2018-2019学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

2018-2019学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B中元素的个数为　 　．
2．（4分）2lg2+lg25＝　 　．
3．（4分）函数的定义域为　 　．
4．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，y），若sinα＝，则实数y的值为　 　．
5．（4分）已知向量＝（3，﹣2），＝（cosθ，sinθ），若⊥，则tanθ＝　 　．
6．（4分）若扇形的圆心角为2rad，面积为4cm2，则该扇形的半径为　 　cm．
7．（4分）已知函数，则的值为　 　．
8．（4分）设a＝0.23，b＝30.2，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系用“＜”连接为　 　．
9．（4分）若二次函数f（x）＝mx2+x﹣m在区间（﹣∞，l）上是单调増函数，则实数m的取值范围是　 　．
10．（4分）若，tanα＝3，则tanβ＝　 　．
11．（4分）已知函数f（x）＝loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若幂函数g（x）＝xα的图象经过点P，则g（2）的值为　 　．
12．（4分）在△ABC中，已知AC＝6，A＝60°，点D满足，且AD＝，则AB边的长为　 　．
13．（4分）已知函数，下列结论中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．
①函数f（x）的图象关于直线对称；
②函数f（x）在区间[，]上是单调增函数；
③若函数f（x）的定义域为（0，），则值域为（，1]；
④函数f（x）的图象与的图象重合．
14．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则函数g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）在区间[﹣1，3]内的所有零点之和为　 　．
二、解答题（本大题共6小题，共计64分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（10分）已知向量＝（3，2），＝（﹣1，2）．
（1）求的值；
（2）若与共线，求实数k的值．
16．（10分）设全集U＝R，函数的定义域为集合A，函数g（x）＝ex+2的值域为集合B．
（1）求?U（A∩B）；
（2）若集合C＝{x|x+a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
17．（10分）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B，其中A＞0，ω＞0，﹣π≤φ＜π，求f（t）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？
18．（10分）已知向量＝（2sinx，1），＝（，1），函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和它的单调增区间；
（2）当x∈[，]时，若，求的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+a（sinx+cosx），a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[0，]上的最大值为﹣3，求实数a的值．
20．（12分）已知函数是奇函数．
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数f（x）的定义域为R．①判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；②是否存在实数t，使得关于x的不等式在[﹣2，2]上有解？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

2018-2019学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．【解答】解：∵集合B表示小于2的一切实数，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
∴A∩B中元素的个数为3．
故答案为：3．
2．【解答】解：2lg2+lg25
＝lg4+lg25
＝lg100
＝2．
故答案为：2．
3．【解答】解：由，解得0＜x≤3．
∴函数的定义域为（0，3]．
故答案为：（0，3]．
4．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，y），
若sinα＝＝，则实数y＝4，
故答案为：4．
5．【解答】解：∵；
∴；
∴3cosθ＝2sinθ；
∴．
故答案为：．
6．【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，
由题意可得：扇形的面积为：S＝×α×r2，可得：4＝，
解得：r＝2．
故答案为：2．
7．【解答】解：∵函数，
∴＝f（）＝f（﹣）＝sin（﹣）＝﹣sin＝﹣．
故答案为：﹣．
8．【解答】解：∵0＜a＝0.23＜0.20＝1，
b＝30.2＞30＝1，
c＝log0.32＜log0.31＝0，
则a，b，c的大小关系用“＜”连接为c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
9．【解答】解：∵二次函数f（x）＝mx2+x﹣m在区间（﹣∞，l）上是单调増函数，
∴，解得，
∴实数m的取值范围是[﹣，0）．
故答案为：[﹣，0）．
10．【解答】解：∵，
又tanα＝3，
∴，解得tanβ＝2．
故答案为：2．
11．【解答】解：令x＝4，则f（4）＝loga（4﹣3）+2＝2恒成立，
故函数f（x）恒过（4，2）点，
∵幂函数g（x）＝xα的图象经过点P，
则g（4）＝4α＝2，解得α＝，
故g（2）＝，
故答案为：．
12．【解答】解：＝+＝．
∴＝?
AB2+12AB﹣108＝0，
∴AB＝6或AB＝﹣18（舍），
故答案为：6．
13．【解答】解：对于①，∵，∴函数f（x）的图象关于直线对称，故正确；
对于②，x∈[，]时，2x﹣∈[0，]?[0，π]，函数f（x）在区间[，]上是单调减函数，故错；
对于③，若函数f（x）的定义域为（0，），2x﹣∈（﹣，）则值域为（﹣，1]，故错；
对于④，∵＝﹣sin（﹣+2x﹣）＝sin[﹣（2x﹣]＝cos（2x﹣），故正确．
故答案为：①④
14．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0
当x∈（0，1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，
可得x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
f（﹣x）＝1﹣|﹣2x﹣1|＝1﹣|2x+1|＝﹣f（x），
可得f（x）＝﹣1+|2x+1|，
∵g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）＝0，
分别画出y＝g（x）与y＝sin（x﹣1）的在[﹣1，3]上的图象，
∴结合图象可知，交点坐标为（﹣，﹣1），（1，0），（，1），
故零点之和为﹣+1+＝3，
故答案为：3．
二、解答题（本大题共6小题，共计64分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．【解答】解：（1）；
∴；
（2）；
∵与共线；
∴10（2+2k）﹣4（3﹣k）＝0；
解得．
16．【解答】解：（1）解3+2x﹣x2≥0得，﹣1≤x≤3；
∴A＝[﹣1，3]；
∵ex＞0；
∴ex+2＞2；
∴B＝（2，+∞）；
∴A∩B＝（2，3]；
∴?U（A∩B）＝（﹣∞，2]∪（3，+∞）；
（2）C＝{x|x＞﹣a}；
∵B∪C＝C；
∴B?C；
∴﹣a≤2；
∴a≥﹣2；
∴实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．
17．【解答】解：（1）由题意可得A＝40，B＝50，φ＝﹣，
∵T＝＝10，
∴ω＝，
∴f（t）＝40sin（t﹣）+50，
即f（t）＝﹣40cost+50．
（2）由f（t）＝﹣40cost+50＞70，得cost＜﹣，
∴2kπ+＜t＜2kπ+，k∈Z，
解得10k+＜t＜10k+，
∴（10k+）﹣（10k+）＝，
故天轮转动的一圈内，有min点P距离地面超过70m．
18．【解答】解：（1）f（x）＝2sinx?2cos（x+）+1+＝4sinx（cosx﹣sinx）+1+
＝sin2x﹣（1﹣cos2x）+1+
＝2sin（2x+）+1
所以T＝＝π
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得 kπ﹣≤x≤kπ+
所以增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）由f（x）＝﹣得sin（2x+）＝﹣
因为x∈[，]，所以 2x+∈[π，]，所以cos（2x+）＝﹣＝﹣
f（x﹣）＝2sin2x+1
＝2sin[（2x+）﹣]+1
＝2[sin（2x+）cos+cos（2x+）sin]+1
＝2[（﹣）×﹣（﹣）×]+1
＝．
19．【解答】解：（1）令t＝sinx+cosx＝sin（x+）∈[﹣，]，
∵t2＝1+2sinxcosx＝1+sin2x，
∴当a＝1时，f（x）＝g（t）＝t2﹣1+t＝（t+）2﹣，
当t＝﹣时，g（t）min＝﹣，当t＝时，g（t）max＝1+，
∴函数f（x）的值域为[﹣，1+]．
（2）当x∈[0，]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[，1]，
∴t∈[1，]．
∴函数g（t）＝t2+at﹣1的对称轴为t＝﹣，
当﹣≥时，即a≤﹣1﹣时，g（t）min＝g（1）＝a＝﹣3，
当﹣时，即a＞﹣1﹣时，g（t）min＝g（）＝﹣1+a＝﹣3，解得a＝﹣2（舍去），
综上所述a的值为﹣3
20．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，
由，整理得（3m﹣n）（3x+3﹣x）+（2mn﹣6）＝0．
∴，解得：或；
（2）∵f（x）的定义域为R，∴，则f（x）＝．
①∵f（x）＝＝，∴f（x）是R上的单调减函数．
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
＝．
∵x1＜x2，∴＜，则＞0，
又∵＞0，＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是R上的单调减函数；
②由，得．
即f（1）≤f（t?3x+1+3x+3t）≤f（﹣1）．
∵f（x）是R上的单调减函数，∴﹣1≤t?3x+1+3x+3t≤1，
整理得：，即在[﹣2，2]上有解．
又∵f（x）在[﹣2，2]上单调递减，∴．
∴．