高中物理人教版必修二 万有引力与航天同步作业 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 高中物理人教版必修二 万有引力与航天同步作业 Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 384.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-03-20 20:03:25 | ||
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文档简介
高中物理人教版必修二 万有引力与航天同步作业
一、开普勒三定律
1.开普勒第一定律:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个 上.?
2.开普勒第二定律:对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的 相等.?
3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的 的三次方跟 的二次方的比值都相等.?
二、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都互相吸引,引力的大小与物体的质量的乘积成 ,与它们之间距离的二次方成 .?
2.公式: (其中引力常量G=6.67×10-11 N·m2/ kg2).?
3.适用条件:公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用,对均匀球体来说,r是两球心间的距离.
三、天体运动问题的分析
1.运动学分析:将天体或卫星的运动看成 运动.?
2.动力学分析:
(1)由万有引力提供 ,即F向=GMmr2=man=mv2r=mω2r=m2πT2r.?
(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于 ,即GMmr2=mg(g为星球表面的重力加速度).?
【辨别明理】
(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量. ( )
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小. ( )
(3)近地卫星距离地球最近,环绕速度最小. ( )
(4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空. ( )
(5)极地卫星通过地球两极,且始终和地球某一经线平面重合. ( )
(6)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s. ( )
考点一 万有引力及其与重力的关系
例1 (多选)设宇宙中某一小行星自转较快,但仍可近似看作质量分布均匀的球体,半径为R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量,第一次在极点处,弹簧测力计的读数为F1 =F0;第二次在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=F02.假设第三次在赤道平面内深度为R2的隧道底部,示数为F3;第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示数为F4.已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是 ( )
A.F3=F04 B.F3=15F04
C. F4=0 D. F4=F04
■ 题根分析
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图12-1所示.
图12-1
(1)在赤道处:GMmR2=mg1+mω2R.
(2)在两极处:GMmR2=mg2.
(3)在一般位置:万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和.
越靠近南、北两极,g值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR2=mg.
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):
mg=GMmR2,得g=GMR2.
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':
mg'=GMm(R+h)2,得g'=GM(R+h)2,
所以gg'=(R+h)2R2.
■ 变式网络
变式题1 (多选)火箭载着宇宙探测器飞向某行星,火箭内平台上还放有测试仪器,如图12-2所示.火箭从地面起飞时,以加速度g02竖直向上做匀加速直线运动(g0为地面附近的重力加速度),已知地球半径为R,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的1727,此时火箭离地面的高度为h,所在位置重力加速度为g,则 ( )
图12-2
A.g=2g03 B.g=4g09
C.h=R D.h=R2
变式题2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体,一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ( )
A.1-dR B.1+dR
C.R-dR2 D.RR-d2
变式题3 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的密度为 ( )
A.3π(g0-g)GT2g0
B.3πg0GT2(g0-g)
C.3πGT2
D.3πg0GT2g
考点二 天体质量及密度的计算
(1)利用卫(行)星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量
计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力.由GMmr2=m4π2T2r,解得M=4π2r3GT2;ρ=MV=M43πR3=3πr3GT2R3,R为中心天体的半径,若为近地卫星,则R=r,有ρ=3πGT2.由上式可知,只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出中心天体的质量M.若再知道中心天体的半径,则可算出中心天体的密度.
(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=gR2G,天体密度ρ=MV=M43πR3=3g4πGR.
例2 [2017·北京卷] 利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( )
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
变式题1 我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务,进一步获取月球的相关数据.该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间t,卫星的路程为s,卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度,引力常量为G,月球半径为R,则可推知月球密度的表达式是 ( )
A.3t2θ4πGs3R3 B.4θπR3Gt23s3
C.3s34θπGt2R3 D.4πR3Gs33θt2
变式题2 已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,运动周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A. “慧眼”卫星的向心加速度大小为4π2rT2
B.地球的质量大小为4π2R3GT2
C.地球表面的重力加速度大小为4π2RT2
D.地球的平均密度大小为3πGT2
■ 要点总结
天体质量和密度的估算问题是高考命题热点,解答此类问题时,首先要掌握基本方法(两个等式:①由万有引力提供向心力;②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力),其次是记住常见问题的结论,主要分两种情况:(1)利用卫星的轨道半径r和周期T,可得中心天体的质量M=4π2r3GT2,并据此进一步得到该天体的密度ρ=MV=M43πR3=3πr3GT2R3(R为中心天体的半径),尤其注意当r=R时,ρ=3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=gR2G,天体密度ρ=MV=M43πR3=3g4πGR.
考点三 黑洞与多星系统
1.双星系统
系统
可视天体绕黑洞做圆周运动
黑洞与可视天体构成的双星系统
两颗可视天体构成的双星系统
图示
向心力
的来源
黑洞对可视天体的万有引力
彼此给对方的万有引力
彼此给对方的万有引力
2.多星系统
系统
三星系统(正三角形排列)
三星系统(直线等间距排列)
四星系统
图示
向心力
的来源
另外两星球对其万有引力的合力
另外两星球对其万有引力的合力
另外三星球对其万有引力的合力
例3 天文学家们推测,超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域.在变化过程中的某一阶段,两个黑洞逐渐融入到新合并的星系中央并绕对方旋转,这种富含能量的运动产生了引力波.假设在合并前,两个黑洞互相绕转形成一个双星系统,如图12-3所示,若黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg,球心间
的距离为2×105 m,产生的引力波周期和黑洞做圆周运动的周期相当,则估算该引力波周期的数量级为(G=6.67×10-11 N·m2/kg2) ( )
图12-3
A.10-1 s B.10-2 s C.10-3 s D.10-4 s
变式题 [2018·江西新余二模] 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是 ( )
图12-4
A.它们两两之间的万有引力大小为16π4l49GT4
B.其中一颗星的质量为3GT24π2l3
C.三颗星的质量可能不相等
D.它们的线速度大小均为23πlT
■ 要点总结
多星问题的解题技巧
(1)挖掘一个隐含条件:在圆周上运动的天体的角速度(或周期)相等.
(2)重视向心力来源分析:双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,三星或多星做圆周运动的向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供.
(3)区别两个长度关系:圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的,不能误认为一样.
完成课时作业(十二)
第12讲 万有引力与天体运动
【教材知识梳理】
一、1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期
二、1.正比 反比 2.F=Gm1m2r2
三、1.匀速圆周 2.(1)向心力 (2)物体的重力
辨别明理
(1)(×) (2)(√) (3)(×) (4)(×) (5)(×)
(6)(√)
【考点互动探究】
考点一
例1 AC [解析] 在行星极点处,有F1 = F0=GMmR2,在赤道处,有F2=F02=GMmR2-mω2R,在赤道平面内深度为R2的隧道底部,有F3=GM'mR22-mω2·R2,而M'=ρ·43πR23=M8,联立可得F3=F04,选项A正确;在人造卫星中处于完全失重状态,示数F4=0,选项C正确.
变式题1 BD [解析] 在地面起飞时,由牛顿第二定律可知F-mg0=ma,GMmR2=mg0,升到某一高度时,有1727F-mg=ma,GMm(R+h)2=mg,其中a=g02,联立解得g=4g09,h=R2,选项B、D正确.
变式题2
A [解析] 如图所示,根据题意,地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零.设地面处的重力加速度为g,地球质量为M,地球表面质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力,故mg=GMmR2;设矿井底部处的重力加速度为g',“等效地球”的质量为M',其半径r=R-d,则矿井底部质量为m的物体受到的重力mg'=GM'mr2,又M=ρV=ρ·43πR3,M'=ρV'=ρ·43π(R-d)3,联立解得g'g=1-dR,A正确.
变式题3 B [解析] 物体在地球的两极时,有mg0=GMmR2,物体在赤道上时,有mg+m2πT2R=GMmR2,又V=43πR3,M=ρV,联立解得地球的密度ρ=3πg0GT2(g0-g),故选项B正确,选项A、C、D错误.
考点二
例2 D [解析] 由mg=GMmR2,可得M=gR2G,由选项A中数据可以求出地球质量.由GMmR2=m2πT2R,可得M=4π2R3GT2,其中R表示地球半径,又知2πR=vT,由选项B中数据可以求出地球质量.由GMmr2=m2πT2r,可得M=4π2r3GT2,其中r表示月球与地球之间的距离,由选项C中数据可以求出地球质量.由选项D中数据不能求出地球质量.
变式题1 C [解析] 卫星运动的线速度v=st,运动的半径r=sθ,对卫星,有GMmr2=mv2r,月球质量M=v2rG,月球体积V=43πR3,故月球密度ρ=MV=3s34θπGt2R3,选项C正确.
变式题2 A [解析] “慧眼”卫星的向心加速度大小为an=2πT2r=4π2rT2,选项A正确;根据GMmr2=m4π2T2r可得M=4π2r3GT2,选项B错误;根据GMmR2=mg可得地球表面的重力加速度g=GMR2=4π2r3T2R2,选项C错误;根据M=ρ·43πR3可得地球的平均密度ρ=M43πR3=3πr3GT2R3,选项D错误.
考点三
例3 C [解析] 设两黑洞的质量分别为m1和m2,运动的半径分别为r1和r2,由向心力公式得Gm1m2L2=m1ω2r1=m2ω2r2,解得m1=L2ω2r2G,m2=L2ω2r1G,两黑洞总质量m1+m2=L2ω2(r1+r2)G=L3ω2G,周期T=2πω=2πL3G(m1+m2)≈6×10-3 s,选项C正确.
变式题 A [解析] 要使每颗星受到的两万有引力的合力都指向圆心,则三颗星的质量必须相等;对其中某一星,有2×GM2l2cos 30°=M2πT2l2cos30°,解得M=4π2l33GT2,选项B、C错误;两颗星之间的万有引力F=GM2l2=16π4l49GT4,选项A正确;线速度v=2πT·l2cos30°=23πl3T,选项D错误.
1.一卫星在一行星表面附近绕其做匀速圆周运动的线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星的密度为 ( )
A.3N2v24πm2G B.3N2m24πv2G C.3N2G4πm2v2 D.3N24πm2v2G
[解析] D 该行星表面的重力加速度g=Nm,由万有引力等于卫星绕该行星表面附近做匀速圆周运动的向心力,有GMmR2=mv2R,由行星表面附近万有引力等于卫星重力,有mg=GMmR2,又知ρ=MV=M43πR3,联立解得ρ=3N24πm2v2G,D正确.
2.美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在,证实了GW150914是两个黑洞并合的事件.GW150914是一个质量为太阳质量的36倍的黑洞和一个质量为太阳质量的29倍的黑洞并合事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动,且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响,则关于这两个黑洞的运动,下列说法正确的是 ( )
A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C. 质量为太阳质量的36倍的黑洞和质量为太阳质量的29倍的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
D.随两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小
[解析] D 设两个黑洞的间距为L,质量为太阳质量的36倍的黑洞质量为m1,轨道半径为r1,质量为太阳质量的29倍的黑洞质量为m2,轨道半径为r2.这两个黑洞做圆周运动,角速度相等,向心力大小相等,则m1r1ω2=m2r2ω2,所以r1∶r2=m2∶m1=29∶36,由线速度v=rω可知,线速度大小之比为29∶36,选项A、C错误;由向心加速度an=rω2可知,这两个黑洞的向心加速度大小不等,选项B错误;对质量为太阳质量的36倍的黑洞,有Gm1m2L2=m1r12πT2,对另一黑洞,有Gm1m2L2=m2r22πT2,又r1+r2=L,联立得Gm1+m2L2=(r1+r2)2πT2,即T2=4π2L3G(m1+m2),所以随着两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小,选项D正确.
3.某天体可视为质量均匀分布的球体,自转周期为T,北极点处的重力加速度是赤道处重力加速度的k倍(k>1).若该天体有一颗近地环绕卫星,则近地环绕卫星的周期为 ( )
A.k-1·T B. 1k-1·T
C. kk-1·T D. k-1k·T
[解析] D 在赤道处,有mg+m4π2RT2=GMmR2,在北极点,有kmg=GMmR2,联立可得GMR31?1k=4π2T2,对近地环绕卫星,有GMm'R2=m'4π2RT02,解得周期T0=k-1k·T,选项D正确.
4.(多选)某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时,发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ弧度,已知引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A.卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为lt
B.卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为2πθt
C.地球的质量为l3Gθt2
D.卫星的质量为t2Gθl3
[解析] AC 由圆周运动公式可得l=θr,v=lt,该卫星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有GMmr2=mv2r,解得M=l3Gθt2,选项A、C正确.
5.宇航员在地球表面附近一定高度处以一定的初速度水平抛出一小球,小球做平抛运动经过时间t落回地面;若他在某星球表面同样的高度以相同的初速度水平抛出同一小球,小球做平抛运动经过时间2t落回该星球表面.(地球表面的重力加速度为g,空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度大小g'.
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶3,求该星球的质量与地球的质量之比M星∶M地.
[答案] (1)14g (2)1∶36
[解析] (1)设平抛运动的高度为h,则有h=12gt2
h=12g'(2t)2
解得星球表面的重力加速度g'=14g
(2)由GMmR2=mg
可得M=gR2G
故M星M地=g'R星2gR地2=136.
一、开普勒三定律
1.开普勒第一定律:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个 上.?
2.开普勒第二定律:对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的 相等.?
3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的 的三次方跟 的二次方的比值都相等.?
二、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都互相吸引,引力的大小与物体的质量的乘积成 ,与它们之间距离的二次方成 .?
2.公式: (其中引力常量G=6.67×10-11 N·m2/ kg2).?
3.适用条件:公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用,对均匀球体来说,r是两球心间的距离.
三、天体运动问题的分析
1.运动学分析:将天体或卫星的运动看成 运动.?
2.动力学分析:
(1)由万有引力提供 ,即F向=GMmr2=man=mv2r=mω2r=m2πT2r.?
(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于 ,即GMmr2=mg(g为星球表面的重力加速度).?
【辨别明理】
(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量. ( )
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小. ( )
(3)近地卫星距离地球最近,环绕速度最小. ( )
(4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空. ( )
(5)极地卫星通过地球两极,且始终和地球某一经线平面重合. ( )
(6)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s. ( )
考点一 万有引力及其与重力的关系
例1 (多选)设宇宙中某一小行星自转较快,但仍可近似看作质量分布均匀的球体,半径为R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量,第一次在极点处,弹簧测力计的读数为F1 =F0;第二次在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=F02.假设第三次在赤道平面内深度为R2的隧道底部,示数为F3;第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示数为F4.已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是 ( )
A.F3=F04 B.F3=15F04
C. F4=0 D. F4=F04
■ 题根分析
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图12-1所示.
图12-1
(1)在赤道处:GMmR2=mg1+mω2R.
(2)在两极处:GMmR2=mg2.
(3)在一般位置:万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和.
越靠近南、北两极,g值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR2=mg.
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):
mg=GMmR2,得g=GMR2.
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':
mg'=GMm(R+h)2,得g'=GM(R+h)2,
所以gg'=(R+h)2R2.
■ 变式网络
变式题1 (多选)火箭载着宇宙探测器飞向某行星,火箭内平台上还放有测试仪器,如图12-2所示.火箭从地面起飞时,以加速度g02竖直向上做匀加速直线运动(g0为地面附近的重力加速度),已知地球半径为R,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的1727,此时火箭离地面的高度为h,所在位置重力加速度为g,则 ( )
图12-2
A.g=2g03 B.g=4g09
C.h=R D.h=R2
变式题2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体,一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ( )
A.1-dR B.1+dR
C.R-dR2 D.RR-d2
变式题3 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的密度为 ( )
A.3π(g0-g)GT2g0
B.3πg0GT2(g0-g)
C.3πGT2
D.3πg0GT2g
考点二 天体质量及密度的计算
(1)利用卫(行)星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量
计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力.由GMmr2=m4π2T2r,解得M=4π2r3GT2;ρ=MV=M43πR3=3πr3GT2R3,R为中心天体的半径,若为近地卫星,则R=r,有ρ=3πGT2.由上式可知,只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出中心天体的质量M.若再知道中心天体的半径,则可算出中心天体的密度.
(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=gR2G,天体密度ρ=MV=M43πR3=3g4πGR.
例2 [2017·北京卷] 利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( )
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
变式题1 我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务,进一步获取月球的相关数据.该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间t,卫星的路程为s,卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度,引力常量为G,月球半径为R,则可推知月球密度的表达式是 ( )
A.3t2θ4πGs3R3 B.4θπR3Gt23s3
C.3s34θπGt2R3 D.4πR3Gs33θt2
变式题2 已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,运动周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A. “慧眼”卫星的向心加速度大小为4π2rT2
B.地球的质量大小为4π2R3GT2
C.地球表面的重力加速度大小为4π2RT2
D.地球的平均密度大小为3πGT2
■ 要点总结
天体质量和密度的估算问题是高考命题热点,解答此类问题时,首先要掌握基本方法(两个等式:①由万有引力提供向心力;②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力),其次是记住常见问题的结论,主要分两种情况:(1)利用卫星的轨道半径r和周期T,可得中心天体的质量M=4π2r3GT2,并据此进一步得到该天体的密度ρ=MV=M43πR3=3πr3GT2R3(R为中心天体的半径),尤其注意当r=R时,ρ=3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=gR2G,天体密度ρ=MV=M43πR3=3g4πGR.
考点三 黑洞与多星系统
1.双星系统
系统
可视天体绕黑洞做圆周运动
黑洞与可视天体构成的双星系统
两颗可视天体构成的双星系统
图示
向心力
的来源
黑洞对可视天体的万有引力
彼此给对方的万有引力
彼此给对方的万有引力
2.多星系统
系统
三星系统(正三角形排列)
三星系统(直线等间距排列)
四星系统
图示
向心力
的来源
另外两星球对其万有引力的合力
另外两星球对其万有引力的合力
另外三星球对其万有引力的合力
例3 天文学家们推测,超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域.在变化过程中的某一阶段,两个黑洞逐渐融入到新合并的星系中央并绕对方旋转,这种富含能量的运动产生了引力波.假设在合并前,两个黑洞互相绕转形成一个双星系统,如图12-3所示,若黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg,球心间
的距离为2×105 m,产生的引力波周期和黑洞做圆周运动的周期相当,则估算该引力波周期的数量级为(G=6.67×10-11 N·m2/kg2) ( )
图12-3
A.10-1 s B.10-2 s C.10-3 s D.10-4 s
变式题 [2018·江西新余二模] 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是 ( )
图12-4
A.它们两两之间的万有引力大小为16π4l49GT4
B.其中一颗星的质量为3GT24π2l3
C.三颗星的质量可能不相等
D.它们的线速度大小均为23πlT
■ 要点总结
多星问题的解题技巧
(1)挖掘一个隐含条件:在圆周上运动的天体的角速度(或周期)相等.
(2)重视向心力来源分析:双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,三星或多星做圆周运动的向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供.
(3)区别两个长度关系:圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的,不能误认为一样.
完成课时作业(十二)
第12讲 万有引力与天体运动
【教材知识梳理】
一、1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期
二、1.正比 反比 2.F=Gm1m2r2
三、1.匀速圆周 2.(1)向心力 (2)物体的重力
辨别明理
(1)(×) (2)(√) (3)(×) (4)(×) (5)(×)
(6)(√)
【考点互动探究】
考点一
例1 AC [解析] 在行星极点处,有F1 = F0=GMmR2,在赤道处,有F2=F02=GMmR2-mω2R,在赤道平面内深度为R2的隧道底部,有F3=GM'mR22-mω2·R2,而M'=ρ·43πR23=M8,联立可得F3=F04,选项A正确;在人造卫星中处于完全失重状态,示数F4=0,选项C正确.
变式题1 BD [解析] 在地面起飞时,由牛顿第二定律可知F-mg0=ma,GMmR2=mg0,升到某一高度时,有1727F-mg=ma,GMm(R+h)2=mg,其中a=g02,联立解得g=4g09,h=R2,选项B、D正确.
变式题2
A [解析] 如图所示,根据题意,地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零.设地面处的重力加速度为g,地球质量为M,地球表面质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力,故mg=GMmR2;设矿井底部处的重力加速度为g',“等效地球”的质量为M',其半径r=R-d,则矿井底部质量为m的物体受到的重力mg'=GM'mr2,又M=ρV=ρ·43πR3,M'=ρV'=ρ·43π(R-d)3,联立解得g'g=1-dR,A正确.
变式题3 B [解析] 物体在地球的两极时,有mg0=GMmR2,物体在赤道上时,有mg+m2πT2R=GMmR2,又V=43πR3,M=ρV,联立解得地球的密度ρ=3πg0GT2(g0-g),故选项B正确,选项A、C、D错误.
考点二
例2 D [解析] 由mg=GMmR2,可得M=gR2G,由选项A中数据可以求出地球质量.由GMmR2=m2πT2R,可得M=4π2R3GT2,其中R表示地球半径,又知2πR=vT,由选项B中数据可以求出地球质量.由GMmr2=m2πT2r,可得M=4π2r3GT2,其中r表示月球与地球之间的距离,由选项C中数据可以求出地球质量.由选项D中数据不能求出地球质量.
变式题1 C [解析] 卫星运动的线速度v=st,运动的半径r=sθ,对卫星,有GMmr2=mv2r,月球质量M=v2rG,月球体积V=43πR3,故月球密度ρ=MV=3s34θπGt2R3,选项C正确.
变式题2 A [解析] “慧眼”卫星的向心加速度大小为an=2πT2r=4π2rT2,选项A正确;根据GMmr2=m4π2T2r可得M=4π2r3GT2,选项B错误;根据GMmR2=mg可得地球表面的重力加速度g=GMR2=4π2r3T2R2,选项C错误;根据M=ρ·43πR3可得地球的平均密度ρ=M43πR3=3πr3GT2R3,选项D错误.
考点三
例3 C [解析] 设两黑洞的质量分别为m1和m2,运动的半径分别为r1和r2,由向心力公式得Gm1m2L2=m1ω2r1=m2ω2r2,解得m1=L2ω2r2G,m2=L2ω2r1G,两黑洞总质量m1+m2=L2ω2(r1+r2)G=L3ω2G,周期T=2πω=2πL3G(m1+m2)≈6×10-3 s,选项C正确.
变式题 A [解析] 要使每颗星受到的两万有引力的合力都指向圆心,则三颗星的质量必须相等;对其中某一星,有2×GM2l2cos 30°=M2πT2l2cos30°,解得M=4π2l33GT2,选项B、C错误;两颗星之间的万有引力F=GM2l2=16π4l49GT4,选项A正确;线速度v=2πT·l2cos30°=23πl3T,选项D错误.
1.一卫星在一行星表面附近绕其做匀速圆周运动的线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星的密度为 ( )
A.3N2v24πm2G B.3N2m24πv2G C.3N2G4πm2v2 D.3N24πm2v2G
[解析] D 该行星表面的重力加速度g=Nm,由万有引力等于卫星绕该行星表面附近做匀速圆周运动的向心力,有GMmR2=mv2R,由行星表面附近万有引力等于卫星重力,有mg=GMmR2,又知ρ=MV=M43πR3,联立解得ρ=3N24πm2v2G,D正确.
2.美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在,证实了GW150914是两个黑洞并合的事件.GW150914是一个质量为太阳质量的36倍的黑洞和一个质量为太阳质量的29倍的黑洞并合事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动,且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响,则关于这两个黑洞的运动,下列说法正确的是 ( )
A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C. 质量为太阳质量的36倍的黑洞和质量为太阳质量的29倍的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
D.随两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小
[解析] D 设两个黑洞的间距为L,质量为太阳质量的36倍的黑洞质量为m1,轨道半径为r1,质量为太阳质量的29倍的黑洞质量为m2,轨道半径为r2.这两个黑洞做圆周运动,角速度相等,向心力大小相等,则m1r1ω2=m2r2ω2,所以r1∶r2=m2∶m1=29∶36,由线速度v=rω可知,线速度大小之比为29∶36,选项A、C错误;由向心加速度an=rω2可知,这两个黑洞的向心加速度大小不等,选项B错误;对质量为太阳质量的36倍的黑洞,有Gm1m2L2=m1r12πT2,对另一黑洞,有Gm1m2L2=m2r22πT2,又r1+r2=L,联立得Gm1+m2L2=(r1+r2)2πT2,即T2=4π2L3G(m1+m2),所以随着两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小,选项D正确.
3.某天体可视为质量均匀分布的球体,自转周期为T,北极点处的重力加速度是赤道处重力加速度的k倍(k>1).若该天体有一颗近地环绕卫星,则近地环绕卫星的周期为 ( )
A.k-1·T B. 1k-1·T
C. kk-1·T D. k-1k·T
[解析] D 在赤道处,有mg+m4π2RT2=GMmR2,在北极点,有kmg=GMmR2,联立可得GMR31?1k=4π2T2,对近地环绕卫星,有GMm'R2=m'4π2RT02,解得周期T0=k-1k·T,选项D正确.
4.(多选)某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时,发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ弧度,已知引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A.卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为lt
B.卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为2πθt
C.地球的质量为l3Gθt2
D.卫星的质量为t2Gθl3
[解析] AC 由圆周运动公式可得l=θr,v=lt,该卫星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有GMmr2=mv2r,解得M=l3Gθt2,选项A、C正确.
5.宇航员在地球表面附近一定高度处以一定的初速度水平抛出一小球,小球做平抛运动经过时间t落回地面;若他在某星球表面同样的高度以相同的初速度水平抛出同一小球,小球做平抛运动经过时间2t落回该星球表面.(地球表面的重力加速度为g,空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度大小g'.
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶3,求该星球的质量与地球的质量之比M星∶M地.
[答案] (1)14g (2)1∶36
[解析] (1)设平抛运动的高度为h,则有h=12gt2
h=12g'(2t)2
解得星球表面的重力加速度g'=14g
(2)由GMmR2=mg
可得M=gR2G
故M星M地=g'R星2gR地2=136.