2019年北师大版八下数学《第5章 分式与分式方程》单元测试卷（解析版）

2019年北师大版八下数学《第5章 分式与分式方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（　　）
A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④
2．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．若分式的值为零，则a的值是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
4．下列分式不是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍
6．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
7．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
8．分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝0 D．无解．
9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
10．若分式方程+1＝有增根，则这个增根的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
二．填空题（共5小题）
11．当x　 　时，分式的值为正．
12．当x　 　时，分式有意义．
13．若分式的值为零，则x的值为　 　．
14．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　．
15．若关于x的分式方程无解，则m＝　 　．
三．解答题（共6小题）
16．已知y＝，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
17．①＝（a≠0）
②＝．
18．约分（1）；
（2）．
19．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为　 　；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　 　，x2＝　 　；
（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．
20．解方程：﹣1＝．
21．解方程：．



2019年北师大版八下数学《第5章 分式与分式方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（　　）
A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：①是分式，
②是整式，
③是整式，
④是分式，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由分母是否恒不等于0，依次对各选项进行判断．
【解答】解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；
当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
【点评】解此类问题，只要判断是否存在a使分式中分母等于0即可．
3．若分式的值为零，则a的值是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵＝0，
∴，
∴a＝2，
故选：B．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
4．下列分式不是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的分子分母不含公因式的分式是最简分式，可得答案．
【解答】解：A、分式的分子分母不含公因式，故A是最简分式；
B、分式的分子分母不含公因式，故B是最简分式；
C、分式的分子分母不含公因式，故C是最简分式；
D、分式的分子分母含公因式2，故D不是最简分式；
故选：D．
【点评】本题考查了最简分式，利用了分式的分子分母不含公因式的分式是最简分式．
5．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍
【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得＝＝，
可见新分式与原分式相等．
故选：B．
【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
7．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
【分析】方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：x＝0或x＝3，解方程后x＝﹣，分母2m+1＝0，解出即可．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+2m）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
整理，得：（2m+1）x＝﹣6，
x＝﹣，
∵原分式方程无解，
∴2m+1＝0或﹣＝3或﹣＝0，
解得：x＝﹣0.5或x＝﹣1.5，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，分式方程无解，则分母为0．
8．分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝0 D．无解．
【分析】观察可得最简公分母为（x﹣2）（x﹣1），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：分式方程，
两边分别乘以（x﹣2）（x﹣1），
可得：x﹣2＝2（x﹣1），
移项合并，解得：x＝0，
经检验x＝0是原分式方程的解．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意分式方程要验根．
9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
10．若分式方程+1＝有增根，则这个增根的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
【分析】根据分式方程的增根的定义得出x+3＝0或x﹣3＝0，再进行判断即可．
【解答】解：去分母得：（x﹣3）2+（x﹣3）（x+3）＝m（x+3），
∵分式方程+1＝有增根，
∴x+3＝0或x﹣3＝0，
∴x＝﹣3或3，
当x＝﹣3时，方程（x﹣3）2+（x﹣3）（x+3）＝m（x+3）的两边不相等，
所以3是分式方程的增根，
故选：B．
【点评】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x+3＝0、x﹣3＝0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
二．填空题（共5小题）
11．当x　＞且x≠0　时，分式的值为正．
【分析】同号为正，异号为负．
分母≠0．
【解答】解：分式的值为正，
即＞0，
解得x＞，
因为分母不为0，所以x≠0．
故当x＞且x≠0时，分式的值为正．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．当x　x≠﹣2　时，分式有意义．
【分析】根据分式有意义的条件是：分母不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故答案是：x≠﹣2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
13．若分式的值为零，则x的值为　3　．
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值．
【解答】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　﹣3　．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：＝，
去分母得：4（2a+3）＝3（a﹣1），
解得：a＝﹣3．
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了方程的解的定义，正确解关于a的方程是关键．
15．若关于x的分式方程无解，则m＝　﹣4或6或1　．
【分析】该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2），
解得m＝6．
（2）x＝2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2），
解得m＝﹣4．
（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
化简得：（m﹣1）x＝﹣10．
当m＝1时，整式方程无解．
综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解．
【点评】分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
三．解答题（共6小题）
16．已知y＝，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况；
（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论；
（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0；
（4）分式无意义的条件是分母等于0．
【解答】解：当＜x＜1时，y为正数；
当x＞1或x＜时，y为负数；
当x＝1时，y值为零；
当x＝时，分式无意义．
【点评】本题主要考查了分式 的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，对这些条件的理解是解决本题的关键．
17．①＝（a≠0）
②＝．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝，
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2，
【点评】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
18．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
19．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为　4　；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　　，x2＝　2　；
（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）方程x+＝6变形得：x+＝2+4，
根据题意得：x1＝2，x2＝4，
则方程较大的一个解为4；

（2）方程变形得：x+＝+2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，
则x1＝，x2＝2；
故答案为：（1）4；（2）；2

（3）方程整理得：2x﹣1+＝n﹣1+n+3，
得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n+3，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝＝．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
20．解方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1），得x2﹣x2+x＝2x﹣2，
整理，得﹣x＝﹣2，
解得，x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）＝2≠0，
则x＝2是原分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．解方程：．
【分析】此题应先设3x﹣1为y，然后将原方程化为3y﹣2＝5解得y＝，最后求出x的值．
【解答】解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5，
解得y＝，
∴有3x﹣1＝，解得x＝，
将x＝代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，
∴x＝是原分式的解．
【点评】本题主要考查用换元法解分式方程，求出结果一定要注意必须检验．