第十六章 二次根式
16.1 二次根式（第1课时）
●教学目标
1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.
● 过程与方法
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
●情感、态度与价值观
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
●重点与难点
【重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.
【难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.
●教学准备
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.
●新课导入:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 .?
(2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 .?
学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .?
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .?
学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3) .
1.二次根式的概念
教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数
例题讲解
下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.
,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0).
引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
●课堂小结
知识要点
关键点
注意事项
二次根式的概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a
被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等
二次根式有意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零
●布置作业
教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
教材第5页习题16.1第7题.
●教学后记：
第十六章 二次根式
16.1 二次根式（第2课时）
●教学目标
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
●过程与方法
在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
●情感、态度与价值观
通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
●重点与难点
【重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】 能运用二次根式的性质化简.
●教学准备
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 自学教材第3~4页的内容.
●新课导入
教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?
学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.
.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
提问:你能解释下列式子的含义吗?
学生口述,教师根据情况评价.
例题讲解
(教材例2)计算:
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
变式训练
计算:(-2)2.
〔解析〕 把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.
解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
提问:你能解释下列式子的含义吗?
教师引导学生说出每一个式子的含义.
表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根; 表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.
3.代数式
提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?
学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.
这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.
例题讲解
(补充)计算:(-5)2,
〔解析〕 利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.
解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.
● 课堂小结
知识要点
关键点
注意事项
()2=a(a≥0)
任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身
被开方数a是非负数
=|a|=
任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值
底数a可以是任何实数
代数式
用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式
①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
● 布置作业
【必做题】
教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.
●教学后记：
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（第1课时）
●教学目标
1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.
● 过程与方法
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
●情感、态度与价值观
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
●重点与难点
【重点】 能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.
【难点】 综合运用有关法则和性质化简二次根式.
●教学准备
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习二次根式的定义和代数式的定义.
●新课导入:
古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7m,5m,8m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?
原来海伦先算出三角形的周长的一半为10m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.
我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?
1.二次根式的乘法
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?
学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
出示教材第6页“探究”.
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)×= ,= ;?
(2)×= , ; ?
(3)×= ,= . ?
学生自己计算,并力争独立发现规律
由上面的特殊例子引导学生总结:
即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
尝试练习(教材例1):
计算
学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.
2.积的算术平方根的性质
(1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.
● 课堂小结
1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).
2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
● 布置作业
【必做题】
教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.
教材第11页习题16.2第6题.
●教学后记：
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（第1课时）
●教学目标
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
● 过程与方法
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
●情感、态度与价值观
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
●重点与难点
【重点】 会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【难点】 二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
●教学准备
【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习二次根式的乘法法则.
●新课导入:
学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.
这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.
1.二次根式的除法
教材8页 探究
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)= , = ;?
(2)= , = ;?
(3)= , = .?
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
提问:二次根式的除法法则是什么?字母表达式是怎样的?
学生总结二次根式除法的法则
即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
追问:a,b的取值范围为什么不同?
学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.
由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.
明确二次根式的除法法则
尝试练习:
(教材例4)计算:
● 课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
2,即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3.如果一个二次根式满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.
● 布置作业
【必做题】
教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第7,8,9,10题.
● 教学后记：
第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减（第1课时）
●教学目标
理解和掌握二次根式加减的方法.
● 过程与方法
先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.
●情感、态度与价值观
体会合作学习的乐趣.
●重点与难点
【重点】 二次根式加减法的运算.
【难点】 快速准确进行二次根式加减法的运算.
●教学准备
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习整式的计算.
●新课导入:
(出示教材第12页问题)现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板?
提问:①大、小正方形木板的边长分别为 dm和 dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算+的结果呢?
引导学生思考,并进行交流.
两个小正方形的边长分别为 dm和 dm,均小于5dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为 dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.
下边我们来探究二次根式的加减.
我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件?
(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
1.二次根式的加减法
教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:
追问:可以像合并同类项那样合并吗?
学生小组讨论回答
师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.
(1)合并同类项:
学生回顾,合并同类项就是把系数相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.
引导学生总结
教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
[知识拓展] (1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.
● 课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容:
二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;
②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;
③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.
● 布置作业
【必做题】
教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.
【选做题】
教材第15页习题16.3第5题.
● 教学后记：
第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减（第2课时）
●教学目标
在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.
● 过程与方法
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.
2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.
●情感、态度与价值观
1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.
2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.
●重点与难点
【重点】 能熟练进行二次根式的混合运算.
【难点】 灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.
●教学准备
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习总结二次根式的加减运算的方法.
●新课导入:
教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800cm2,另一张面积为4500cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?
引导学生计算所需金彩带的总长,思考计算方法.
如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.
让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算
学生计算交流后,提出问题:
应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?
本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.
通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.
1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用
引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.
(1)请同学们完成下列各题:
计算:
①(2x+y)·zx;
②(2x2y+3xy2)÷xy;
③(2x+3y)(2x-3y);
④(2x+1)2+(2x-1)2.
学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.
如果把上面的x,y,z改成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.
整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.
下面,我们来验证一下用乘法分配律计算
引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.
(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.
小组讨论后,全班交流.
[知识拓展] (1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.
2.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序样吗?
教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.
● 课堂小结
关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.
● 布置作业
【必做题】
教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.
【选做题】
教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.
● 教学后记：
