【备考2019中考数学学案】第五单元 四边形专项训练

第五单元 四边形
专 项 训 练
类型一 证明线段的等积式
1.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE。
（1）求证:BE·AD＝CD·AE；
（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组即可），并说明理由。
2.在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F。
（1）求证:EC·BH＝BG·EH；
（2）若∠CGF＝90°时，求的值.
3.如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC.
求证:（1）∠PBC＝∠CBD；
（2）BC2＝AB·BD。
4.（2018·内江）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证:2DE2＝CD·OE；
（3）若tanC＝，DE＝，求AD的长.
类型二 三角形、四边形的有关计算与证明
5.（2018·沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
（1）求证:四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，求菱形ABCD的面积。
6.（2018·绥化改编）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，E是BC上的一点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F.
（1）求证:△ABE≌△DFA；
（2）连接CF与DE，①求证:DE⊥CF；②求DE的长.
7.（2018·乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F。
（1）求证:四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长。
8.（2018·南宁）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
（1）求证: ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求 ABCD的面积。
9.（2017·南通）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ。
（1）求证:四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长。
10.（2018· 重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，交AC于点G.
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证:DF＝CG.
11.（2016·东营）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B，C分别在边AD，AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立。
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H。
①求证:BD⊥CF；
②当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长。
12.（2018·威海）如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF。
（1）如图②，当BC＝4，DE＝5，tan∠FMN＝1时，求的值；
（2）若tan∠FMN＝，BC＝4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
（3）连接CM，DN，CF，DF，试证明△FMC与△DNF全等；
（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其他的全等三角形？请直接写出.
参考答案及解析
类型一 证明线段的等积式
1.（1）证明:∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE。又∵∠BDC＝∠BAC，∠DOC＝∠AOB，
∴∠DCA＝∠EBA。∴△ABE∽△ACD，∴. BE·AD＝CD·AE 。
（2）解:.理由:由△ABE∽△ACD得.又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△AED.故有.
2.（1）证明:∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠HEC，∠HGB＝∠HCE，
∴△BHG∽EHC，∴，∴EC·BH＝bG·EH.
（2）过点E作EM⊥AB于点M.∴EM＝BC＝AD，AM＝DE.∵E为CD的中点，∴DE＝CE.
设DE＝CE＝3a，则AB＝CD＝6a，
由（1）得=3,∴BG=CE=a，∴AG=5a.
∵∠EDF＝90°＝∠CGF，∠DEF＝∠GEC，∴△DEF∽△GEC .
∴.∴EG·EF=DE·EC。∵CD∥AB，∴,∴.
∴EF＝EG.∴EG·EG＝3a·3a，解得EG＝a.
在Rt△EMG中，GM＝2a，∴EM＝＝a.∴BC=a.
∴.
3.证明:（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PD，
∵BD⊥PC，∴OC∥BD，∴∠DBC＝∠BCO.
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠PBC＝∠CBD.
（2）连接AC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠CDB.
∵∠PBC＝∠CBD.∴△ACB∽△CDB.∴.∴BC2＝AB·BD.
4.解:（1）DE是⊙O的切线，理由:如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°∵OE∥AC，OA＝OB，∴BE＝CE，∴DE＝BE＝CE。
∴∠DBE＝∠BDE.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°。
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，∴,∴BC2＝CD·AC.
由（1）知DE＝BE＝CE＝BC，∴4DE2＝CD·AC.
由（1）知，OE是△ABC是中位线，∴AC＝2OE，∴4DE2=CD·2OE，∴2DE2＝CD·OE.
（3）∵DE＝∴BC＝5。在Rt△BCD中，tanC＝＝，设CD＝3x，BD＝4x，
根据勾股定理得，（3x）2＋（4x）2＝25，∴x＝-1（舍）或x＝1，∴BD＝4，CD＝3。
由（2）知，BC2＝CD·AC，∴AC＝，∴AD＝AC-CD＝。
类型二 三角形、四边形的有关计算与证明
5.（1）证明:四边形ABCD为菱形；∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED为平行四边形，∵∠COD＝90°，平行四边形OCED为矩形。
（2）解:由（1）得四边形ODEC是矩形，因此OD＝CE，OC＝DE，
因此AC＝2DE＝4，BD＝2CE＝2，所以菱形ABCD面积等于AC·BD＝×4×2＝4。
6.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠B＝∠DFA。在Rt△ABE中，AB＝DC＝4，BE＝3，
∴AE＝5，∴AE＝AD，∴△ABE≌△DFA.
（2）①连接DE与CF相交于点H。
∵△ABE≌△DFA∴DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，
∴EF＝CE＝2，DE⊥CF.
②由①知，∠DCH＋∠HDC＝∠DEC＋∠HDC＝90°。∴∠DCH＝∠DEC。
在Rt△DEC中，CD＝4，CE＝2DE＝2。
7.（1）证明:∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形。
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴BE＝EC＝AE，∴四边形AECD是菱形。
（2）解:过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理得AC＝8。
再根据面积关系，有S△ABC＝BC·AH＝AB·AC，∴AH＝。
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，
S菱形AECD＝CD·EF＝CE·AH，∴EF＝AH＝。
8.（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°。又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD（ASA）。
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形。
（2）解:连接BD交AC于点O、∵由（1）知四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC=，∵AB＝5，AO＝3。
在Rt△AOB中，BO＝。
∴BD＝2BO＝8，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×8＝24。
9.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEB＝∠EBQ。
∵PQ垂直平分BE，∴OE＝OB，∠POE＝∠QOB＝90°，∴△OPE≌△OQB。
∴OP＝OQ.∴四边形BPEQ是平行四边形。∵PQ⊥BE，∴四边形BPEQ是菱形。
（2）解:OB＝OE，BF＝AF＝AB＝3，∴OF∥AE。
∴∠OFB=∠A－90o，∠BOF＝∠PEO。
设OFB＝9-x，∵OF+OB=9，OB=9－x.
在Rt△OBF中，(x－9)2= x2＋32，解得x＝4.
∴∠BFO=∠POE＝90°，∠BOF＝∠PEO，∴△BFO∽△POE，∴,
即OP=·OE＝∴PQ＝2OP＝.
10.（1）解:∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝AH＋HE＝4。
又∵在Rt△ABH中，BH＝＝，
∴S△ABE＝ AE×BH＝×4×＝2。
（2）证明:过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC交于点N.
∴∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°。 ∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠ACB＝∠NGC＝45°。
∵AB＝AE，∴BM＝ME＝BE，∠BAM＝∠EAM。∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°。
∵∠AHK＋∠MAE＋∠AKH＝180°，∠AMB＋∠NBG＋∠BKM＝180°，∴∠MAE＝∠NBG。
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝a，
∴∠BAG＝∠MAC＋∠BAM＝45°＋a，∠BGA＝∠ACB＋∠NBG＝45°＋a，
∴∠BAG＝∠BGA，∴AB＝BG，∴AE＝BG，∴△AME≌△BNG（AAS）。
∴ME＝NG，∵NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，即BE，即BE＝GC。
∵O为AC的中点，∴OA＝OC。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO。∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE。
∴AD-AF＝BC-CE，即DF＝BE＝GC.
11.解:（1）BD＝CF成立。理由如下:由题意得，∠CAF＝∠BAD＝θ，
在△CAF和△BAD中，，∴△CAF≌△BAD，∴BD＝CF。
（2）①由(1)得△CAF≌△BAD，∴∠CFA＝∠BDA。∵∠FNH＝∠DNA，∠DNA＋∠NDA＝90°，∴∠CFA＋∠FNH＝90°，∴∠FHN＝90°，即BD⊥CF。
②如图，连接DF，延长AB交DF于M，∵四边形ADEF是正方形，AD＝3，AB＝2，
∴AM＝DM＝3， BM＝AM-AB＝1.DB＝＝，∵∠MAD＝∠MDA＝45o，
∴∠AMD＝90°，又∠DHF＝90°，∠MDB＝∠HDF，∴△DMB∽△DHF，
∴，即，解得，DH＝。
12.解:（1）M，N，F分别是AB，AE，BE的中点，∴BM＝NF＝MA，MF＝AN＝NE.
∴四边形MANF是平行四边形，又∵BA⊥AE，∴平行四边形MANF是矩形 .
又∵tan∠FMN＝1，∴＝1，即FN＝FM。
∴矩形MANF为正方形，∴AB＝AE。
∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90o，∴∠1＝∠3；∵∠C＝∠D＝90o，∴△ABC≌△EAD（AAS），∴BC＝AD，CA＝DE。∵BC＝4，DE＝5，∴。
（2）可求线段AD的长。
由（1）知，四边形MANF为矩形，FN＝AB，MF＝AE；∵tan∠FMN＝，即＝，
∴ 。∵∠1＝∠3，∠BCA＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△EAD，∴。
∵BC＝4，∴＝，∴AD＝8。
（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD.∴△ABC与△ADE都是直角三角形。
∵M，N分别是AB，AE中点，∴.BM＝CM，NA＝ND.∴∠4＝2∠1，∠5＝2∠3.
∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠5，∴∠FMC＝90°＋∠4，∠FND＝90o＋∠5，∴∠FMC＝∠FND.
∵FM＝DN，CM＝NF.∴△FMC≌△DNF（SAS）
（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE。