7.3 与圆有关的计算
一、正多边形和圆
1、正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的________；
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的________；
3、正多边形的每一边所对的圆心角叫须知这个正多边形的________；
4、正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________.
/
5、正n边形的每一个内角都等于________，每一个中心角和外角都相等于________.
6、我们可以通过n等分圆周的方法得到正________边形.
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：________.
2、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的________围成的图形叫做扇形.
3、扇形的面积公式：________或________.
三、圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱的平面展开图
/
（2）圆柱的侧面积：________（3）圆柱的表面积：=________
（4）圆柱的体积：________
2、圆锥
（1）圆锥的平面展开图
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的________.
/
（2）圆锥的侧面积：________
（3）圆锥的表面积：=________
（4）圆锥的体积： ________
考点一：正多边形和圆
如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
/
A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C. D. ∠BAC=30°
变式跟进1如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME=108°，②AN2=AM?AD；③MN=3-
5
；④S△EBC=2
5
-1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
/
考点二：与正多边形有关的作图
如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
/
变式跟进2如图，AB是⊙O的直径，AB=2.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF。
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积。
/
考点三：弧长公式
已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB=60°，则弧AB的长是（ ）
A. 2π B. π C.
3
2
π D.
1
2
π
变式跟进3如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则弧BF的长为_____．（结果保留π）
/
考点四：扇形的面积
如图，一块六边形绿化园地，六个角处都建有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（图中阴影部分）为________m2（结果保留??）
/
变式跟进4如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴的正半轴上的A处,若AO=OB=2,则阴影部分面积为( )
/
A.
2
3
π B.
2
3
π?1 C.
4
3
π+1 D.
4
3
π
考点五：圆锥的侧面积
圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. 6π D. 3π
变式跟进5小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
/
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
考点六： 圆柱和圆锥上的最短路径
如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
/
A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm
变式跟进6如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
/ /
一、单选题
1．（2016?泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．
3
8
B．
3
4
C．
2
4
D．
2
8
2．（2016?贵港）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2/，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
3.（2017?山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（?? ）
/
A.?5πcm2?????????????????????????????/B.?10πcm2?????????????????????????????/C.?15πcm2?????????????????????????????/D.?20πcm2
4.（2017?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（?? ） /
A.?
??
2
?????????????????????????????????/B.?（2﹣
3
）π?????????????????????????????????/C.?
2?
3
2
π?????????????????????????????????/D.?π
5.（2017?天门）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2 ， 则此扇形的圆心角的度数是（?? ）
A.?300°?????????????????????????????????????B.?150°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?75°
6．（2018?遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
7．（2018?遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
8．（2018?绵阳）如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（? ） /
A．(30+5
29
)πm2 B．40πm2 C．(30+5
21
)πm2 D．55πm2
二、填空题
9．（2016?株洲）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为________．
/
10．（2016?烟台）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．
/
11.（2017?荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由
????
，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为________．
/
12.（2017?黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________． /
13.（2017?内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为
3
，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是________．
/
14．（2018?赤峰）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是_________cm．
15．（2018?青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是_______．
/
16．（2018?烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
/
三、解答题
17．（2016?河北）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.
/
发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；
思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________.
探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.
（注：结果保留π，cos 35°=
6
3
，cos 55°=
3
3
）
18.（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若BD=2
3
，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
/
19．（2018?吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是什么对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．
/
20．（2018?荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα=
1
2
，tanβ=
1
3
，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求
????
的弧长．
/
一、单选题
1.（2017?广州一模）用圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（?? ）
/
A.?3 cm?????????????????????????????/B.?2
2
cm?????????????????????????????/C.?3
2
cm?????????????????????????????/D.?4
2
cm
2. （2017?衡阳一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2
2
，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（?? ）
/
A.?4π???????????????????????????????????/B.?4
2
π???????????????????????????????????/C.?8π???????????????????????????????????/D.?8
2
π
3.（2017?兰州模拟）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（?? ）
A.?互余???????????????????????????????/B.?互补???????????????????????????????/C.?互余或互补???????????????????????????????/D.?不能确定
4.（2017?泰安一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2
3
，则阴影部分的面积为（?? ）
/
A.?2π?????????????????????????????????????????/B.?π?????????????????????????????????????????/C.?
??
3
?????????????????????????????????????????/D.?
2??
3
5. （2017?杭州模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分．例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规等分的是（?? ） ①两等分??? ②三等分???? ③四等分?????? ④五等分．
/
A.?②??????????????????????????????????/B.?①②??????????????????????????????????/C.?①②③??????????????????????????????????/D.?①②③④
6．（2018?鄂州模拟）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
7．（2018?镇江押题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2
3
，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将
????
绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
/
A．
2??
3
?2
3
B．2
3
?
2??
3
C．
2??
3
?
3
D．
3
?
2??
3
8．（2018?武安模拟）如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
/
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.6
9．（2018?寿光模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
/
A．3 B．4﹣
3
C．4 D．6﹣2
3
10．（2018?北京模拟）点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（ ）
/
A．
3
4
B．
3
2
C．
3
3
4
D．
3
二、填空题
11.（2017?贵港一模）已知圆柱的侧面积是20π cm2，高为5cm，则圆柱的底面半径为________．
12.（2017?宿州模拟）如图，点O是线段AB上一点，AB=4cm，AO=1cm，若线段AB绕点O顺时针旋转120°到线段A′B′的位置，则线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为 ________cm2 ． （结果保留π）
/
13.（2017?宁波模拟）如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB=70°，则这个正多边形的内角和为________．
/
14．（2018?葫芦岛模拟）边长为6的正六边形外接圆半径是_____．
15．（2018?开远模拟）如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到 “三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为_____（结果保留π）
/
16．（2018?河南模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是______．
/
三、解答题
17.（2017?诸暨模拟）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2 ， 其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
/
18.（2017?南阳模拟）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2
2
，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
/
19．（2018?杭州一模）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
/
20．（2018?苏州模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆/心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
/
/
7.3 与圆有关的计算
一、正多边形和圆
1、正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
3、正多边形的每一边所对的圆心角叫须知这个正多边形的中心角；
4、正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
/
5、正n边形的每一个内角都等于，每一个中心角和外角都相等于.
6、我们可以通过n等分圆周的方法得到正n边形.
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：.
2、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3、扇形的面积公式：或.
三、圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱的平面展开图
/
（2）圆柱的侧面积：
（3）圆柱的表面积：=
（4）圆柱的体积：
2、圆锥
（1）圆锥的平面展开图
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
/
（2）圆锥的侧面积：
（3）圆锥的表面积：=
（4）圆锥的体积：
考点一：正多边形和圆
如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
/
A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C. D. ∠BAC=30°
【答案】D
【解析】A选项中，因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；
B选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可知， ;再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；
C选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可得，，故C正确；
D选项中，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=
1
2
∠BOC=
1
2
×
1
2
∠BOA=
1
4
×60°=15°，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了圆与正多边形、垂径定理、圆周角定理等知识.灵活运用圆的相关知识是解题的关键.
变式跟进1如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME=108°，②AN2=AM?AD；③MN=3-
5
；④S△EBC=2
5
-1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
/
【答案】①②③
【解析】解：∵∠BAE=∠AED=108°．∵AB=AE=DE，∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，∴∠AEN=∠ANE，∴AE=AN，同理DE=DM，∴AE=DM．∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，∴△AEM∽△ADE
∴
????
????
=
????
????
，∴AE2=AM?AD；
∴AN2=AM?AD；故②正确；
∵AE2=AM?AD，∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），解得：MN=3﹣
5
；故③正确；
在正五边形ABCDE中，∵BE=CE=AD=1+
5
，∴BH=
1
2
BC=1，∴EH=
??
??
2
?????
=
5+2
5
，∴S△EBC=
1
2
BC?EH=
1
2
×2×
5+2
5
=
5+2
5
，故④错误；
故答案为：①②③．
/
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
考点二：与正多边形有关的作图
如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
/
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】利用正六边形的特性作图即可.
解：（1）如图所示（答案不唯一）：
/
（2）如图所示（答案不唯一）：
/
【点评】本题考查了正六边形的性质.应用正多边形的性质进行作图是解题的关键.
变式跟进2如图，AB是⊙O的直径，AB=2.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF。
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积。
/
【答案】（1）作图见解析；
（2）PB、PE和所围成的图形面积为
【解析】 (1)以圆的半径长为半径以此在圆上画弧,然后再连接即可.(2)由正六边形边长BE所对的圆心角为60°，可求出扇形BOE的面积，
解：（1）作图略
（2）连结OE
∵PE切⊙O于E
/
∴∠OEP=90°
∵正六边形ACDBEF内接于⊙O
∴∠EOB=60°
∴
∵∠EOB=60°，∠OEP=90°
∴tan60°=
∵ EO=1
∴EP=
∴
∴
【点评】本题考查了利用圆作正六边形的方法、切线的性质、扇形的面积.熟练应用扇形面积公式是解题的关键.
考点三：弧长公式
已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB=60°，则弧AB的长是（ ）
A. 2π B. π C.
3
2
π D.
1
2
π
【答案】A
【解析】先根据同弧所对的圆心角是其所对圆周角的2倍求出∠AOB的度数，再根据扇形的弧长公式计算.
解：如图，
∵∠AOB与∠ACB对的弧相同，∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴??=
??????
180
=
120×??×3
180
=2??．
故选：A．
/
【点评】本题考查了圆周角定理和弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是no，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：??=
??????
180
.
变式跟进3如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则弧BF的长为_____．（结果保留π）
/
【答案】
8
15
??
【解析】解：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60°．∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，∴∠BCF=48°，∴
????
的长=
48???×2
180
=
8
15
π．故答案为：
8
15
π．
/
【点评】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
考点四：扇形的面积
如图，一块六边形绿化园地，六个角处都建有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（图中阴影部分）为________m2（结果保留??）
/
【答案】2π
【解析】首先根据多边形的内角和求出所有扇形的圆心角之和，然后根据扇形的面积计算法则得出答案．
解：∵(6－2)×180°=720°，∴S=
720??×
1
2
360
=2π
??
2
．
【点评】本题主要考查的就是多边形的内角和定理的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白多边形的内角和公式．
变式跟进4如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴的正半轴上的A处,若AO=OB=2,则阴影部分面积为( )
/
A.
2
3
π B.
2
3
π?1 C.
4
3
π+1 D.
4
3
π
【答案】D
【解析】图形的整体面积为S扇形BAA′＋S△A′BC′，空白部分的面积为S扇形BCC′＋S△ABC,S△A′BC′＝S△ABC.
解：因为点O为AB的中点，所以OC＝OA＝OB＝2，BC＝2
2
.
由旋转的性质可知，A′B＝AB＝2OB＝4，所以∠AOA′＝60°，∠CBC′＝60°，
阴影部分的面积为：
S扇形BAA′＋S△A′BC′－(S扇形BCC′＋S△ABC)
＝S扇形BAA′－S扇形BCC′
＝
60??×
4
2
360
－
60??×
2
2
2
360
＝
4
3
??.
故选D.
【点评】本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分不是规则图形，也不是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
考点五：圆锥的侧面积
圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. 6π D. 3π
【答案】A
【解析】解:设圆锥底面半径为rcm, 那么圆锥底面圆周长为2πrcm,
所以侧面展开图的弧长为2πrcm,
??
圆锥侧面积
=
1
2
×2????×10=
216??×
10
2
360
, 解得：r=6,故选A.
【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算;正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
变式跟进5小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
/
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
【答案】B
【解析】圆锥的侧面积=
1
2
×2π×10×24=240π（cm2），
所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积.熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.
考点六： 圆柱和圆锥上的最短路径
如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
/
A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm
【答案】B
【解析】将圆柱侧面展开，连接,根据三角函数求出的长即可
解：根据题意得，，
∴
故选B．
/
【点评】本题考查了最短路径问题.化曲为直是理解题意的关键
变式跟进6如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
/ /
【答案】（1）S阴= 4π﹣8；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
【解析】解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，
/
设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π?1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴ S△SAF= ×4×4=8
又 S扇形S﹣AF=，
∴S阴=S扇形S﹣AF﹣S△SAF=﹣8=4π﹣8．
在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2，
∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
【点评】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π?1，求出n即可解决问题；（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．
一、单选题
1．（2016?泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．
3
8
B．
3
4
C．
2
4
D．
2
8
【答案】D
【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
解：如图1，
/
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=
1
2
；
如图2，
/
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=
2
2
；
如图3，
/
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=
3
2
，
则该三角形的三边分别为：
1
2
、
2
2
、
3
2
，
∵（
1
2
）2+（
2
2
）2=（
3
2
）2，
∴该三角形是以
1
2
、
2
2
为直角边，
3
2
为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是
1
2
×
1
2
×
2
2
=
2
8
，
故选：D．
【点评】考查正多边形的外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键。
2．（2016?贵港）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2/，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】如图，连接AO，∠BAC=120°，BC=2/，∠OAC=60°，可得OC=/，即可求得AC=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=/=/π，
解得：r=/，故选B．
/
3.（2017?山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（?? ）
/
A.?5πcm2?????????????????????????????/B.?10πcm2?????????????????????????????/C.?15πcm2?????????????????????????????/D.?20πcm2
【答案】B
【解析】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径， ∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴△ABO于△CDO的面积=△AOD与△BOD 的面积， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD ， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠ABO=36°， ∴∠AOD=72°， ∴图中阴影部分的面积=2×
72???×
5
2
360
=10π， 故选B． 【点评】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD ， 根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=72°，于是得到结论．
4.（2017?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（?? ） /
A.?
??
2
?????????????????????????????????/B.?（2﹣
3
）π?????????????????????????????????/C.?
2?
3
2
π?????????????????????????????????/D.?π
【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2， ∴AC=2
3
，AB=4， ∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△ADE
， / ∴△ABC的面积等于△ADE的面积，∠CAB=∠DAE，AE=AC=2
3
，AD=AB=4， ∴∠CAE=∠DAB=90°， ∴阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC﹣S扇形CAE﹣S△ADE =
90??×
4
2
360
+
1
2
× 2×2
3
﹣
90??×
(2
3
)
2
360
﹣
1
2
× 2×2
3
=π． 故答案为：D． 【点评】根据题意在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，得到AC=2
3
，AB=4，再根据旋转的性质得到△ABC的面积等于△ADE的面积，从而计算出阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC﹣S扇形CAE﹣S△ADE，此题计算时需认真仔细.
5.（2017?天门）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2 ， 则此扇形的圆心角的度数是（?? ）
A.?300°?????????????????????????????????????B.?150°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?75°
【答案】B
【解析】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2 ， ∴S=
1
2
Rl，即60π=
1
2
×R×10π， 解得：R=12， ∴S=60π=
????×
12
2
360
， 解得：n=150°， 故选B 【点评】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
6．（2018?遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
【答案】B
【解析】直接得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积求法得出答案．
解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：
12
2
+
5
2
=13，
该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥侧面积求法是解题关键．
7．（2018?遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
【答案】C
【解析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，再根据扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
解：该扇形的面积=
120·??·
6
2
360
=12??．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长
8．（2018?绵阳）如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（? ） /
A．(30+5
29
)πm2 B．40πm2 C．(30+5
21
)πm2 D．55πm2
【答案】A
【解析】利用圆的面积得到底面圆的半径为 5 ，再利用勾股定理计算出母线长， 接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积， 最后求它们的和即可 ．
解：设底面圆的半径为R，
则??
??
2
=25??，解得R=5，
圆锥的母线长=
2
2
+
5
2
=
29
，
所以圆锥的侧面积=
1
2
?2???5?
29
=5
29
??；
圆柱的侧面积=2???5?3=30??，
所以需要毛毡的面积=(30+5
29
) πm2．
故选：??．
【点评】考查了圆锥的计算： 圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 ．
二、填空题
9．（2016?株洲）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为________．
/
【答案】π．
【解析】如图，连接OA、OB，∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×
1
6
=60°，
????
的长为
60??×3
180
=π．故答案为：π．
/
10．（2016?烟台）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．
/
【答案】
??
4
【解析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．
解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=/OB=1，BC=/，
则边BC扫过区域的面积为：/ +/×/×1﹣/﹣/×/×1=πcm2．
故答案为：π．
11.（2017?荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由
????
，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为________．
/
【答案】2
3
﹣
2
3
π
【解析】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2， ∴∠O=60°，
????
=
????
， ∴AC=BC=6， ∴∠ABC=∠A=30°， ∴∠OCB=60°， ∴∠OCD=90°， ∴OC=BC=2， ∴CD=
3
OC=2
3
， ∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣
1
2
× 2×2
3
﹣
60???×
2
2
360
=2
3
﹣
2
3
π， 故答案为：2
3
﹣
2
3
π． 【点评】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°，
????
=
????
，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD=
3
OC=2
3
，于是得到结论．
12.（2017?黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________． /
【答案】2π
【解析】解：设扇形的半径是R，则
60????
??
2
360
=6π， 解得：r=6， 设扇形的弧长是l，则
1
2
lr=6π，即2l=6π， 解得：l=2π． 故答案是：2π． 【点评】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形=
1
2
lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
13.（2017?内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为
3
，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是________．
/
【答案】π﹣
3
3
4
【解析】解：∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE=
3
2
， ∵OC=
3
， ∴OE=
3
2
， ∴∠OCE=30°， ∴∠COD=120°， ∴图中阴影部分面积=
120???×
(
3
)
2
360
﹣
1
2
×3×
3
2
=π﹣
3
3
4
， 故答案为：π﹣
3
3
4
． / 【点评】根据垂径定理得到CE=
3
2
，根据勾股定理得到OE=
3
2
，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．
14．（2018?赤峰）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是_________cm．
【答案】5
3
【解析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
解：设底面圆的半径为r．
∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，∴圆锥的母线l=10cm，∴
180??×10
180
=2????，解得：r=5（cm），∴圆锥的高h=
??
2
?
??
2
=5
3
（cm）．
故答案为：5
3
．
/
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．
15．（2018?青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是_______．
/
【答案】
7
2
3
?
4
3
π
【解析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为：/=/
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=/AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3/
∴△ABC的面积为：/×3×3/=/
∵△OAF的面积为：/×2×/=/，
∴阴影部分面积为：//﹣/﹣/π=//﹣/π
故答案为：//﹣/π.
/
【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
16．（2018?烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
/
【答案】
3
:2
【解析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
解：连OA
/
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
3
??
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为：
120????
3
??
180
=
2
3
3
????
则r1=
3
3
a
同理：扇形DEF的弧长为：
120????2??
180
=
4
3
????
则r2=
2
3
??
r1：r2=
3
：2
故答案为：
3
：2
【点评】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
三、解答题
17．（2016?河北）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.
/
发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；
思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________.
探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.
（注：结果保留π，cos 35°=
6
3
，cos 55°=
3
3
）
【答案】（1）/；（2）/，2，/，/；（3）弧AP的长为/.
【解析】
试题分析：发现：连结OP，OQ，可得OP=OQ=PQ=2，即可得OP=OQ=PQ=2，根据弧长公式求得弧BC的长度，用半圆的弧长减去弧BC的长即可求得l的长；思考：当OM⊥AB时， 点M与AB的最大距离就是OM，△AOP是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得OM和PA的长，当Q与B重合点，点M与AB的距离最小，利用三角形的三边关系即可求得答案；探究：半圆M与AB相切，分两种情况①半圆M与AO切于点T时和②半圆M与BO切于点S时，分别求得弧AP的长即可.
试题解析：发现：连结OP，OQ，则OP=OQ=PQ=2.
∴∠POQ=60°，∴弧BC的长=/.
∴/.
思考：/，2，/，/.
探究：半圆M与AB相切，分两种情况：
①如图1，半圆M与AO切于点T时，连结PO,MO,TM.
则MT⊥AO，OM⊥PQ，
在Rt△POM中，sin∠POM=/，
∴∠POM=30°，
在Rt△TOM中，TO=/，
∴cos∠AOM=/，即∠AOM=35°，
∴∠POA=35°-30°=5°.
∴弧AP的长=/.
/
②如图2，半圆M与BO切于点S时，连结PO,MO,SM..
根据圆的对称性，同理得弧BQ的长为/，
由/得弧AP的长为/.
综上，弧AP的长为/.
/
18.（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若BD=2
3
，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． /
【答案】答案见解析
【解析】解：（Ⅰ）BC与⊙O相切． 证明：连接OD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA． ∴∠CAD=∠ODA． ∴OD∥AC． ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切． （Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2， 根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2 ， 即（x+2）2=x2+12， 解得：x=2，即OD=OF=2， ∴OB=2+2=4， ∵Rt△ODB中，OD= /OB， ∴∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S扇形AOB= /= /， 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= /×2×2 /﹣ /=2 /﹣ /． 故阴影部分的面积为2 /﹣ /． /
【点评】（Ⅰ）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线； （Ⅱ）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
19．（2018?吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是什么对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．
/
【答案】（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；（2）轴对称；（3）周长为8π．
【解析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可；
(2)根据轴对称图形的定义即可判断；
(3)利用弧长公式计算即可.
解：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：
/
(2)观察图象可知图象是轴对称图形，
(3)周长=4×
90×??×4
180
=8π．
故答案为：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；(2)轴对称；(3)8π．
【点评】本题考查作图——旋转变换、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形.
20．（2018?荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα=
1
2
，tanβ=
1
3
，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求
????
的弧长．
/
【答案】（1）α+β=45°；（2）
5
??
4
．
【解析】（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α，然后再证明△AMH为等腰直角三角形即可；
（2）先求得MH的长，然后再求得弧MR所对圆心角的度数，最后，再依据弧长公式求解即可．
解：（1）如图，连结AM、MH，则∠MHP=∠α，
/
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°；
（2）由勾股定理可知MH=
??
??
2
+??
??
2
=
5
，
∵∠MHR=45°，
∴
????
的长=
90×
5
2
??
180
=
5
??
4
．
【点睛】本题考查了弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
一、单选题
1.（2017?广州一模）用圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（?? ）
/
A.?3 cm?????????????????????????????/B.?2
2
cm?????????????????????????????/C.?3
2
cm?????????????????????????????/D.?4
2
cm
【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径长为xcm，
根据题意得2πx=
120????3
180
解得x=1，
所以这个纸冒的高=
3
2
?
1
2
=2
2
（cm）．
故答案为：B．
【点评】先根据底面圆的周长等于圆锥展开图扇形的弧长，求出底面圆的半径，再利用勾股定理即可求出这个纸冒的高。
2. （2017?衡阳一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2
2
，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（?? ）
/
A.?4π???????????????????????????????????/B.?4
2
π???????????????????????????????????/C.?8π???????????????????????????????????/D.?8
2
π
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2
2
， ∴AB=4，
∴所得圆锥底面半径为2，
∴几何体的表面积=2×π×2×2
2
=8
2
π，
故选D．
【点评】所得几何体的表面积为2个底面半径为2，母线长为2
2
的圆锥侧面积的和．
3.（2017?兰州模拟）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（?? ）
A.?互余???????????????????????????????/B.?互补???????????????????????????????/C.?互余或互补???????????????????????????????/D.?不能确定
【答案】B
【解析】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为
360°
??
，正多边形的一个外角等于
360°
??
， 所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
【点评】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
4.（2017?泰安一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2
3
，则阴影部分的面积为（?? ）
/
A.?2π?????????????????????????????????????????/B.?π?????????????????????????????????????????/C.?
??
3
?????????????????????????????????????????/D.?
2??
3
【答案】D
【解析】解：∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°，
又∵弦CD⊥AB，CD=2
3
，
∴OC=
1
2
????
??????60°
=
3
3
2
=2 ，
∴
??
阴影
=
??
扇形??????
=
60×??×
2
2
360
=
2??
3
，
故选D．
【点评】要求阴影部分的面积，由图可知，阴影部分的面积等于扇形COB的面积，根据已知条件可以得到扇形COB的面积，本题得以解决．
5. （2017?杭州模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分．例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规等分的是（?? ） ①两等分??? ②三等分???? ③四等分?????? ④五等分．
/
A.?②??????????????????????????????????/B.?①②??????????????????????????????????/C.?①②③??????????????????????????????????/D.?①②③④
【答案】D
【解析】解：可以将圆①两等分??? ②三等分???? ③四等分?????? ④五等分． 五等分的步骤：
（i）设该圆中心为O点，做圆O直径AB；
（ii）在此圆中再作一直径CD，使CD垂直于AB；
（iii）以半径OA的中点M为圆心，以MC为半径作弧交线段AB于点N；
（iv）连结NC．则线段NC即该圆的内接正五边形边长．
故选D．
【点评】利用圆规可以将圆①两等分??? ②三等分???? ③四等分?????? ④五等分．
6．（2018?鄂州模拟）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
【答案】A
【解析】根据已知得出直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120°半径是30cm的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案。
解：直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120°半径是30cm的扇形
假设每个圆锥容器的地面半径为??cm
120°×??×30
180°
=2????
解得??=10(cm)
故答案选A.
【点评】本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。
7．（2018?镇江押题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2
3
，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将
????
绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
/
A．
2??
3
?2
3
B．2
3
?
2??
3
C．
2??
3
?
3
D．
3
?
2??
3
【答案】B
【解析】阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．
解：由旋转可知AD=BD，
∵∠ACB=90°,AC=2
3
，
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=
2??
3
3
3
AC=2，
∴阴影部分的面积=2
3
×2÷2?
60??×
2
2
360
=2
3
?
2??
3
.
故答案选：B.
【点评】本题考查的知识点是旋转的性质及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质及扇形面积的计算.
8．（2018?武安模拟）如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
/
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.6
【答案】D
【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣
2
小于等于1．故选D．
/
【点评】本题考查了正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
9．（2018?寿光模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
/
A．3 B．4﹣
3
C．4 D．6﹣2
3
【答案】B
【解析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．
解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
/
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC
∵AB=BC=2
∴AD=AB?sin∠B=
3
，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE=OE′=2
∵点A的坐标为（0，6）
∴OA=6
∴DE′=OA-AD-OE′=4-
3
故选B．
【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．
10．（2018?北京模拟）点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（ ）
/
A．
3
4
B．
3
2
C．
3
3
4
D．
3
【答案】B
【解析】根据所给的图形并结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影=S△ADC+S△BCE，继而可得出答案．
解：根据题意，知D、C、E三点共线，
点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，
∴弧AC对的圆心角为
180°
3
=60°，
∴∠ABC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=
1
2
AB=1，BC=AB?COS30°=
3
，
BE=BC? COS30°=
3
2
，CE=DC=
3
2
，AD=
1
2
，
且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．
从而，S阴影=S梯形ABED+
??
2
1
4
????
2
+
1
4
????
2
+
1
4
????
2
+
1
4
????
2
?S△ABC﹣
??
2
1
4
????
2
+
1
4
????
2
，
=S△ADC+S△BCE，
=
1
2
×
1
2
×
3
2
+
3
2
×
3
2
=
3
2
故选：B．
【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．
二、填空题
11.（2017?贵港一模）已知圆柱的侧面积是20π cm2，高为5cm，则圆柱的底面半径为________．
【答案】2cm
【解析】解：设圆柱底面圆的半径为r，那么侧面积为 2πr×5=20π
r=2cm．
故答案为2cm．
【点评】圆柱的侧面展开图是个长方形，对应的面积是底面圆的周长乘以高．用侧面积为作为相等关系即可求得底面圆的半径．
12.（2017?宿州模拟）如图，点O是线段AB上一点，AB=4cm，AO=1cm，若线段AB绕点O顺时针旋转120°到线段A′B′的位置，则线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为 ________cm2 ． （结果保留π）
/
【答案】
4??
3
【解析】解：由题意得：OA=1，OB=3； ∵S扇形A′OA=
120???
1
2
360
=
??
3
，S扇形BOB′=
120???
3
2
360
=3π，
∴线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积=
??
3
+π=
4??
3
（cm2），
故答案为
4??
3
．
【点评】将线段AB在旋转过程中扫过的图形看作两个扇形，运用扇形的面积公式求出两个扇形的面积，即可解决问题．
13.（2017?宁波模拟）如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB=70°，则这个正多边形的内角和为________．
/
【答案】1260°
【解析】解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠AOB=40°，
∵AB为⊙O的内接正多边形的一边，
∴正多边形的边数= /=9，
∴这个正多边形的内角和=（9﹣2）×180°=1260°，
故答案为：1260°．
【点评】由圆的性质易证△OAB是等腰三角形，所以∠AOB的度数可求，再根据正多边形的性质可求出其边数，最后利用多边形内角和定理计算即可．
14．（2018?葫芦岛模拟）边长为6的正六边形外接圆半径是_____．
【答案】6
【解析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为6的正六边形外接圆半径是6,故答案为：6.
【点评】本题考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键．
15．（2018?开远模拟）如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到 “三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为_____（结果保留π）
/
【答案】18π
【解析】根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和，利用扇形面积公式解答即可．
解：∵正六边形的内角为
(6?2)×
180
0
6
＝120°，
∴扇形的圆心角为360°?120°＝240°，
∴“三叶草”图案中阴影部分的面积为
240??×
3
2
360
×3＝18π，
故答案为：18π．
【点评】此题考查正多边形与圆，关键是根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和解答．
16．（2018?河南模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是______．
/
【答案】6-π
【解析】分别求出DC=BC=CE=2，BD=BF=2
2
，求出∠DCE=90°，∠DBF，分别求出△BCD、△BEF、扇形DBF、扇形DCE的面积，即可得出答案．
解：过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，
/
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=2，∠DCB=45°，
由勾股定理得：BD=2
2
，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，
∴∠DCE=90°，BF=BD=2
2
，∠FBE=90°-45°=45°，
∴BM=FM=2，ME=2，
∴阴影部分的面积S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE-S扇形DBF
=
1
2
×2×2+
1
2
×4×2+
90??×
2
2
360
?
90??×
(2
2
)
2
360
=6-π，
故答案为：6-π．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．
三、解答题
17.（2017?诸暨模拟）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2 ， 其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
/
【答案】答案见解析
【解析】解：第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是
1
4
2π·5=
5
2
π．
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°
此次走过的路径是
1
6
·2π·3=π，
∴点A两次共走过的路径是
7
2
πcm．
【点评】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．
18.（2017?南阳模拟）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2
2
，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
/
【答案】答案见解析
【解析】解：∵弦AB=BC，弦CD=DE， ∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC= /，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC= /，
在等腰三角形MNO中，NO= /MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD= /= /= /，
即圆O的半径为 /，
故S阴影=S扇形OBD= /= /π．
/
【点评】根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．
19．（2018?杭州一模）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
/
【答案】（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为18
3
【解析】（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.
解：（1）所作图形如下图所示：
/
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°=3
3
，OE=3，
∴AB=6
3
，
∴CD=2
3
，
∴S△OCD=
1
2
×2
3
×3=3
3
，
∴S阴影=6S△OCD=18
3
.
/
20．（2018?苏州模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆/心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
/
【答案】（1）6π；（2）GB=DF，理由详见解析.
【解析】（1）根据弧长公式l=
??????
180
计算即可； （2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系．
解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°， ∴弧DE的长 l1=
90×??×2
180
=π，
/ 同理弧EF的长 l2=
90×??×4
180
=2π，弧FG的长 l3=
90×??×6
180
=3π， 所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π． （2）GB=DF． 理由如下：延长GB交DF于H． ∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG， ∴△FDC≌△GBC． ∴GB=DF．
【点评】本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．
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