2019基地学校三月联考卷
数学Ⅰ
参考公式：
锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．
1． 已知集合，，，则 ▲ ．
2． 已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
3． 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图
所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于
300 h的电子元件的个数为 ▲ ．
4． 运行如图所示的流程图，若输入的，则输出
的x的值为 ▲ ．
5． 将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为 ▲ ．
6． 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
7． 已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．
若，则三棱锥M?PBC的体积为 ▲ ．
8． 已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则
的值为 ▲ ．
9． 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为 ▲ ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O
与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，
使得，则 ▲ ．
11．已知函数的单调减区间为
，则的值为 ▲ ．
12．已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围
是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在
点A，在圆C：?上存在点B，使得△MAB为等边三角形，
则r的最大值为 ▲ ．
14．已知等差数列的前n项和Sn>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，，．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，角所对的边分别为．向量m?（?a，b），n ?（?，?cosC），且m∥n．
（1）若，求角的值；
（2）求角的最大值．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，
且左焦点F1到左准线的距离为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与
l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．
记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，
若，求实数的取值范围．
18．（本小题满分16分）
某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了
便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个
进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方
向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植
水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，
且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南
方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．
（1）求水渠MN长度的最小值；
（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积
的最大值（水渠宽度忽略不计）．
19．（本小题满分16分）
已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．
20．（本小题满分16分）
已知函数，，其中且，．
（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的
值），求k的值；
（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；
（3）??若，记函数，若，使，
????????????????? 求k的取值范围．
2019基地学校三月联考卷
数学参考答案与评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 2． 2 3． 800 4． 0 5． 6． 7． 1
8． 9． 10． 2 11． e 12． 13． 8 14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．【证】（1）在三棱柱中，． …… 2分
又平面，平面，
所以平面． …… 6分
（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为菱形，
所以． …… 8分
又，，平面，
所以平面． …… 12分
而平面，
所以平面平面． …… 14分
16．【解】（1）因为m ?（?a，b），n ?（?，?cosC），且m∥n，
所以． …… 2分
由正弦定理，得 ①
所以， …… 4分
整理，得 ②
将30°代入上式得．
又，所以°． …… 7分
（2）由①式，因为，所以，结合上式，
②式两边同时除以，得， …… 9分
得
． ……12分
当且仅当，即30°时取“=”号．
又 所以的最大值为30°． ……14分
另法：（2）由（1）知，．
由余弦定理，
代入上式并化简得． …… 9分
所以
． ……12分
当且仅当，即时取“=”号．
又 所以的最大值为30°． ……14分
17．【解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
又椭圆的左焦点F1到左准线的距离为4，
所以， …… 2分
所以，
所以椭圆的方程为． …… 4分
（2）因为原点与直线l1：的距离为1，
所以，即． …… 6分
设直线l2：，
由得，
因为直线l2与椭圆相切，
所以，
整理得． …… 8分
因为直线l1与直线l2之间的距离，
所以，，
所以． ……10分
又，
因为，所以．
又O，M位于直线l1的两侧，所以m，n同号，所以，
所以，
故实数的取值范围为． ……14分
18．【解】（1）以圆心O为原点，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为，
??? 设点，． …… 2分
直线AC的方程为，令，得．
直线BC的方程为，令，得．
所以 …… 4分
．
令，，
即，，
则，
令，得． …… 6分
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以当时，.
??所以.
答：水渠MN长度的最小值为百米. …… 8分
（2）由（1）可知，，，
则
. ……12分
设，因为，所以.
所以，.
所以当时，.
答：种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值为平方百米. …… 16分
另法：（2）因为，所以， …… 10分
由，
所以
. …… 12分
设，因为，所以.
所以，.下同.
19．【解】（1）n?2时，由得，
解得. …… 2分
（2）时，由，得，
则.
因为，所以，① …… 4分
所以， ②
②?①得.
所以，两式相减得， …… 6分
即数列及数列都成公差为6的等差数列.
由，得，可求得.
所以数列的通项公式为. …… 8分
（3）由，，得，
所以. ……10分
因为，所以.
所以，
两式相减得，即， ……12分
所以，
两式相减得，
所以， ……14分
因为，可得，
所以.
所以数列是等差数列. ……16分
20．【解】（1）因为，所以，
令，得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以为f(x)的极值点.
??因为，，所以函数g(x)的极值点为，
??因为函数f(x)与g(x)有相同的极值点，所以，
所以. …… 2分
（2）由题意，所以，
因为m>0，所以，
令，得.
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以为F(x)的极值点.
因为，，又在上连续且单调，
所以在上有唯一零点. …… 4分
取满足且，
则
因为且，所以.
所以，又在上连续且单调，
???? ??所以在上有唯一零点.
综上，函数有两个不同的零点. …… 8分
（3）时，，
? ?由，使，则有．
? ?由于，
? ?① 当k≥1时，≤0，h(x)在[0，1]上单调递减，
所以2h（1）＜h（0），
即，得．
? ?② 当k≤0时，≥0，h(x)在[0，1]上单调递增，
?? 所以2h（0）＜h（1）
?? 即，得k＜3?2e． ……12分
?? ③ 当0＜k＜1时，
?? 在x∈[0，k）上，＜0，h(x)在[0，k）上单调递减，
? ?在x∈（k，1]上，＞0，h(x)在（k，1]上单调递增，
?? 所以2h（t）＜max{h（0），h（1）}，
??? 即．（*），
易知在k∈[0，1]上单调递减，
? ???? ?故，而，所以不等式（*）无解．
? ??综上，实数k的取值范围为或． ……16分
数学Ⅱ（附加题）
21A．【解】设所求二阶矩阵，
因为有特征值，其对应的一个特征向量为，
所以，且． …… 5分
所以解得
所以. ……10分
21B．【解】由得t＝，代入①，化简得x2＋y2＝2x.
又x＝≠0，所以曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)． …… 4分
将直线l：化为普通方程为y＝x－． …… 6分
圆C的圆心到直线l：y＝x－的距离d＝＝．
所以所求弦长为2＝． ……10分
21C．【解】因为，，，
所以，
即． …… 3分
由柯西不等式得，
， …… 6分
所以．
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为3． ……10分
22．【解】以A为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．
则，，，
，，．
（1）当时，由得，
所以，又，
所以．
所以异面直线PD与EF所成角的余弦值为． …… 5分
（2）当时，由，得．
设平面AEF的一个法向量为，又，，
则得．
又平面AFC的一个法向量为，
所以．
所以二面角E?AF?C的余弦值为． ……10分
23．【解】（1）时，满足条件的所有的数列的个数为8． …… 2分
（2）设，则由得
??，①
??由得，
??则
??即 ②
??用t表示中值为2的项数，
由②可知t也是中值为2的项数，其中，
所以的取法数为，…… 5分
确定后，任意指定的值，有种，
由①式可知，应取，使得为偶数，
这样的b1的取法是唯一的，且确定了a1的值．
从而数列唯一地对应着一个满足条件的．
所以满足条件的数列共有4个． ……7分
下面化简，
设，，
两展开式右边乘积中的常数项恰好为.
因为，又中的系数为，
所以．
所以满足条件的数列共有4个. …10分
2019基地学校三月联考卷
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵
对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
求曲线C：（t为参数）被直线l：（u为参数）所截得的线段
AB的长．
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知定义在R上的函数，若，，，
，求的最大值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P?ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，
，F为BC的中点，．
（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；
（2）若，求二面角E?AF?C的余弦值．
23．（本小题满分10分）
设整数数列{an}共有2n（）项，满足，，且（）．
（1）当时，写出满足条件的数列的个数；
（2）当时，求满足条件的数列的个数．
