2018-2019学年四川省成都外国语学校高二（下）入学数学试卷（理科）（3月份）解析版

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二（下）入学数学试卷（理科）（3月份）
一、单选题（共12小题，每小题5分，共计60分）
1．（5分）直线l：mx﹣y+1＝0与圆C：x2+（y﹣1）2＝5的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
2．（5分）从编号为1～60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（　　）
A．1，3，4，7，9，5 B．10，15，25，35，45
C．5，17，29，41，53 D．3，13，23，33，43
3．（5分）执行图的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（　　）
A．﹣2或2 B．2 C．﹣2或4 D．2或﹣4
4．（5分）命题p：“?x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜ C．a≥1 D．a≥
5．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表
气温（°C）
20
16
12
4
用电量（度）
14
28
44
62
由表中数据得回归直线方程y＝x+中＝﹣3，预测当气温为2℃时，用电量的度数是（　　）
A．70 B．68 C．64 D．62
6．（5分）若椭圆mx2+ny2＝1与直线x+y﹣1＝0交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝3，则|QF|＝（　　）
A． B． C．3 D．6
8．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（　　）
A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151
9．（5分）长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知圆C1：（x+5）2+y2＝1，C2：（x﹣5）2+y2＝225，动圆C满足与C1外切且C2与内切，若M为C1上的动点，且?＝0，则||的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2
11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
12．（5分）已知直线l：y＝ax+1﹣a（a∈R），若存在实数a使得一条曲线与直线l由两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出的四条曲线方程：
①y＝﹣2|x﹣1|；②（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；③x2+3y2＝4；④y2＝4x．
其中直线l的“绝对曲线”的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
13．（5分）设x，y满足约束条件则z＝x﹣3y的取值范围为　 　．
14．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为　 　．
15．（5分）已知P是椭圆＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2的面积为3，则|PF1|?|PF2|的值为　 　．
16．（5分）如图，已知抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于　 　．
三、解答题（共6小题，共计70分）
17．（10分）命题p：函数f（x）＝x2﹣x+a在[﹣2，0]有零点；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，若p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在[90，100）的矩形面积为0.16，
求：（1）分数在[50，60）的学生人数；
（2）这50名学生成绩的中位数（精确到0.1）；
（3）若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．
19．（12分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2＝1，直线l的方程为x﹣2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．
20．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润x（单位：千元）的影响，对近13年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，……13）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
由散点图知，按y＝a+建立y关于x的回归方程是合理的令ω＝，则y＝a+bω，经计算得如下数据：
wiyi﹣13
wi2﹣13（）2
yi2﹣13（）2
10.15
109.94
0.16
﹣2.10
0.21
21.22
（1）根据以上信息，建立y关于ω的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝10y﹣x．根据（1）的结果，求当年宣传费x＝20时，年利润的预报值是多少
附：对于一组数据（ui，vi）（i＝1，2，…，n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘
估计分别为＝，＝﹣
21．（12分）己知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．
（1）若直线l过点F1，且|AF2|十|BF2|＝，求直线l的方程；
（2）若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．
22．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），椭圆的长轴长为8，离心率为．
（1）求椭圆方程；
（2）椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且（）?（）＝0，求四边形ABCD周长的最大值与最小值．

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二（下）入学数学试卷（理科）（3月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（共12小题，每小题5分，共计60分）
1．【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2＝5的圆心坐标为：（0，1），
则：圆心（0，1）到直线mx﹣y+1＝0，的距离d＝，
所以圆心在直线l上，
故直线与圆相交．
故选：C．
2．【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取5枚，
采用系统抽样间隔应为，
只有C答案中导弹的编号间隔为12，
故选：C．
3．【解答】解：该程序的作用是计算y＝的值，并输出y值．
当x≥0时，x2＝4，?x＝2；
当x＜0时，y＝x＜0，不可能等于4，
那么输入的数是2．
故选：B．
4．【解答】解：“?x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，
即?x∈[0，]，sin2x+cos2x≤a是真命题，
由sin2x+cos2x＝sin（2x+）≤a，
得：sin（2x+）≤，
由x∈[0，]得：2x+∈[，]，
故sin（2x+）的最大值是1，
故只需≥1，解得：a≥，
故选：D．
5．【解答】解：由表格数据得＝×（20+16+12+4）＝13，
＝×（14+28+44+62）＝37；
又回归直线方程y＝x+中＝﹣3，
且过样本中心点（，），
所以37＝﹣3×13+，
解得＝76，
所以y＝﹣3x+76；
当x＝2时，y＝﹣3×2+76＝7，
即预测当气温为2℃时，用电量的度数是70（度）．
故选：A．
6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），则＝．
由＝1，＝1，
相减可得：m（x1+x2）（x1﹣x2）+n（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
又，y0＝，．
∴2mx0+2ny0×（﹣1）＝0，
∴m﹣n＝0，
可得＝＝．
故选：B．
7．【解答】解：如下图所示，抛物线C'：B的焦点为（2，0），准线为x＝﹣2，准线与x轴的交点为N，P
过点Q作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义知：|MQ|＝|QF|，
又因为＝3，所以，3|MQ|＝|PF|，
所以，，可得：|MQ|＝4×＝．
所以，．
故选：B．
8．【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为＝，当输出结果为521时，i＝1001，m＝521，x2+y2+z2＜1发生的概率为P＝，∴＝，即π＝3.126，
故选：B．
9．【解答】解：设小典到校的时间为x，小方到校的时间为y．
（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，
对应的面积S＝20×20＝400，
则小典比小方至少早5分钟到校事件A＝{x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，
则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），
由得B（40，45），
则S△ABC＝×15×15，由几何概率模型可知小典比小方至少早5分钟到校的概率为＝，
故选：A．
10．【解答】解：如图，
设圆C的半径为r，则|CC1|＝r+1，|CC2|＝15﹣r，
则|CC1|+|CC2|＝16＞10，
∴C的轨迹为椭圆，焦点为C1（﹣5，0），C2（5，0），
∴2a＝16，即a＝8，b2＝a2﹣c2＝39．
∴椭圆方程为：．
由，得CM⊥C1M．
∵|C1M|＝1，要使的值最小，则最小，即＝3．
此时的最小值为．
故选：A．
11．【解答】解：设PF1与圆相切于点M，
因为|PF2|＝|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，
所以|F1M|＝|PF1|，
又因为在直角△F1MO中，|F1M|2＝|F1O|2﹣a2＝c2﹣a2，所以|F1M|＝b＝|PF1|①
又|PF1|＝|PF2|+2a＝2c+2a②，
c2＝a2+b2③
由①②③可得c2﹣a2＝（）2，
即为4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，
解得e＝＝．
故选：B．
12．【解答】解：①由直线y＝ax+1﹣a，可知此直线过点A（1，1），y＝﹣2|x﹣1|＝，
如图所示，
直线l与函数y＝﹣2|x﹣1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对曲线”；
②（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a＝±2满足条件，故此函数的图象是“绝对曲线”；
③把直线y＝ax+1﹣a代入x2+3y2＝4得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2＝（1+a2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（1+a2）{[]2﹣4×}，
化为 ﹣（）2＝0，
令f（a）＝﹣（）2，而f（1）＝﹣4＜0，f（3）＝﹣＞0．
∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）＝0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．
④把直线y＝ax+1﹣a代入y2＝4x得a2x2+（2a﹣2a2﹣4）x+（1﹣a）2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2＝（1+a2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（1+a2）[（）2﹣4×]，
化为a6﹣16a2+16a﹣16＝0，
令f（a）＝a6﹣16a2+16a﹣16，而f（1）＝﹣15＜0，f（2）＝16＞0．
∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）＝0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（，），
联立，解得B（4，0），
由图可知，当目标函数z＝x﹣3y过A时，z有最小值为﹣2；
当目标函数z＝x﹣3y过B时，z有最大值为：4．
故答案为：[﹣2，4]．
14．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ．（1）
∵抛物线y2＝16x，2p＝16，p＝8，∴＝4．
∴抛物线的准线方程为x＝﹣4．
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），
则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4，∴y＝2．
将x＝﹣4，y＝2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2＝λ，∴λ＝4
∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝4，即
∴C的实轴长为4．
故答案为：4
15．【解答】解：由椭圆＝1，可得c＝＝3．
设P（x0，y0），则3＝，解得y0＝．
把y0＝代入椭圆方程可得：+＝1，解得x0＝．
∴|PF1|?|PF2|＝?＝
＝＝12．
故答案为：12．
16．【解答】解：设直线PQ的方程为：y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，得x2﹣2pkx+2p＝0，△＞0，
则x1+x2＝2pk，x1x2＝2p，，，
kBP+kBQ＝+
＝
＝＝0，即kBP+kBQ＝0①
又kBP?kBQ＝﹣3②，
联立①②解得kBP＝，，
所以∠BNM＝，∠BMN＝，
故∠MBN＝π﹣∠BNM﹣∠BMN＝．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共计70分）
17．【解答】解：若f（x）＝x2﹣x+a在[﹣2，0]有零点，
由f（x）＝x2﹣x+a＝0得a＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
设h（x）＝﹣x2+x，
则在[﹣2，0]上为增函数，当x＝0时，h（0）＝0，当x＝﹣2时，h（﹣2）＝﹣4﹣2＝﹣6，
即﹣6≤h（x）≤0，即﹣6≤a≤0，即p：﹣6≤a≤0
当a＝2时，不等式等价为﹣4＜0，成立，
当a≠2时，要使不等式恒成立，
则，得，即，即﹣2＜a＜2，
综上﹣2＜a≤2，即q：﹣2＜a≤2，
∵若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，
即[﹣6，0]∪（﹣2，2]＝[﹣6，2]，
即实数a的取值范围是[﹣6，2]．
18．【解答】解：（1）由所有的矩形面积和为1可得：分数在[50，60）的频率为0.06，故分数在[50，60）的人数是50×0.06＝3人，
（2）由0.040+0.06+0.2＝0.3，
故中位数落在第四组，
则中位数为70+×10≈76.7
（3）分数在[40，50）的有2人，记为a，b，在[50，60）共有3人，记为c，d，e，
从分数在[40，70）的5名学生任选2人的方法有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，
两人来自不同组的有ac、ad、ae、bc、bd、be共6种，
∴两人来自不同组的概率＝
19．【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知：MP＝＝2，即（2m）2+（m﹣2）2＝4，
解得：m＝0或m＝，
则P的坐标为（0，0）或（，）；
（2）设直线CD的斜率为k，由P（2，1），得到直线CD的解析式为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，
∵圆的半径r＝1，CD＝，
∴圆心到直线CD的距离d＝＝，即＝，
解得：k＝﹣或k＝﹣1，
则直线CD的方程为x+7y﹣9＝0或x+y﹣3＝0．
20．【解答】解：（1）根据题意，计算
＝＝＝﹣10，
∴＝﹣＝109.94+10×0.16＝111.54，
∴y关于ω的回归方程为＝﹣10w+111.54；
（2）由题意知，＝10﹣x＝10（﹣10ω+111.54）﹣x，＝﹣﹣x+1115.4，
当年宣传费x＝20时，＝﹣﹣20+1115.4＝1090.4，
此时年利润的预报值是1090.4．
21．【解答】解：（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a＝8，
又|AF2|十|BF2|＝，则|AB|＝．
∵直线ly＝kx+m过点F1（﹣2，0），∴m＝2k，即直线l的方程为y＝k（x+2）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0．
∴x1+x2＝，x1x2＝．
由弦长公式|AB|＝，
代入整理得，解得k＝±1．
∴直线l的方程为y＝±（x+2），
即x﹣y+2＝0或x+y+2＝0；
（2）设直线l方程y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0．
∴x1+x2＝，x1x2＝．
以AB为直径的圆过原点O，即．
∴＝x1x2+y1y2＝0．
将y1＝kx1+m，y2＝kx2+m代入，整理得
（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0．
将x1+x2＝，x1x2＝代入，
整理得3m2＝8k2+8．
∵点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，
设点O到直线AB的距离为d，
∴|OP|＝d，于是|OP|2＝d2＝（定值），
∴点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点．
故点P的轨迹方程为（y≠0）．
22．【解答】解：（1）由题意可得2a＝8，即a＝4，
由e＝＝，可得c＝，b＝＝3，
即有椭圆的方程为+＝1；
（2）由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，
由（）?（）＝0，可得（）?＝0，
即（）?（﹣）＝0，
可得2＝2，即有四边形ABCD为菱形，
即有AC⊥BD，
设直线AC的方程为y＝kx，（k＞0），则BD的方程为y＝﹣x，
代入椭圆方程可得x＝±，
可设A（，k），
同理可得D（，﹣），
即有|AD|2＝（﹣）2+（+）2
＝，
令1+k2＝t（t＞1），
即有|AD|2＝25?＝25?，
由144+﹣＝﹣49（﹣）2+，
即有t＝2，即k＝±1时，|AD|取得最小值，且为；
又当AC的斜率为0时，BD为短轴，即有ABCD的周长取得最大值，且为20．
综上可得四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．