冀教版八年级数学下册《22.3三角形的中位线》练习题（含答案）

22.3　三角形的中位线
1．如图1，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，则线段DE是△ABC的________，△ABC中共有________条中位线．

图1 图2
2．如图2所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝10，且AD＝4，CE＝5，则下列线段中是△ABC的中位线的是(　　)
A．线段CD B．线段BE C．线段DE D．线段AE
3．如图3，DE是△ABC的中位线，则DE________BC(填位置关系)．若BC＝8，则DE＝________．

图3 图4
4．(2017·宜昌)如图4，要测定被池塘隔开的A，B两点间的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则A，B两点间的距离为(　　)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
5．如图5，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是(　　)
A．100° 　　B．110° C．115° 　　D．120°

图5 图6
6．如图6，D，E分别是AB，AC的中点，BE是∠ABC的平分线，有下列结论：
①BC＝2DE；②DE∥BC；③BD＝DE；④BE⊥AC.其中正确的是(　　)
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
如图7，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是________．
图7
8．如图8，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CD，EF.求证：CD＝EF.
图8
9．如图9，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF＝2CD，连接DF.若AB＝8，则DF的长为(　　)

图9 图10
A．3 B．4 C．2  D．3 
10．如图10，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
如图11，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC＝10，则PQ的长为(　　)
　 图11
 B.
C．3 D．4
12．如图12，已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形…以此类推，则第2020个三角形的周长为(　　)
A. B.
C. D.

图12 　 图13
13．如图13，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝2，则线段EF的长为________．
14．如图14，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝________．

图14 图15
15．如图15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是线段AB上的动点，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为________．
16．如图16所示，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O.
试证明DE与AF互相平分．
图16
17．如图17，O是△ABC内一点，连接OB，OC，并依次连接AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长.
图17
18．如图18，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__________．
图18
答案
1．中位线　3
2．C　[解析] 由题目条件知D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形中位线的定义得到DE是△ABC的中位线，而CD，BE只是△ABC的中线．
3. ∥　4
4．B　[解析] ∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB.∵DE＝24 m，∴AB＝2DE＝48 m．故选B.
5．A　[解析] ∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝80°.又ED是∠AEF的平分线，∴∠DEF＝∠AED＝80°，∴∠FEC＝20°，∴∠EFB＝∠C＋∠FEC＝100°.
6．D　[解析] ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，DE∥BC，①②正确．∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠EBD，∴BD＝DE，③正确．∵E是AC的中点，BE是∠ABC的平分线，∴BE⊥AC，④正确．
7．3　[解析] ∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠ABF＝∠BFD.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠BFD，∴DF＝BD.
∵D是BC的中点，BC＝6，
∴BD＝BC＝×6＝3，∴DF＝3.
8．证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC.
又∵CF＝BC，∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，∴CD＝EF.
9．B　[解析] 取BC的中点G，连接EG.
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，∴EG＝AB＝×8＝4.
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，
∴BG＝CG＝x，∴EF＝2x＝DG.
∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF＝EG＝4.
10．B　[解析] 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10.
∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE＝BC＝3，∴∠EFC＝∠FCM.∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC＝AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.故选B.
11．C　[解析] ∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴Q是AE的中点，P是AD的中点(等腰三角形的“三线合一”)，∴PQ是△ADE的中位线．
∵BE＋CD＝AB＋AC＝26－BC＝26－10＝16，
∴DE＝BE＋CD－BC＝6，∴PQ＝DE＝3.故选C.
12．C　[解析] ∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，根据三角形的中位线定理可知，第二个三角形的周长是第一个三角形周长的，∴第二个三角形的周长为＝，同理，第三个三角形的周长为＝，∴第2020个三角形的周长为＝.
13．2　[解析] ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝2×
2＝4.又∵E，F分别是BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×4＝2.
14．3　[解析] 连接CM.∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC.又
CD＝BD，∴CD＝BC，∴MN＝CD.又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM.
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝3，
∴DN＝3.
15．12　[解析] 分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是?AFGE的面积．∵AC＝6，BC＝8，∴AE＝
AC＝3，GC＝BC＝4.∵∠ACB＝90°，∴S四边形AFGE＝AE·GC＝3×4＝12，∴线段MN所扫过区域的面积为12.
16．证明：连接DF，EF.
∵DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴DE与AF互相平分．
17．解：(1)证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC.
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC,
∴DG＝EF，DG∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°.
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6.
由(1)知四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝6.
18．4 或4　[解析] 当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：(1)当∠A′EF＝90°时，如图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4 ；(2)当∠A′FE＝90°时，如图②.∵∠ADF＝
∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4.综上所述，AB的长为4 或4.