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2.2.2 反证法
考 点 考纲要求 要求 题型
1.用反证法证明否定性命题2用反证法证明“至多”“至少”问题3.用反证法证明唯一性命题. 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. i 解答题
知识梳理
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等．
典例解析
考向一 用反证法证明否定性命题
[典例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根．
1．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
考向二 用反证法证明“至多”“至少”类问题
[典例2] 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
2．若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：
<2与<2中至少有一个成立．
考向三 用反证法证明唯一性命题
[典例3] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．
3．求证过一点只有一条直线与已知平面垂直．
过关检测
1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4.用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( )
A．a，b，c，d全都大于等于0B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数
5．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
6．给定一个命题“已知x1＞0，x2≠1且xn＋1＝，证明对任意正整数n都有xn＞xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )
A．对任意正整数n有xn≤xn＋1B．存在正整数n使xn≤xn＋1
C．存在正整数n使xn＞xn＋1D．存在正整数n使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中( )
A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙C．丙 D．丁
9．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不确定
10．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．
12．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
14．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
15.已知a≥－1，求证以下三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
16．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．
17．已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
18．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．
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2.2.2 反证法
考 点 考纲要求 要求 题型
1.用反证法证明否定性命题2用反证法证明“至多”“至少”问题3.用反证法证明唯一性命题. 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. i 解答题
知识梳理
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等．
典例解析
考向一 用反证法证明否定性命题
[典例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根．
[证明] 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．
因为f(0)，f(1)均为奇数，且f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，
所以c为奇数，a＋b为偶数．
即a，b，c同时为奇数或a，b为偶数，c为奇数．
(1)当n为奇数时，an2＋bn为偶数．
(2)当n为偶数时，an2＋bn也是偶数，
即an2＋bn＋c为奇数，这与an2＋bn＋c＝0矛盾．
所以假设不成立，所以f(x)＝0无整数根．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤：
1．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠
－1且ax0＝－，
由0
解得即方程f(x)＝0没有负数根．
考向二 用反证法证明“至多”“至少”类问题
[典例2] 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，
∴a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词 至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立 至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立 至少有n个至多有n－1个 p或q綈p且綈q 至多有n个至少有n＋1个 p且q綈p或綈q
2．若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：
<2与<2中至少有一个成立．
证明：假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立，
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，
因此<2和<2中至少有一个成立．
考向三 用反证法证明唯一性命题
[典例3] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明] 已知：a与b是两条相交直线，
求证：a与b有且只有一个交点．
证明：假设结论不正确，则有两种可能：a与b无交点，或不止有一个交点．
若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不止有一个交点，
则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两相交直线a与b有且只有一个交点．
用反证法证明唯一性命题：
(1)当证明结论以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．
(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法．用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
3．求证过一点只有一条直线与已知平面垂直．
证明：已知：平面α和一点P.
求证：过点P与平面α垂直的直线只有一条．
证明：如图所示，不论点P在α内或α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)．
假设过点P还有另一条直线PB⊥α，
设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，
所以假设不成立，原命题成立．
过关检测
1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )
A．a＜b B．a≤b
C．a＝b D．a≥b
解析：“a＞b”的否定应为“a＝b或a＜b”，即a≤b.故应选B.
答案：B
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三角形三个内角都大于60°”，故选B.
答案：B
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
4.用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( )
A．a，b，c，d全都大于等于0
B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d中至少有一个正数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.
答案：A
5．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
答案：D
6．给定一个命题“已知x1＞0，x2≠1且xn＋1＝，证明对任意正整数n都有xn＞xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )
A．对任意正整数n有xn≤xn＋1
B．存在正整数n使xn≤xn＋1
C．存在正整数n使xn＞xn＋1
D．存在正整数n使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
解析：“对任意正整数n都有xn＞xn＋1”的否定为“存在正整数n使xn≤xn＋1”．
答案：B
7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
解析：＋＋＝＋＋
∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋＝－≤－2，b＋＝－≤－2，
c＋＝－≤－2，
∴＋＋≤－6，
∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.
答案：C
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
答案：C
9．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不确定
解析：分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．
答案：B
10．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
答案：0
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．
解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．
答案：没有一个是三角形或四边形或五边形
12．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
14．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，则＋＝2，即
a＋c＋2＝4b，又a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
即b＝，
∴a＋c＋2＝4，
∴a＋c－2＝0，
即(－)2＝0，∴＝，从而a＝b＝c这与已知中a，b，c不成等差数列矛盾，
∴原假设错误，
故、、不成等差数列．
15.已知a≥－1，求证以下三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
?
?－＜a＜－1，这与已知 a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
16．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．
证明：假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．
于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，
即x2＋y2＋xy＝0，
即(x＋)2＋y2＝0.
由y≠0，得y2>0.
又(x＋)2≥0，
所以(x＋)2＋y2>0.
与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．
17．已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，
即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴＞，＞，＞，
∴＋＋＞.(*)
又∵≤，≤，≤，
∴＋＋≤＋＋＝＝(当且仅当1－a＝b,1－b＝c,1－c＝a，即a＝b＝c＝时，等号成立)，与(*)式矛盾．
∴假设不成立，原命题成立，
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
18．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．
证明：如图，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)，
在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y＝2pxi(i＝1,2,3,4)，
于是直线AB的斜率为kAB＝＝，
同理：kBC＝，kCD＝，kDA＝.
假设四边形ABCD为平行四边形，
则有kAB＝kCD，kBC＝kDA，
即有
①－②得y1－y3＝y3－y1，
∴y1＝y3，同理y2＝y4，
则x1＝＝＝x3，
同理x2＝x4，
由，.
显然A，C重合，B，D重合．这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．
∴四边形ABCD不可能是平行四边形.
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