22.4.1 矩形的性质
1．(1)在矩形ABCD中，∠BAD＝∠________＝∠________＝∠________＝________°；
(2)矩形既是轴对称图形，又是________对称图形．
2．若矩形ABCD的相邻两边长分别是1，2，则BD的长是( )
A. B．3 C. D．2
3．如图1，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
图1 图2
4．如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连接OE.若OE＝3，AD＝8，则对角线AC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
5．如图3，P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
图3 图4
6．如图4，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长为( )
A. B. C. D.
7．如图5，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
图5
如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论不一定成立的是( )
A．∠BCD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OC＝CD
9．如图7，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
图6 图7 图8
10．如图8，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
11．如图9，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________．
图9 图10
12．如图10，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________°.
13．已知：如图11，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E.求证：AC＝CE.
图11
14．如图12，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于点E，F.若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长为( )
A．1 B．2 C. D.
图12 图13
15．如图13，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(－5，4)，点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为( )
A．(－5，3) B．(－5，4) C．(－5，) D．(－5，2)
16．已知：如图14，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
(1)求∠PCQ的度数；
(2)求证：∠APB＝∠QPC.
图14
17．在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝6，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为10的等腰三角形，则线段BP的长为________．
1．(1)ADC BCD ABC 90
(2)中心
2．C
3．B [解析] 设AC与EF交于点G.∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°.∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE－∠A＝20°.
4．D [解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ADC＝90°.
∵E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，
∴CD＝2OE＝6，
∴AC＝＝＝10.
故选D.
C [解析] 作PM⊥AD于点M，交BC于点N，则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，
S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴影＝8＋8＝16.
B [解析] 设DF＝x，则CF＝AF＝6－x.在Rt△CDF中，由勾股定理得x2＋42＝
(6－x)2，解得x＝.
7．解：(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF.
又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.
(2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.
∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
8．D [解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，即选项A，B，C都正确，选项D不一定正确．
9．A [解析] ∵四边形ABCD是矩形，AC＝6 cm，∴OA＝OC＝OB＝OD＝3 cm.
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝3 cm.
10．A [解析] 如图，连接OP，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.
∵矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，
OB＝OD，AC＝BD＝10，∴OA＝OD＝5.S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12.
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA?PE＋OD?PF＝×5×PE＋×5×PF＝(PE＋PF)＝12，解得PE＋PF＝4.8.故选A.
11．2.5 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴OD＝BD＝5.∵P，Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ＝DO＝2.5.
12．22.5 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOE＝∠OAD＋∠ODA＝2∠OAD.∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE.∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∴∠AOE＝45°，∴∠OAB＝
∠OBA＝＝67.5°，∴∠BAE＝∠OAB－∠OAE＝22.5°.
13．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，AB∥DC，∴DC∥BE.又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB＝CE，∴AC＝CE.
14．A [解析] ∵∠AEO＝120°，EF⊥BD，∴∠DEF＝60°，∠ADB＝30°.∵AD∥BC，∴∠BFE＝60°，∠DBF＝30°.∵∠ABC＝90°，∴∠ABO＝60°.在矩形ABCD中，OA＝OB＝AC＝，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BCA＝30°，∴∠FOC＝∠BFE－∠BCA＝60°－30°＝30°，∴OF＝FC.在Rt△BOF中，∠OBF＝30°，∴BF＝2OF，BF2－OF2＝OB2＝3，解得OF＝1，∴FC＝1.
15．A [解析] 由题可得，AO＝BC＝5，AB＝CO＝4.由旋转可得，DE＝OD，∠EDO＝90°.又∵∠B＝∠OCD＝90°，∴∠EDB＋∠CDO＝90°＝∠COD＋∠CDO，∴∠EDB＝∠DOC，∴△DBE≌△OCD，∴BD＝OC＝4，设AE＝x，则BE＝4－x＝CD.∵BD＋CD＝5，∴4＋4－x＝5，解得x＝3，∴AE＝3，∴E(－5，3)．
16．解：(1)∵△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝60°.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，∴∠DCP＝30°，∴∠PCQ＝30°.
(2)证明：∵△PBC是等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝60°.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠PBA＝30°，
∴∠PBA＝∠PCQ.∵△QCD是等边三角形，
∴CD＝QC.∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∴AB＝QC.
在△PBA和△PCQ中，∵
∴△PBA≌△PCQ(SAS)，
∴∠APB＝∠QPC.
17．6 或2 或6 [解析] (1)如图①，当AE＝EP＝10时，过点P作PM⊥AB，∴∠PMB＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形BCPM是矩形，∴PM＝BC＝6.∵PE＝10，∴EM＝＝8，∵E是AB中点，∴BE＝10，∴BM＝2，∴PB＝＝2 ；
(2)如图②，当AE＝AP＝10时，DP＝8，CP＝12，PB＝＝6 ；
如图③，当AE＝EP＝10时，过点P作PF⊥AB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝
∠DAB＝90°，∴四边形ADPF是矩形，∴PF＝AD＝6.∵PE＝10，∴EF＝8.∵E是AB中点，∴BE＝10，BF＝18，PB＝＝6 .
22.4.2矩形的判定
1．在?ABCD中，∵∠ABC＝________°，∴?ABCD是矩形．
2．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
图15
甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；
2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；
3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图15)．
图16
乙：1.连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图16)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
3．如图17，在△ABC中，D是BC边上的点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：BD＝CD；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
图17
4．在四边形ABCD中，∵∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝________°，∴四边形ABCD是矩形．
5．如图18所示，已知在?ABCD中，各个内角的平分线相交于点E，F，G，H.
(1)猜想EG与FH之间的数量关系；
(2)试证明你猜想的正确性．
图18
如图19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )
图19
A．AO＝OC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC
7．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＋∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
如图20，在?ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形.
图20
9．如图21，E，F分别为△ABC的边BC，AB的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DB，AE.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)若AB＝AC，试说明四边形AEBD是矩形．
图21
10．如图22，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AD＝BC B．AB＝CD
C．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB
图22 图23
11．如图23，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为________．
12．如图24，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.
求证：四边形EFNM是矩形．
图24
13．如图25所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以1 cm/s的速度同时向点C，A运动．
(1)四边形DEBF是平行四边形吗？请判断并说明理由；
(2)若BD＝12 cm，AC＝16 cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？
图25
如图26，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线AC，BD相交于点O；以AB，AO为邻边作?AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作?AO1C2B对角线交于点O2；…；依此类推，则?AO4C5B的面积为( )
图26
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
15．如图27，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E，连接AE，AD.
(1)求证：OE＝OD；
(2)当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？请说明理由．
图27
1．90
2. A [解析] 由甲同学的作业可知，CD＝AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴?ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，
CM＝AM，MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴?ABCD是矩形．所以乙的作业正确．
3．解：(1)证明：由题意，得AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，∵
∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.
∵AF＝BD，∴BD＝CD.
(2)四边形AFBD是矩形．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵AF＝BD，
AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形．
又∵∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．
4．90
5．解：(1)EG＝FH.
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
又∵AF，BH分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，∴∠FEH＝90°.
同理可证∠EFG＝90°，∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EG＝FH.
6．B
C [解析] 如图，
∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AC＝BD，∴?ABCD是矩形，∴A选项正确；
∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠BAD＝90°，∴?ABCD是矩形，∴B选项正确；∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AB∥DC.∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，而AC⊥BD不能判定?ABCD是矩形，∴C选项不正确；∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠BAD＝90°，∴?ABCD是矩形，∴D选项正确．故选C.
8．答案不唯一，如EB＝DC [解析] 添加EB＝DC.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC.又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB＝DC，∴?DBCE是矩形．故答案可以是EB＝DC.
9．解：(1)证明：∵E，F分别为△ABC的边BC，AB的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
∵DF＝EF，∴EF＝DE，
∴AC＝DE.又∵EF∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形．
(2)∵DF＝EF，AF＝BF，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AC＝DE，∴AB＝DE，
∴四边形AEBD是矩形．
B [解析] A项，当AD＝BC，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，再依据
AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形；B项，当AB＝CD，AD∥BC时，四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C项，当∠DAB＝∠ABC，AD∥BC时，∠DAB＝
∠CBA＝90°，再根据AC＝BD，可得Rt△ABD≌Rt△BAC，进而得到AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形；D项，当∠DAB＝∠DCB，AD∥BC时，∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形．
11．2.4 [解析] 连接AP.∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠BAC＝∠AEP＝
∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可．当AP⊥BC时，AP最小．在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得BC＝5，由三角形面积公式得×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4.
12．证明：如图，过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别是G，H.
∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，
∴EG＝ME，EG＝EM′，
∴EG＝ME＝EM′＝MM′.
同理可证FH＝NF＝N′F＝NN′.
∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′＝NN′，
∴ME＝NF.
又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，
∴四边形EFNM是矩形．
13．解：(1)是．
理由：在?ABCD中，有OD＝OB，OA＝OC.
∵E，F两点移动的速度相同，且同时开始运动，即AE＝CF，∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．
∵BD＝12 cm，∴EF＝12 cm，
∴OE＝OF＝6 cm.
∵在?ABCD中，AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm，
∴AE＝2 cm或AE＝14 cm.
∵动点的速度是1 cm/s，
∴t＝2 s或t＝14 s.
故当运动时间t为2 s或14 s时，四边形DEBF是矩形．
14．B [解析] 设矩形ABCD的面积为S.
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴?AOC1B底边AB上的高等于BC的一半，
∴?AOC1B的面积＝S.
∵?AOC1B的对角线交于点O1，
∴?AO1C2B的边AB上的高等于?AOC1B底边AB上的高的一半，
∴?AO1C2B的面积＝×S＝，…，
依此类推，?AO4C5B的面积为＝＝(cm2)．故选B.
15．解：(1)证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC.
∵ED∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，
∴OB＝OD.
在Rt△EBD中，
∵∠ABE＋∠ABD＝∠ODB＋∠BED＝90°，
∴∠ABE＝∠BED，
∴OB＝OE，∴OE＝OD.
(2)当O为AB的中点时，
四边形BDAE为矩形．
理由：∵O为AB的中点，
∴OA＝OB.由(1)知OE＝OD，
∴四边形BDAE为平行四边形．
∵BE⊥BD，∴∠EBD＝90°，
∴四边形BDAE是矩形．
