港模拟）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为________．
13.（2017·模拟）如图等边三角形ABC内接于圆，点P是圆上任意一点（P不与A、B、C重合），则∠APB=________．
14．（2018?连云港模拟）如图，在⊙O中，PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，点C是⊙O上一点，连接BC、DC，∠APD=30°，则∠BCD=______．
15．（2018?乌拉特前旗一模）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为________．
16．（2018?玉林三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
三、解答题
17. （2017·济南一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．
18.（2017·兰州模拟）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=AB?AE．
求证：DE是⊙O的切线．
19．（2018?咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．
（1）求证：FD=CD；
（2）若AE=8，tan∠E=34，求⊙O的半径．
20．（2018?无锡四模）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝43 ，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是 ．
7.2 与圆有关的位置关系
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内；
（2）点在圆上；
（3）点在圆外；
2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）有两个交点；
（2）直线与圆相切（图2）有一个交点；
（3）直线与圆相离（图3）无交点；
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、相关定理：
（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）无交点；
（2）两圆外切（图2）有一个交点；
（3）两圆相交（图3）有两个交点；
（4）两圆内切（图4） 有一个交点；
（5）两圆内含（图5）无交点；
2、相关概念：
（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离（图1）和内含（图5）两种情况；
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切（图2）和内切（图4）两种情况；
（3）如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交.
考点一：点与圆的位置关系
已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（?? ）
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.不能确定
【答案】A
【解析】解：∵OP=6cm＞5cm， ∴点P在⊙O外．
故选A．
【点评】利用点与圆的位置关系的判断方法求解．
变式跟进1如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为 3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（?? ）
A.?点B??????????????????????????????????????B.?点D??????????????????????????????????????C.?点E??????????????????????????????????????D.?点A
【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4， ∴BC=3，
∵且点D，E分别是AC，AB的中点，
∴CD=2，CE= 52 ，
∴点B在⊙C上，
∴点E在⊙C内，
∵BC=3，
∴点D在⊙C内，
∴点A在⊙C外，
故选：D．
【点评】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．
考点二：确定圆的条件
如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）解：连接OA，
设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x﹣8）2 ，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点评】（1）根据垂径定理作图即可。作出AB的垂直平分线，再作出AC的垂直平分线即可。
（2）连接OA，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程求解即可。
变式跟进2如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A，B，C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：如图1，点M即为所求
（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+4
依题意 {4=16a+4b+42=36a+6b+4 ，解得
所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=﹣ 16 x2+ 23 x+4
把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得
所以点D不在经过A、B、C的抛物线上；
（3）证明：如图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5
在Rt△CEM中，∠CEM=90°
∴MC2=ME2+CE2=42+22=20
在Rt△CED中，∠CED=90°
∴CD2=ED2+CE2=12+22=5
∴MD2=MC2+CD2
∴∠MCD=90°
∵MC为半径
∴直线CD是⊙M的切线
【点评】（1）根据垂径定理的知识解答此题。
（2）观察图形，由点A的坐标，得到点B、C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，将x=7代入即可得出结果。
（3）要证直线CD是⊙M的切线．就需证明∠MCD=90°，运用勾股定理先分别求出MC2、CD2、MD2 ， 再用勾股定理的逆定理去判定∠MCD是否为直角即可。
考点三：三角形与外接圆
直角三角形两直角边长分别为 3 和1，那么它的外接圆的直径是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长= (3)2+12 =2， ∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
【点评】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
变式跟进3如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（?? ）
A.?O是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????B.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C.?O不是△AEB的外心，O是△AED的外心????????????????D.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】B
【解析】如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O表示△AED的外心，
故答案为：B．
【点评】根据三角形外接圆与外心的定义和正方形的性质可以得出OA=OB=OE，得出O是△ABE的外心，又OA=OE≠OD，得出O表示△AED的外心，选出正确选项.
考点四：直线与圆的位置关系
在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心2.5cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（?? ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
【答案】A
【解析】解：做AD⊥BC，
∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙A，
∴BC=5，
∴AD×BC=AC×AB，
解得：AD=2.4，2.4＜3，
∴BC与⊙A的位置关系是：相交．
故选A．
【点评】首先求出点A与直线BC的距离，根据直线与圆的位置关系得出BC与⊙A的位置关系．
变式跟进4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．
【答案】相交
【解析】解：如图连接PC交MN于D，取MN的中点O，连接OP，
由题意PD＜OP，
∴圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，
∴以MN为直径的圆与直线AB相交，
故答案为相交；
【点评】设圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r，如果d?< r，那么直线与圆相交。如图连接PC交MN于D，取MN的中点O，连接OP，由题意可知PD＜OP，即圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，所以以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交。
考点五：圆和圆的位置关系
如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（????? ）
A.?外离?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?内切
【答案】D
【解析】解：∵两圆半径之差=8-5=3=圆心距8， ∴两个圆的位置关系是内切， 故答案为：D．
【点评】据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．
变式跟进5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 r 的圆相交，那么 r 的取值范围是（?? ）
A.?r<5 ；??????????????????????????B.?r>5 ；??????????????????????????C.?r<10 ；??????????????????????????D.?5【答案】D
【解析】延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB= AC2+BC2 =15，
∵D是AB中点，∴CD= 12AB=152 ，
∵G是△ABC的重心，∴CG= 23CD =5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ 5故答案为：D.
【点评】各点到C的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内对比OC＜AC＜BC，确定O在圆内，B在圆外，写出半径r的取值即可．
考点六：切线的性质与判定
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD= =5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．
【点评】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．
变式跟进6如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 BE 的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD= 45 ，BF=15，求AC的长．
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：连接OC，如图1所示．
∵点C是 的中点，
∴ = ，
∴OC⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE，
∴AD∥OC．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．
∵点C是 的中点，
∴ = ，∠BAC=∠CAE，
∴ = ．
∵cos∠CAD= ，
∴ = ，
∴AB= BF=20．
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= ，
∴AM=AO?cos∠OAM=8，
∴AC=2AM=16．
【点评】（1）连接OC，由点C是 BE 的中点利用垂径定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直径可得出AD⊥BE，进而可得出AD∥OC，再根据AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可证出CD是⊙O的切线．（2）过点O作OM⊥AC于点M，由点C是 BE 的中点利用圆周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合cos∠CAD= 45 可求出AB的长度，在Rt△AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度．
考点七：三角形与内切圆
在△ABC中，I是内心，∠ BIC=130°，则∠A的度数为________。
【答案】80°
【解析】???解 ：如图，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°
【点评】已知∠BIC=130°，则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°，根据三角形内心得出∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，则得到∠ABC+∠ACB=100度，再根据三角形的内角和就可以得出答案。
变式跟进7已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（?? ）
A.32 B.34 C.27 D.28
【答案】D
【解析】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．
设AB=a，BC=b，则有2= a+b?122 ，
∴a+b=16，
∴a2+2ab+b2=256，
∵a2+b2=122=144，
∴2ab=112，
∴ 12 ab=28．
∴△ABC的面积为28．
故选D．
【点评】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2= a+b?122 ，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2=256，因为a2+b2=122=144，推出2ab=112，推出 12 ab=28，由此即可解决问题．
考点八：切线长定理
如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 3 ，则线段AB的长是（?? ）
A.3 B.3 C.2 3 D.3 3
【答案】A
【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D， ∴AC=EC，DE=DB，PA=PB，
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB=2 3 ，
∴PA=PB= 3 ，
链接PA和AO，
∵⊙O的半径为1，
∴sin∠APO= AOPO = 13 = 33 ，
∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=PB= 3 ．
故选：A．
【点评】直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长，然后判定三角形APB为等边三角形即可确定AB的长．
变式跟进8如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA=2时，求AB的长．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴AP=BP，
∵∠P=60°，
∴∠PAB=60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°
（2）解：连接OP，
则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，
∴OP=4，
由勾股定理得： ，
∵AP=BP，∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴ ．
【点评】（1）根据切线长定理推出AP=BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=60°，求出∠PAO=90°即可；（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．
一、单选题
1.（2016?宜昌）在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（ ）
A.?E，F，G????????????????????????????B.?F，G，H????????????????????????????C.?G，H，E????????????????????????????D.?H，E，F
【答案】A
【解析】解：∵OA= = ， ∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点E在⊙O内，
OH= ＞OA，所以点E在⊙O外，
故选A
【点评】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．
2．（2016·湘西）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，2.5cm为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】A
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，根据勾股定理AB=5，再根据△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，可得3×4=5CD，解得CD=2.4＜2.5，即d＜r，所以以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故答案选A．
3.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为?????????? （? ??????）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【解析】解： ∵O为BC中点.BC=2.
∴OA=OB=OC=.
又∵AC、AB是⊙O的切线，
∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB,
∵∠A＝90°.
∴四边形ODAE为正方形.
∴∠DOE=90°.
∴（2r）2+（2r）2=.
∴r=1.
∴弧DE===.
故答案为B.
【点评】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度.
4.（2017?陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（?? ）
A.?5??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?5 ??????????????????????????????????????D.?5
【答案】D
【解析】连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30°?PB= ×5= ，
∴AP=2PD=5 ，
故答案为：D．
【点评】连接OA、OB、OP， 由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°?PB 从而求出AP.
5.（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（?? ）
A.?0≤b＜2 ???????????B.?﹣2 ???????????C.?﹣2 2 ???????????D.?﹣2 ＜b＜2
【答案】D
【解析】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
【点评】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
6．（2018·常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
【答案】A
【解析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠ONA的度数.
解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，
∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=∠ONM?∠MNB=90°?52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38°，
∴∠NOA=2∠B=76°，
故答案为：A.
【点评】考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.
7．（2018·重庆b卷）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=23，则线段CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．32 D．323
【答案】B
【解析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=23，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
解：连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=23，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴ADCD＝AOOB，即23CD＝42，
∴CD=3．
故选B．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
8．（2018·上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【答案】A
【解析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论．
解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
【点评】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.
二、填空题
9.（2016?徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=________°．
【答案】125
【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC=35°，∠OCB= ∠ACB=20°，
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．
故答案为125．
【点评】根据三角形内心的性质得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据角平分线定义得∠OBC= ∠ABC=35°，∠OCB= ∠ACB=20°，然后根据三角形内角和定理计算∠BOC．本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
10.（2016?黔西南州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足 +（n﹣2）2=0，圆心距O1O2= ，则两圆的位置关系为________．
【答案】相交
【解析】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足 +（n﹣2）2=0，
∴m﹣1=0，n﹣2=0，
解得：m=1，n=2，
∴m+n=3，
∵圆心距O1O2= ，
∴两圆的位置关系为：相交．
故答案为：相交．
【点评】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出m，n的值，再利用圆与圆的位置关系判断方法得出答案．此题主要考查了偶次方的性质以及二次根式的性质以及圆与圆的位置关系，正确把握两圆位置关系判断方法是解题关键．
11.（2017?大庆）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为________．
【答案】1
【解析】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1．
【点评】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.
12.（2017?上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是________．
【答案】8＜r＜10
【解析】解：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时， ⊙A的半径为：AC=AD=4，
⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；
如图2，
当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，
⊙A的半径为：AB=AD=5，
⊙B的半径为：r=2AB=10；
∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．
故答案为：8＜r＜10．
【点评】先计算两个分界处r的值：即当C在⊙A上和当B在⊙A上，再根据图形确定r的取值．
13.（2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
【答案】5
【解析】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
14．（2018·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.
【答案】45
【解析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．
解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵AD=CD，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°．
故答案为45．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
15．（2018·内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
【答案】12
【解析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE=12（AD+BC），所以S四边形ABCD=OE?CD=3CD，只有当CD=AB=4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值．
解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA=OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE=12（AD+BC），
∴S四边形ABCD=12（AD+BC）?CD=OE?CD=3CD，
当CD=AB=4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12．
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
16．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．
【答案】70°
【解析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=12∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=12∠ABC=12×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
三、解答题
17．（2016·丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）6.
【解析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论．
解：（1）连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°， 即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；
（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴，
∴EC2=DE?AE，
∴16=2（2+AD）， ∴AD=6．
18.（2017?福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】答案见解析
【解析】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【点评】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
19．（2018·曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=3，求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）PM与⊙O相切，理由见解析；（2）32.
【解析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=12OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=12OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
解：（1）PM与⊙O相切．
理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=12OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=12OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PC，
∴PM是⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC=33PC=33×3=1，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2×34×12=32．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
20．（2018·镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
【答案】（1）AP=409；（2）409＜AP＜245或AP=5．
【解析】（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，由⊙P与边CD相切于点F，根据已知可推导得出△DPF∽△DAC，根据相似三角形对应边成比例即可求得AP长；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，利用面积法求出PG=245，然后分两种情况①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，②⊙P过点A、C、D三点，分别讨论即可得.
解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=102?62=8，
设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴PFAC=PDAD，
∴x8=10?x10，
∴x=409，即AP=409；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD=12×6×8×2=10PG，
PG=245，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，409＜AP＜245，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=5，
综上所述，AP的值的取值范围是：409＜AP＜245或AP=5．
故答案为：409＜AP＜245或AP=5．
【点评】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
一、单选题
1.（2017·泰州二模）⊙O的半径为4，圆心到点P的距离为d，且d是方程x2﹣2x﹣8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?点P在⊙O内部?????????????B.?点P在⊙O上?????????????C.?点P在⊙O外部????????????D.?点P不在⊙O上
【答案】B
【解析】解：解方程x2﹣2x﹣8=0，
得x=4或﹣2，
∵d＞0，
∴d=4，
∵⊙O的半径为4，
∴点P在⊙O上．
故答案为：B．
【点评】先解方程，求得方程的根，再根据直线与圆的位置关系求解即可。
2.（2017·河南模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（?? ）
A.?（0， ）???????????????????????B.?（ ，0）???????????????????????C.?（0，2）???????????????????????D.?（2，0）
【答案】A
【解析】解：如图，连结AC，CB．??? 依相交弦定理的推论可得：OC2=OA?OB，
即OC2=1×3=3，
解得：OC= 或﹣ （负数舍去），
故C点的坐标为（0， ）．
故选：A．
【点评】直接根据相交弦定理得出OC2=OA?OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标．
3.（2017·济南三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（?? ）
A.?（0，0）????????????????????????B.?（1，0）????????????????????????C.?（﹣2，﹣1）????????????????????????D.?（2，0）
【答案】C
【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【点评】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
4.（2017·滨州模拟）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（?? ）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?14
【答案】B
【解析】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，AD=AE，BE=BF，
∴∠ODC=∠OFC=∠ACB=90°，
∵OD=OF，
∴四边形ODCF是正方形，
∴CD=OD=OF=CF=1，
∵AD=AE，BF=BE，
∵AE+BE=AB=5，
∴AD+BF=5，
∴△ABC的周长是：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12．
故选B．
【点评】根据切线的性质得出∠ODC=∠OFC=∠ACB=90°，得出正方形ODCF，求出CD=CF=1，根据切线长定理求出AD+BF=AE+BE=5，代入AC+BC+AB求出即可．
5.（2017·宁波模拟）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（?? ）
A.?6cm?????????????????????????????????????B.?4cm?????????????????????????????????????C.?3cm?????????????????????????????????????D.?8cm
【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC= AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC= =3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选A．
【点评】首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．
6．（2018?芜湖二模）如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【答案】C
【解析】两圆内含时，无公切线；两圆内切时，只有一条公切线；两圆外离时，有4条公切线；两圆外切时，有3条公切线；两圆相交时，有2条公切线．
解：根据两圆相交时才有2条公切线．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系．熟悉两圆的不同位置关系中的外公切线和内公切线的条数．
7．（2018?上海三模）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离
B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切
C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切
D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离
【答案】D
【解析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
解：A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；
B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；
C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；
D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．
8．（2018?潍坊模拟）如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（ ）
A．60° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【解析】由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵圆O是等边三角形内切圆，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣60°）=60°，
∴∠BOC=180°﹣60=120°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）．
9．（2018?太原三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF=3AF
【答案】D
【解析】根据平行的判定可得，添加辅助线连接可得答案.
解：A、五边形各边相等，所以CD=BC,也可知各角=108°，所以∠DBA+∠BAE=180°，所以AE∥BD ，正确；
B、连接AO，BO,所以∠FAO=90°,又∠AOB = 15×360°=108°，AO=BO,所以∠OAB=∠OBA=54°，所以∠BAF=90°-54°=36°，又∠DBA=∠CBA-（180°-∠BCD）×12=72°，所以∠F=72°-36°=36°，所以AB=BF,正确；
C、由B知AB=BF,所以BF=AE，又BF∥AE，所以四边形AEBF为平行四边形，所以BE∥AF，又有A知CD∥BE，所以AF∥CD，正确；
D、设AB=BF=a，AG=b，连接BG，使∠BGF=72°，此时可证△ABG∽△AFB,得出ABAF=AGBF ,即a2=b（a+b），得a=5+12b，所以AFBF=5+12,所以DFAF=AF+BFAF=1+BFAF≠3,错误
所以答案选择D项.
【点评】本题考查了直线平行的判定，相等的判定，边长的转化以及相似的概念，熟悉掌握判定定理是解决本题的关键.
10．（2018?德阳模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】C
【解析】①中，根据切线的性质可知∠P+∠AOB=180°，又根据圆周角定理，得∠D=12∠AOB，所以可判断它错误；
②中，根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；
③中，根据垂径定理和弦切角定理得∠ABP=∠D，所以可知正确；
④中，根据③中的推导过程，可知它错误．
解：①∠OAP=∠OBP=90°，则∠P+∠AOB=180°，又因为∠D=12∠AOB，错误；
②根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；
③根据垂径定理，得弧AD=弧AB，则∠ADB=∠ABD，再根据弦切角定理，得∠ABP=∠D，正确；
④根据③中的推导过程，显然错误．
故选C．
【点评】此题综合运用了垂径定理、弦切角定理以及圆周角定理．
二、填空题
11.（2017·长春一模）如图，在△ABC中，以边AB上的一点O为圆心，以OA的长为半径的圆交边AB于点D，BC与⊙O相切于点C．若⊙O的半径为5，∠A=20°，则 的长为________．
【答案】
【解析】解：连接OC，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=20°，
∴∠COD=40°，
∴ 的长= = ，
故答案为： ．
【点评】已知BC是⊙O的切线，因此连接OC，可求出∠COD的度数，再根据弧长公式即可求解。
12. （2017·防城港模拟）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为________．
【答案】2
【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线长定理，由于AB、AC、BD是⊙O的切线，运用切线长定理并利用等式的性质可得，AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
13.（2017·模拟）如图等边三角形ABC内接于圆，点P是圆上任意一点（P不与A、B、C重合），则∠APB=________．
【答案】60°或120°
【解析】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠P=180°﹣60°=120°；∠P′=∠C=60°．
故答案为：60°或120°．
【点评】根据题意作出辅助线，再由圆周角定理即可得出结论．
14．（2018?连云港模拟）如图，在⊙O中，PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，点C是⊙O上一点，连接BC、DC，∠APD=30°，则∠BCD=______．
【答案】30
【解析】解：如图，连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，∠APD=30°，
∴∠PDO=90°，
∴∠POD=60°，
∴∠BCD=30°.
故答案为30.
15．（2018?乌拉特前旗一模）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为________．
【答案】4
【解析】令OC交BE于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AD⊥CD，
∴BE∥CD，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴OC⊥BE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，在Rt△ABE中，，
∵OF⊥BE，
∴BF=EF=4，
∴CD=4．
16．（2018?玉林三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
【答案】2 ．
【解析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．
解：连接CP、CQ；如图所示：
∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2﹣CQ2，∴当PC⊥AB时，线段PQ最短．
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=23，∴CP=AC?BCAB=23×24=3，∴PQ=CP2?CQ2=3?1=2，∴PQ的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题
17. （2017·济南一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．
【答案】答案见解析
【解析】
解：∵∠A和∠D所对的弧都是弧BC， ∴∠D=∠A=45°，
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=∠DBC=45°，
∴CB=CD=2，
由勾股定理得：BD= =2
【点评】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可．
18.（2017·兰州模拟）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=AB?AE．
求证：DE是⊙O的切线．
【答案】答案见解析
【解析】
证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．
∵P点为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE，
又∵AD2=AB?AE，即 = ，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，
又∵∠CAF=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，
故DE是⊙O的切线．
【点评】连接DC、AF，连接DO并延长交圆O于点F，先证△BAD∽△DAE，得到∠ADB=∠E，再由平行线的性质可证∠FDE=90°可得.解答此题的关键是作出辅助线，证出△BAD∽△DAE.
19．（2018?咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．
（1）求证：FD=CD；
（2）若AE=8，tan∠E=34，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）256；
【解析】（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=4，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=5，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长．
解：（1）∵AC 是⊙O 的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠B，
∵DA=DE，
∴∠EAD=∠E，
又∵∠B=∠E，
∴∠B=∠EAD，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD，
∴△ADF≌△ADC，
∴FD=CD．
（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．
∵DE=AE，DG⊥AE，
∴EG=AG=12AE=4．
∵tan∠E=34，
∴GDEG=34，即GD4=34，解得DG=4．
∴ED=EG2+GD2=5．
∵∠B=∠E，tan∠E=34，
∴sin∠B=ADAB=GDED=35，即5AB=35，解得AB=253．
∴⊙O的半径为256．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键．
20．（2018?无锡四模）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝43 ，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是 ．
【答案】（1）①（2，0），（1，2），（﹣1，2）；②y=2x；③ y=2x，y=﹣22x+2；（2）①半径为4，M（833，433）；②3﹣1＜r＜3+1．
【解析】（1）①如图2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1时，⊙M的半径即可解决问题.
解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F，
由题意OC=CD=1，OA=BC=2，
∴BD=OE=1，OD=CF=BE=2，
∴A（2，0），B（1，2），C（﹣1，2），
故答案为（2，0），（1，2），（﹣1，2）；
②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M，
∵OD∥BE，OD∥PM，
∴BE∥PM，
∴BEPM=OEOM，
∴2y=1x，
∴y=2x；
③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M，
则有MQOA=DMDO，
∴x2=2?y2，
∴y=﹣22x+2，
故答案为y=2x，y=﹣22x+2；
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N，
∵ω=120°，OM⊥y轴，
∴∠MOA=30°，
∵MF⊥OA，OA=43，
∴OF=FA=23，
∴FM=2，OM=2FM=4，
∵MN∥y轴，
∴MN⊥OM，
∴MN=433，ON=2MN=833，
∴M（833，433）；
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．
∵MK∥x轴，ω=120°，
∴∠MKO=60°，
∵MK=OK=2，
∴△MKO是等边三角形，
∴MN=3，
当FN=1时，MF=3﹣1，
当EN=1时，ME=3+1，
观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为3﹣1＜r＜3+1．
故答案为：3﹣1＜r＜3+1．
【点评】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
