【备考2019中考数学学案】第五单元 四边形 第2节 特殊的平行四边形

第五单元 四边形
第2节 特殊的平行四边形
考 点 知 识 清 单
考点一 矩形
性质
四个角都是①___________________
对角线互相平分且②________________
判定
有③___________________________________。（定义）
对角线④_____________________________。
有⑤________________________________。
【温馨提示】1.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
考点二 菱形
性质
四条边都⑥________________
对角线互相⑦________平分，并且每条对角线⑧___________
判定
⑨________________________________________（定义）。
对角线互相⑩_______________________________。
?__________________________的四边形。
面积
菱形的面积等于底乘以高。
菱形的面积等于?__________________________。
【温馨提示】
1.菱形是轴对称图形，对称轴有两条，即两条对角线所在的直线；菱形也是中心对称图形。
2.菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
3.菱形各边中点连线围成的四边形是矩形；矩形各边中点连线围成的四边形是菱形。
考点三 正方形
性质
四条边都?________________
四个角都是?_______________
对角线互相平分、互相?________、?_________，并且每条对角线?_________。
判定
一组?____________的矩形。
一个角是?____________的菱形。

【温馨提示】1.正方形是轴对称图形，对称轴有4条，它也是中心对称图形。
2.正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
3.正方形的中点四边形是正方形。
4.平行四边形与特殊平行四边形的包含关系如图:
题 型 归 类 探 究
类型一 矩形的性质与判定（重难点）
【典例1】（2017·南宁）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF。
（1）求证:AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积。
【思路导引】（1）要证AE＝CF可以证明这两边所在的两个三角形全等，可证明△ABE≌△CDF，或者证明△AOE≌△COF；也可以连接CE，AF，证明四边形AECF是平行四边形。
（2）由条件易知△OCD为等边三角形，故∠ACD＝60°，再求AD的长，即可计算矩形ABCD的面积。
【自主解答】
【方法技巧】证明矩形的两种思路:（1）若四边形为（或可证为）平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等；（2）若直角较多，可证三个角为直角。
【变式训练】1.（2018·通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF。
（1）求证:△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论。
类型二 菱形的性质与判定（重难点）
【典例2】（2018·扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.
（1）求证:四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积。
【思路导引】（1）通过证△ADF≌△BEF，可得四边形AEBD是平行四边形，又DB＝DA，故 AEBD是菱形；
（2）在菱形AEBD中，AB⊥ED，从而有CD⊥DE，通过解Rt△DCE，求得DE的长度，进而可计算菱形的面积。
【自主解答】
【方法技巧】证明一个四边形是菱形的一般思路：（1）先证明四边形是一个平行四边形，再证明一组邻边相等或证明对角线互相垂直；（2）证明四条边相等或对角线垂直且平分。
【变式训练】2.（2018·北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证:四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长
类型三 正方形的性质与判定（重难点）
【典例3】（2018·潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE。
（1）求证:AE＝BF；
（2）已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值。
【思路导引】（1）利用正方形的性质，通过证明Rt△DEA≌Rt△AFB，得AE＝BF；
（2）AE＝BF＝x，利用S△ABE＋S△ADE＝24，求得x的值，再进一步在Rt△EFB中计算BE的长，从而可求∠EBF的正弦值。
【自主解答】
【方法技巧】正方形的四个判定方法:（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。
【变式训练】3.（2017·上海）已知:如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且 EA＝EC.
（1）求证:四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证:四边形ABCD是正方形。
中 考 真 题 回 放
考点一 矩形的性质与判定
1.（2018·威海）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BCB＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（ ）
A.1 B. C. D.
2.（2018·枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值为（ ）
A. B. C. D.
3.（2018·莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF，CF，CF与AB交于G.有以下结论:①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG·FC；④EG·AE＝BG·AB.其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.（2018·济南）如图，矩形EFGH的四个顶点分别落在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF， FG=2，GC＝3，有以下四个结论:①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4。其中一定成立的是______________。（把所有正确结论的序号都填在横线上）
考点二 菱形的性质与判定
5.（2018·日照）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A.AB＝AD B.AC＝BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO
6.（2018·烟台）对们线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点、过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕.若B＇M＝1，则CN的长为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
7.（2018·滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为___________。
8.（2018·青岛）已知:如图， ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD。
（1）求证:AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论。
9.（2018·临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜360°），得到矩形AEFG.
（1）如图，当点E在BD上时，求证:FD＝CD；
（2）当a为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由.
10.（2018·枣庄）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证:四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长.
考点三 正方形的性质与判定
11.（2018·临沂）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法其中正确的个数是（ ）
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，AC与BD互相垂直且相等。
A.1 B.2 C.3 D.4
12.（2018·枣庄）如图，在正方形ABCD中，AD＝2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为_____________。
13.（2018·莱芜）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，AE，DE的圆心分别在边AB，CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E，F间的距离为_____________。
14.（2018·潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形A'B'C'D'的位置，B'C'与CD相交于点M，则点M的坐标为____________。
15.（2018·青岛）已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____________。
16.（2018·聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF。
（1）求证:AE＝BF；
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长。
17.（2018·济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值.
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）证明:∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF。
（2）解:在矩形ABCD中，OC =AC，OD＝BD，且 AC = BD，
∴OC＝OD，又∵∠COD＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ACD＝60°。
在Rt△ACD中，AD＝tan60°×CD＝6。
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝36。
【变式训练】1 （1）证明:∵E是AD的中点，∴AE＝DE。
又∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB.
（2）解:四边形ADCF是矩形。
证明:∵AF∥CD，且AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形。
∵△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线。
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°。 ∴四边形ADCF是矩形。
【典例2】
【自主解答】（1）证明:在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BED，∠DAB＝∠EBA.∵点F是AB的中点，∴AF＝BF，∴△ADF≌△BEF（AAS）∴AD＝BE.又∵AD∥BC，
∴四边形AEBD是平行四边形，DA＝DB，∴平行四边形AEBD是菱形。
（2）解:∵平行四边形AEBD是菱形，∴AB⊥ED.
在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴ED⊥CD。
在Rt△CDE中，tan∠DCB＝3，DC＝，∴DE＝3。
又∵AB＝CD＝，∴菱形AEBD的面积＝×AB×ED＝××3＝15.
【变式训练】2.（1）证明:∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AD＝AB，∴AB＝CD。
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵AB＝AD，∴ ABCD是菱形。
（2）解:∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O∴AC⊥BD。
OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OB＝BD＝1。
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∴OA＝＝2。
∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC=90o，O为AC中点，
∴OE=AC=OA=2。
【典例3】
【自主解答】（1）证明:∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°，∴BAF＝∠ADE。
在Rt△DEA和Rt△AFB中，∠ADE＝∠BAF，∠DEA＝∠AFB，DA＝AB，
∴Rt△DEA≌Rt△AFB，∴AE＝BF。
（2）解:设AE＝x，则BF＝x，∵四边形ABED的面积为24， DE＝AF-2.
∴x2＋×2x＝24，解得x1＝6，x2＝-8（舍），∴EF＝AE-AF＝6-2＝4，
在Rt△EFB中，BE＝＝2，∴sin∠EBF＝。
【变式训练】3.（1）证明:在△ADE与△CDE中，∵AD＝CD，CD E＝DE，EA＝EC，
∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE。
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD.
又∵AD＝CD，∴BC＝AD又∵D∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形。
∵AD＝CD，∴ ABCD是菱形。
（2）解:∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC。∵∠CBE:∠BCE＝2:3，
∴∠CBE＝180o×＝45o。
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形。
【中考真题回放】
1.C解析:延长GH交AD于点P，易证△APH≌△FGH（ASA），则AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD-AP＝1，DG＝1，∴GH＝PG＝×。
2.A 3.C 4.①②④ 5.B 6.D
7. 解析:分别取AD，BC中点M，N，由AD＝4，AB＝2，证得四边形ABNM是正方形，连接MN，EH，由∠ HAE =45°，四边形ABNM是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”，故有EH＝MH＋BE，由AB＝2，AE＝，易知BE＝1，所以EN＝BN-BE＝2-1＝1，设MH＝x，由M是AD中点，△AMH∽△ADF可知，DF＝2MH＝2x，HN＝2-x，EH＝MH＋BE＝x＋1，在Rt△En中有EN2＋hN2＝EH2，故12＋（2-x）2＝（x＋1）2，解得x＝，故DF＝，
故AF＝。
8.（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴BF∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG。
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD，∴AB＝AF。
（2）解:结论:四边形ACDF是矩形，理由:∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD=120o，∴∠FAG=60o，
∴△AGF是等边三角形，∴AG＝GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，
∵AG＝GF＝GD，∴AD＝CF，四边形ACDF是矩形。
9.（1）证明:如图1，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，结合旋转与全等可得BD＝AF，
∠EAF＝∠ABD，∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，
∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB，∵AB＝CD，∴FD＝CD。
（2）解:如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，
易知点G也是AD的垂直平分线上的点∴DG＝AG。
又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，a＝60° 。
如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，同理，△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°此时a＝300°。
综上所述，当a为60o或300o时，GC＝GB.
10.（1）证明:∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG。∵由翻折的性质可知:GD＝GE，DF＝EF，
∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG∴GD＝DF∴DG＝GE＝DF＝EF，∴四边形EFDG为菱形。
（2）解:EG2＝GF·AF，理由:如图1所示:连接DE，交AF于点O.
∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF，
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA。∴△DOF∽△ADF，
∴，DF2＝FO·AF。
∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF·AF。
（3）解:如图2所示:过点G作GH⊥DC，垂足为H。∵EG2＝GF·AF，AG＝6，EG＝2，
∴20＝FG（FG＋6），整理得:FG2＋6FG-40=0.解得:FG＝4，FG＝-10（舍去）。
∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝，
∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD。∴△FGH∽△FAD.
∴，即。
GH=，BE=AD - GH = 4 - =。
11.A
12. 9-5 解析:∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝2，AD＝2，AE＝4，DE＝2，∴CE＝2-2，PE＝4-2，
作PF⊥CD于F，∴PF＝PE＝2-3，∴S△PCE＝CE·PF＝×(2-2)×(2-3)＝9-5.
13.
14.
15. 解析:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.
又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF.
∵∠ABE＋∠AEB＝180°-∠BAE＝180°- 90°=90o，∴∠DAF＋∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝180°-90°＝90°，∴∠BGF＝90°。
在Rt△BGF中，点H为BF的中点，∴GH＝BF，在Rt△BFC中，BC＝5，CF＝CD-DF＝5-2＝3，根据勾股定理得BF＝，∴GH＝。
16.（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°。 ∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°，∠AEB＋∠EBH＝90°，∠BAE＝∠EBH。
在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF。
（2）解:由（1）得△ABE≌△BCF，∴BE＝CF。∵正方形边长是5，BE＝2， ∴ DF＝CD-CF-CD-BE-5-2-3.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝＝＝＝。
17.（1）CF=2DG。证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，∠ADC＝90° 。
∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE＝ AD，CF＝BC∴DE＝CF＝CD.
∵∠ADC＝90°，EH⊥DF，∴∠CDF＋∠EDF＝90°，∠DEG＋∠EDF＝90°。
∴∠CDF＝∠DEG.在Rt△FCD中，tan∠CDF＝。
在Rt△DEG中，tan∠DEG＝。∴。∴CF＝2DG。
（2）解:如图所示.在NB上取NQ＝NC，连接DQ交MN于点P。
∵MN∥CD，CD⊥BC，∴MN⊥BCQ。又∵NQ＝NC，∴PC＝PQ.
∴PD＋PC＝PD＋PQ＝DQ.由“两点之间，线段最短”知，此时PD＋PC最短.
又∵CD＝10，∴此时△PDC的周长＝PD＋PC＋CD＝PD＋PC＋10最短。
∵MN∥CD，∴∠MHD＝∠CDF. ∴tan∠MHD＝＝tan∠CDF=。∴MH＝2MD。
设MD＝t，则MH＝2t.同理ME＝2MH＝4t.∴DE＝5t.∴CD＝2DE＝10t＝10，∴t＝1。
∴CQ＝2DM＝2.在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ＝＝＝2.
∴△PDC周长的最小值为2＋10。