浙江省湖州市2018-2019学年高一（上）期末数学试卷-解析版

2018-2019学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
已知集合是，则　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由集合是，知：
在A中，，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D错误．
故选：A．
利用元素与集合的关系直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

函数的定义域是　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：要使有意义，则；
；
的定义域为．
故选：B．
可看出，要使得函数有意义，则需满足，即，解出x范围即可．
考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．

函数的最小正周期是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数的最小正周期是为，
故选：D．
利用正切函数的周期性，得出结论．
本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．

下列函数中为偶函数且在上是增函数的是　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，为偶函数，在上是减函数，不符合题意；
对于B，，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；
对于C，，有，是偶函数，且当时，，为增函数，符合题意；
对于D，，有，为奇函数，不符合题意；
故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性的判断方法．

若函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度变换得到，则的解析式可以是　　
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：把函数的图象，
向右平移个单位长度变换得到的图象，
故选：A．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．

若，则　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：若?，是定义域R上的减函数，
，，
故选：B．
由题意利用指数函数的单调性可得，由此得出结论．
本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．

已知a，b，，函数，若，则下列不等关系不可能成立的是　　
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：若，
则对称轴，
若，则答案A，B正确，
若，则是最大值，
，
答案C错误，答案D正确，
故选：C．
由找到对称轴，再分别讨论和的情况，由对称性问题得解．
本题考察了二次函数的性质，对称轴，二次函数的对称性，属于中档题．

若，则　　
A. B. C. 或1 D. 或
【答案】A
【解析】解：，
，
，
两边同时平方，得：，
解得或，
当时，，不成立，
．
故选：A．
由已知得，两边同时平方，能求出的值．
本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．

已知函数，其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若点Q坐标为，且，则函数的解析式可以是　　
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：坐标为，，
设函数的周期是T，则，，
则，，
，，
得，得，
即，得，排除A，B，D，
故选：C．
根据三角函数的图象确定P，R的坐标，结合直线垂直转化为向量垂直关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件求出P，R的坐标是解决本题的关键．

设函数，，其中，若对任意的n，，和至少有一个为非负值，则实数m的最大值是　　
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】解：，
当，即时，，
而，
，
恒成立，
即恒成立，
故；
结合选项可知，A正确；
故选：A．
作差，从而可知时，从而化为在时恒成立，从而可得；从而结合选项解得．
本题考查了分类讨论的思想应用及作差法的应用，属于中档题．

二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
已知全集2，3，4，5，6，，集合2，，3，，则______，______．
【答案】 ? 5，6，
【解析】解：全集2，3，4，5，6，，
集合2，，
3，，
所以；
5，6，．
故答案为：，5，6，．
根据交集与补集的定义，写出和即可．
本题考查了交集和补集的定义与应用问题，是基础题目．

已知函数，则______；若，则______．
【答案】1 ? 或2
【解析】解：，

，或，
解得或
故答案为：1；或2
由题意代值可得的值，由可得或，解方程组可得．
本题考查分段函数求值，属基础题．

已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且它的终边过点，则______，______．
【答案】 ?
【解析】解：角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且它的终边过点，
而点P又在单位圆上，则，，
，
故答案为：；．
由题意利用意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．

若实数，且，则______；______．
【答案】 ? 1
【解析】解：令，则可化为，
解得或，
，．
；
由，
得．
．
故答案为：；1．
令，则可化为，从而解出，由可得，即可得答案．
本题考查了对数的运算及对数与指数的互化，属于基础题．

已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的半径为______，面积为______．
【答案】3 ?
【解析】解：设扇形的半径为r，
扇形的圆心角为，它的弧长为，
，解得，
．
故答案为：3，．
设扇形的半径为r，根据弧长公式可求出r的值，再由扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题．

已知函数，在R上是单调函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：根据题意，函数，在R上是单调函数，
当时，，易得在上为减函数，
则在R上只能为减函数，必有，
解可得：，即a的取值范围为；
故答案为：．
根据题意，分析可得在R上只能为减函数，结合函数的单调性可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查分段函数的单调性，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．

已知函数，若函数有四个零点，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】解：当时，由，得，
当时，由得，
若函数有四个零点，等价为有四个根，
即或，
则或有四个根，
等价为或各有2个根，
作出的图象如图：
则，得，
得，
即实数m的取值范围是，
故答案为：
先求出的零点，利用函数有四个零点，得到的值，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用函数零点个数转化为函数图象交点问题是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
已知全集，集合，集合．
Ⅰ求；
Ⅱ若集合，且，求实数a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ，；
；
；
Ⅱ；
；
；
解得；
实数a的取值范围为．
【解析】可求出，，然后进行补集、交集的运算即可；
根据即可得出，从而得出，解出a的范围即可．
考查描述法的定义，指数函数和对数函数的单调性，交集、补集的运算，并集、子集的定义．

已知，为锐角，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ的值．
【答案】解：Ⅰ已知，为锐角，，．
所以：．
已知，为锐角，
所以：，
由于．
所以：，
则：．
Ⅱ：由于，为锐角，，．
且，，
则：，
所以：，
，
，
，
则：，
所以：，
故：．
【解析】Ⅰ直接利用已知条件求出三角函数的值，进一步利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．
Ⅱ利用角的恒等变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的求值的相关的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

已知函数的图象过点．
Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．
【答案】解：函数的图象过点．
故，

Ⅰ函数
的定义域为，关于原点对称，
且，
故为偶函数，
又由，
故
即和值域为；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，
即，即在上有解，
即在上有解，
由对勾函数的图象和性质可得：
当时，取最小值4，当，或时，取最大值4，
故实数t的取值范围是．
【解析】由已知可得
Ⅰ根据函数奇偶性的定义，结合二次函数和对数函数的和性质，可得函数的奇偶性及值域；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，即，即在上有解，即在上有解，由对勾函数的图象和性质可得答案．
本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．

已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值．
【答案】解：由已知，有分
所以的最小正周期，分
当时，单调递增，
解得：，
所以的单调递增区间为分
由可知，在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
而，，，分
所以在区间上的最大值为，最小值为分
【解析】利用三角函数的倍角公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解即可．
根据三角函数的最值的性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．

设函数，a，．
Ⅰ若，且函数在区间的最大值为，求函数的解析式；
Ⅱ若关于x的不等式在区间上恒成立，求正数m的最大值及此时a，b的值．
【答案】解：Ⅰ对称轴，
即时，，解得：，
即时，，无解，
故函数的解析式是；
Ⅱ由题意得且，显然成立，
即时，，
，
则，
即时，，
，
则由及，得，
则，
故，即，
即时，
，，
故，
由和得：，故，
由和得：，
当且仅当，时“”成立，
故正数m的最大值是4及此时，．
【解析】Ⅰ求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，求出函数的最大值，求出b的值，从而求出函数的解析式；
Ⅱ通过讨论a的范围，求出函数的最大值以及最小值，得到关于m，a，b的不等式组，求出对应的值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查求函数的最值问题以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

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