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第1课时 综合法
考 纲 定 位 重 难 突 破
1.用综合法证明不等式2.综合法证明数列问题3.综合法证明立体几何问题 1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题. i'i .解答题
知识梳理
综合法
定义 推证过程 特点
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法 →→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论) 顺推证法或由因导果法
典例解析
考向一 用综合法证明不等式
[典例1] 已知a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
1．已知x>0，y>0且x＋y＝1，
求证：(1＋)(1＋)≥9.
考向二 综合法证明数列问题
[典例2] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，且m≠－3，m≠0.
(1)求证：{an}是等比数列．
(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
考向三 综合法证明立体几何问题
[典例3] 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
3．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
过关检测
1．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立？( )
A．不成立 B．成立C．不能断定 D．能断定
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是( )
A．1 B．2C．3 D．4
3．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>D．若a2>b2且ab>0，则<
4．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
5．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b
7．四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的( )
A．内心 B．外心C．重心 D．垂心
8．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列
9．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤qC．p＞q D．不确定
10．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
11．设e1、e2是两个不共线的向量，A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.
12．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.
则cos(α－β)＝________.
13．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
14．如果不等式|x－a|＜1成立的充分非必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是________．
15．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
16．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．
17.如图，在三棱锥V?ABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．
求证：MN∥底面ABC.
18．若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.
(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围．
(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
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第1课时 综合法
考 纲 定 位 重 难 突 破
1.用综合法证明不等式2.综合法证明数列问题3.综合法证明立体几何问题 1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题. i'i .解答题
知识梳理
综合法
定义 推证过程 特点
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法 →→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论) 顺推证法或由因导果法
典例解析
考向一 用综合法证明不等式
[典例1] 已知a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
[证明] ∵a，b，c为正数，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥>0，
－1＝＝≥>0，
－1＝＝≥>0，
以上三式对应相乘得··≥8×××＝8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．∴原不等式成立．
用综合法证明不等式的几个依据：
(1)a2≥0(a∈R)．
(2)a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥.
(3)a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地，＋≥2.
(4)a－b≥0?a≥b；a－b≤0?a≤b.
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
1．已知x>0，y>0且x＋y＝1，
求证：(1＋)(1＋)≥9.
证明：因为x>0，y>0,1＝x＋y≥2，所以xy≤.
所以(1＋)(1＋)＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.
考向二 综合法证明数列问题
[典例2] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，且m≠－3，m≠0.
(1)求证：{an}是等比数列．
(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列．
[证明] (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，
两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，
∴＝.
又m为常数，且m≠－3，m≠0，
∴{an}是等比数列．
(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，
∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3.
∴a1＝1，b1＝a1＝1.
由(1)可得，q＝f(m)＝.
∴n∈N*且n≥2时，bn＝f(bn－1)＝·.
∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.
∴－＝.
∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列．
用综合法证明数列问题有哪些依据？
(1)数列的概念，特别是等差数列、等比数列的定义；
(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n项和的性质；
(3)数列的通项公式an与数列的前n项和Sn之间的关系an＝
(4)递推公式与通项公式的关系．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
解析：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得
{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
考向三 综合法证明立体几何问题
[典例3] 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P?ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
又∵PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴PD⊥AB，又∵AE⊥PD，AE∩AB＝A，
∴PD⊥平面ABE.
怎样证明立体几何中的线面垂直关系？
立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．
3．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
证明：如图所示，连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1是正方形，
∴MF綊A1D1，又A1D1綊AD.
∴MF綊AD，∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF，
∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB.∴AM∥平面EFDB.
同理可证：AN∥平面EFDB，
又AM，AN?平面AMN，AM∩AN＝A，
∴平面AMN∥平面EFDB.
过关检测
1．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立？( )
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
解析：∵a1＝S1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，a1＝－1也满足上式，
∴an＝4n－5(n∈N*)．
∴{an}一定是等差数列．故选B.
答案：B
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：B
3．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
解析：对于选项A：若c＝0，则选项A不成立，所以A错误；
对于选项B：若c<0，则选项B不成立，所以B错误；
对于选项C：若a3>b3且ab<0，
则所以>.
所以选项C正确；
对于选项D：若
则选项D不成立．
答案：C
4．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，
∴cos α＞cos(α＋β)，
又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
答案：D
5．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：由余弦定理得：cos A＝＜0，
故b2＋c2－a2＜0，
∴a2＞b2＋c2.
答案：C
6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.
∴a＞b.
答案：A
7．四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：如图，设点O是点A在底面BCD内的射影，并连接AO，则AO⊥面BCD.连接BO并延长交CD于点E.
由已知易得AB⊥CD.
又∵AO⊥面BCD，∴AO⊥CD.
∴CD⊥面AOB，∴CD⊥BE.
∴O在CD的高线上，同理O在BC，BD的高线上．
答案：D
8．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：由已知条件，
可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
又由①得b2＝>ac＝·
所以b4>x2·y2，故x2，b2，y2不成等比数列．
答案：B
9．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p＞q D．不确定
解析：q＝
≥＝＋＝p.
答案：B
10．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
答案：A
11．设e1、e2是两个不共线的向量，A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.
解析：∵A、B、C三点共线，
∴存在λ使A＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．
∴λ＝2，k＝6.
答案：6
12．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.
则cos(α－β)＝________.
解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0，
∴，
两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
答案：－
13．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≤
14．如果不等式|x－a|＜1成立的充分非必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是________．
解析：|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1，
由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有，
(且等号不同时成立)解得≤a≤.
答案：≤a≤
15．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明：∵a，b＞0，且a＋b＝1.
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
16．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．
证明：因为，，成等差数列，
所以＋＝.
即＝，所以b(a＋c)＝2ac，
所以＋＝＝
＝＝
＝
＝＝，
所以，，也成等差数列．
17.如图，在三棱锥V?ABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．
求证：MN∥底面ABC.
证明：如图，连接VM、VN并延长，分别交AC、BC于P、Q两点，连接PQ.
由已知可知，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．在△VPQ中，＝，＝，
所以＝，
所以MN∥PQ.
因为MN?底面ABC，PQ?底面ABC，
所以MN∥底面ABC.
18．若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.
(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围．
(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
解析：(1)由题意得|x2－1|<3.即－3所以－2所以x的取值范围是(－2,2)．
(2)证明：当a，b是不相等的正数时，
a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0.
又a2b＋ab2＝ab(a＋b)>2ab，
所以a3＋b3>a2b＋ab2>2ab>0，
所以a3＋b3－2ab>a2b＋ab2－2ab>0，
所以|a2b＋ab2－2ab|<|a3＋b3－2ab|，
所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
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