第二节 运动的合成与分解
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道合运动与分运动的概念和关系，并会在具体问题中加以区分．
2．知道什么是运动的合成、分解，理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则．(重点)
3．会用作图法和直角三角形知识求解有关位移、速度、加速度的合成与分解问题．(难点)
分 运 动 与 合 运 动
1．概念
如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，则物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动．
2．关系
(1)独立性：一个物体同时参与两个分运动，其中任意一个分运动并不因为有其他分运动而有所改变，即两个分运动独立进行，彼此互不影响．
(2)等效性：各分运动共同产生的效果与合运动产生的效果相同．
(3)等时性：合运动和分运动同时发生，经历的时间相同．
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动．
1．物体的实际运动的方向就是合运动的方向．(√)
2．对一个运动的物体研究分运动，就不能同时研究合运动，这就是等效性．(√)
3．各个分运动与合运动总是同时开始，但不一定是同时结束．(×)
自然界中物体的运动丰富多彩，在研究物体的实际运动中，如何确定哪些运动是合运动，哪些运动是分运动？
【提示】 物体的实际运动为合运动，某一时刻物体的速度、加速度、一段时间的位移都为合运动的速度、加速度、位移；而分运动一般是根据运动效果确定，将物体的运动看做同时参与的两个分运动，可运用假设的方法确定．
探讨1：
如图1-2-1，将某一物体水平抛出后，物体将参与水平方向的运动和竖直方向的运动，当水平方向有风和无风相比较，竖直向下的加速度是否变化？
图1-2-1
【提示】 不变．根据运动的独立性，当水平方向有风时仅影响水平方向的运动，而其他分运动不受干扰，竖直方向运动性质不变，即加速度不变．
探讨2：风雨大作时，我们会看到大雨倾斜而下．你知道哪个运动是雨滴的合运动吗？这个合运动可以分解为哪两个分运动？
【提示】 雨滴的实际运动即倾斜方向的运动就是雨滴的合运动，合运动可以分解为竖直方向的运动和水平方向随风的运动这两个分运动．
1．合运动与分运动的判定：在一个具体运动中，物体的实际运动是合运动，合运动往往是物体相对于静止地面的运动或相对于静止参考系的运动．
2．合运动与分运动的理解
(1)合运动与分运动的关系．
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
独立性
一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
等效性
各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性
各分运动与合运动都是同一物体参与的运动
(2)两点注意．
①物体实际运动的方向是合速度的方向．
②只有同时运动的两个分运动才能合成．
1．(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平吹来的风，下述说法正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
【解析】 雨滴竖直向下的下落运动和在风力作用下的水平运动是雨滴同时参与的两个分运动，雨滴下落的时间由竖直分运动决定，两分运动彼此独立，互不影响，雨滴下落的时间与风速无关，选项A错误，选项C正确；雨滴着地时的速度与竖直分速度和水平风速有关，风速越大，雨滴着地时的速度越大，选项B正确，选项D错误．
【答案】 BC
2．关于运动的独立性，下列说法正确的是( )
A．运动是独立的，是不可分解的
B．物体同时参与的几个分运动是互不干扰、互不影响的
C．合运动和分运动是各自独立的，是没有关系的
D．各分运动是各自独立的，是不能合成的
【解析】 运动的独立性是指一个物体同时参与的几个分运动是各自独立、互不影响的，故只有选项B正确．
【答案】 B
各个方向的分运动具有独立性、等时性，即互不影响，运动时间相同．
运 动 的 合 成 与 分 解
1．概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程．
2．遵循法则
位移、速度、加速度都是矢量，合成与分解时遵循的法则与前面学过的力的合成与分解相同，即都遵循平行四边形定则．
3．意义
一个合运动可以分解为两个分运动，两个分运动可以合成一个合运动．
一些常见的曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别研究这两个方向上的受力及运动情况，就可以知道复杂的曲线运动的规律．
1．合运动的速度、位移可能小于分运动的速度、位移．(√)
2．分运动都是直线运动，则合运动一定是直线运动．(×)
3．合运动分解时，一定要按实际情况来分解．(√)
直升机现已广泛应用于突发性灾难的救援工作．如图1-2-2为救助飞行队将一名身受重伤，生命垂危的灾民接到安全地带的情景．为了达到最快速的救援效果，飞机往往一边在收拢缆绳，提升被救者，将伤员接进机舱，一边还要沿着水平方向飞向安全地带．从地面上观察被救者的运动是怎样的呢？
图1-2-2
【提示】 如果飞机在水平方向上匀速飞行，但不收拢缆绳，伤员将在水平方向上匀速运动；如果飞机静止在空中同时匀速收拢缆绳，伤员将做竖直向上的匀速运动；当飞机在水平方向上匀速运动，同时收拢缆绳时，伤员参与了两个分运动：一个是竖直向上的匀速运动，另一个是水平方向上的匀速运动．伤员的实际运动是这两个分运动的合运动，所以，从地面上观察，他将以这个合速度斜向上做匀速直线运动，如图所示．
如图1-2-3所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
图1-2-3
探讨1：战士在水平方向上和竖直方向上分别做什么运动？
【提示】 战士水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．
探讨2：战士的合速度的大小、合位移的大小如何计算？
【提示】 合速度、合位移都可以应用平行四边形定则计算．
1．合运动性质的判断
2．合运动轨迹的判断
看合运动的加速度与速度的方向关系，如下：
两种情况
3．互成角度的两个直线运动的合成
分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)
v和a在同一条直线上时物体做匀变速直线运动
v和a不在同一条直线上时物体做匀变速曲线运动
4.两个相互垂直的分运动的合成
如果两个分运动都是匀速直线运动，且互成角度为90°，其分位移为s1、s2分速度为v1、v2，则其合位移s和合速度v可以运用解直角三角形的方法求得，如图1-2-4所示．
合位移大小和方向为
s＝ tan θ＝
合速度大小和方向为v＝
tan φ＝
图1-2-4
3．关于运动的合成和分解，下列说法正确的是( )
A．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动
B．曲线运动的加速度方向可能与速度的方向在同一条直线上
C．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线
D．合运动的时间等于两个分运动的时间之和
【解析】 分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动，A错误．曲线运动加速度的方向和速度方向一定不在同一条直线上，B错误．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线，C正确．合运动的时间与两个分运动的时间相等，D错误．
【答案】 C
4．如图1-2-5所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，人沿梯子匀加速向上运动的同时消防车匀速后退，从地面上看，下列说法中正确的是( )
图1-2-5
A．消防队员做匀加速直线运动
B．消防队员做匀变速曲线运动
C．消防队员做变加速曲线运动
D．消防队员水平方向的速度保持不变
【解析】 消防队员参与了两个分运动，一个是随车匀速后退．另一个是沿梯子向上匀加速直线运动，即合初速度与合加速度不共线，故合运动是匀变速曲线运动，B对．
【答案】 B
5.如图1-2-6所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板．将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是( )
图1-2-6
A B C D
【解析】 铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，其他选项均错．
【答案】 C
1．根据合加速度是否恒定判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动，若合加速度不变且不为零，则合运动为匀变速运动，若合加速度不断变化则为非匀变速运动．
2．根据合加速度与合初速度是否共线判断合运动是直线运动还是曲线运动，若合加速度与合初速度在同一直线上，则合运动为直线运动，否则为曲线运动．
小 船 渡 河 问 题
探讨1：小船渡河时间与哪些因素有关？
【提示】 小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
探讨2：如何求最短的渡河时间？
【提示】 船头与河岸垂直时渡河时间最短．
探讨3：如何求最短的渡河位移？
【提示】 船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
1．小船过河时的合运动与分运动
船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中的船的运动)，船的实际运动是合运动．处理方法通常有两种，其一是根据运动的实际效果去分解，其二是正交分解(这种方法用得不是很多)．
图1-2-7
2．渡河时间最短
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图1-2-7可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝.
3．渡河位移最短
求解渡河位移最短问题，分为两种情况
(1)若v水图1-2-8
(2)若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，
图1-2-9
即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：
如图1-2-9所示，按水流速度和船在静水中速度大小的比例，先从出发点A开始做矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧做切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝.
6．小船在静水中速度为v，现在小船要渡过一条河流，渡河时小船垂直对岸划行．若小船划行至河中间时，河水流速忽然增大，则渡河时间与预定时间相比，将( )
A．增长 B．不变
C．缩短 D．无法确定
【解析】 船在流水中的运动，可认为是船在静水中的运动和水流运动的合成，由分运动的独立性知，二者互不干涉．过河时间仅取决于河宽和船在静水中的速度，因此，当水流速度增大时，过河时间不会发生变化．
【答案】 B
7．船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )
【解析】 根据运动的合成与分解的知识可知，要使船垂直到达对岸就要使船的合速度指向对岸．根据平行四边形定则，C正确．
【答案】 C
8．河宽d＝200 m，水流速度v1＝3 m/s，船在静水中的速度v2＝5 m/s.求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
【解析】 (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示．
甲
tmin＝＝40 s
船经过的位移大小
x＝vtmin＝tmin≈233 m.
(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船的航行速度v2与岸成θ角，如图乙所示．
乙
则cos θ＝＝.
v′＝＝4 m/s
渡河时间t′＝＝50 s.
【答案】 (1)船头指向对岸 40 s 233 m
(2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为 50 s
小船渡河问题
1．小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
2．小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类渡河问题的解题关键：
(1)船头与河岸垂直时渡河时间最短；
(2)船随水向下游运动速度与水速相同；
(3)船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
第2节 运动的合成与分解
一、教学目标
1．在物理知识方面的要求：
（1）理解什么是合运动，什么是分运动，能在具体实例中找出分运动的合运动和合运动的分运动。
（2）知道什么是运动的合成，什么是运动的分解。
（3）理解合运动和分运动的等时性。
（4）理解合运动是按平行四边形定则由分运动合成的。
（5）由分运动的性质及特点综合判断合运动的性质及轨迹。
2．通过观察演示实验，有关教学软件，并联系学生生活实际总结概括出曲线运动的速度方向，曲线运动的条件，以及用运动的合成与分解处理复杂运动的基本方法。培养学生观察能力，分析概括推理能力，并激发学生兴趣。
3．渗透物理学方法的教育。研究船渡河运动，假设水不流动，可以想象出船的分运动；又假设船发动机停止工作，可想象出船只随水流而动的另一分运动。培养学生的想象能力和运用物理学抽象思维的基本方法。
二、重点、难点分析
1．已知两个分运动的性质特点，判断合运动的性质及轨迹，学生不容易很快掌握，是教学的难点，解决难点的关键是引导学生把每个分运动的初始值（包括初速度、加速度以及每个分运动所受的外力）进行合成，最终还是用合运动的初速度与合外力的方向关系来判断。三、教学过程
（一）引入课题
上一节我们学习了曲线运动，它比直线运动复杂，为研究复杂的运动，就需要把复杂的运动分为简单的运动，本节课我们就来学习一种常用的一种方法——运动的合成和分解。
（二）教学过程设计
1、合运动和分运动
（1）做课本演示实验：
从观察到的现象出发，引导学生从运动效果进行分析，知道一个物体实际运动产生的效果与几个不同的运动共同产生的效果相同。
（2）分析：
球可看成是同时参与了下面两个运动，水平向右的运动（由A到B）和竖直向下的运动（由A到C），实际发生的运动（由A到D）是这两个运动合成的结果。
（3）总结得到什么是分运动和合运动。
2、合运动与分运动的关系
做课本演示实验
①等时性：合运动与分运动是同时进行，同时结束。
②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行各自产生的效果互不干扰。
3．运动的合成和分解
（1）通过联系船渡河实际，给出合运动、分运动等概念。
船渡河问题：可以看做由两个运动组成。假如河水不流动而船在静水中沿AB方向行驶，经一段时间从A运动到B（如图6），假如船的发动机没有开动，而河水流动，那么船经过相同的一段时间将从A运动到Aˊ，如果船在流动的河水中开动同时参与上述两个分运动的合运动。
注意：船头指向为发动机产生的船速方向，指分速度；船的合运动的速度方向不一定是船头的指向。这里的分运动、合运动都是相对地球而言，不必引入相对速度概念，避免使问题复杂化。
（2）引导学生概括总结运动的合成分解法则：平行四边形法则。
①用分运动的位移、速度、加速度求合运动的位移、速度、加速度等叫运动的合成。反之由合运动求分运动的位移速度、加速度等叫运动的分解。
②运动的合成与分解遵守矢量运算法则，即平行四边形法则：
1.课本例题分析
2.船的合位移s 是两个分位移s1s2的矢量和；又例如飞机斜向上起飞时，在水平方向及竖直方向的分速度分别为u1=ucosθ,u2=usinθ,其中，u是飞机的起飞速度。如图7所示。
（3）用分运动的性质判断合运动的性质及轨迹。
①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。提问学生为什么？（u合为恒量）
②提出问题：船渡河时如果在AB方向的分运动是匀加速运动，水仍然匀速流动，船的合运动轨迹还是直线吗？学生思考后回答并提示学生用曲线运动的条件来判断，然后引导学生综合概括出判断方法：首先将两个分运动的初始运动量及外力进行合成，然后用合运动的初速度及合运动所受的合外力的方向关系进行判断。合成结果可知，船的合速度u合与合外力F不在同一直线上，船一定做曲线运动。如巩固知识让学生再思考加答：两个不在同一直线上初速度都为零的匀加速直线运动的合运动是什么运动？
（匀加速直线运动）
4．引申内容：关于船的渡河问题的讨论
（1）通过此例让学生明确运动的独立性及等时性的问题，即每一个分运动彼此独立，互不干扰；合运动与每一个分运动所用时间相同。
（2）关于速度的说明，在应用船速这个概念时，应注意区别船速u船及船的合运动速度u合。前者是发动机产生的分速度，后者是合速度，由于不引入相对速度概念，使上述两种速度容易相混。
（3）问题的提出：河宽H，船速为u船，水流速度为u水，船速u船与河岸的夹角为θ，如图9所示。
①求渡河所用的时间，并讨论θ=？时渡河时间最短。
②怎样渡河，船的合位移最小？
分析① 用船在静水中的分运动讨论渡河时间比较方便，根据运动的独立性，渡河时间t= s船/ u船将s船=H/sinθ（如图10所示）代入得t=H/ sinθu船分析可知θ=90°时，即船头垂直对岸行驶时渡河时间最短。
分析② 当u船> u水时，u合垂直河岸，合位移最短等于河宽H，根据速度三角形可知船速方向应满足cosθ= u船/u水，θ为u船与河岸的夹角。当u船> u水时，分析可知船速u船方向应满足cosθ= u船/u水，θ为船速方向与河岸的夹角。
（三）课堂小结
1．复杂运动可以分解成简单的运动分别来研究，由分运动求合运动叫运动的合成，反之叫运动的分解，运动的合成与分解，遵守平行四边形法则。
2．用曲线运动的条件及运动的合成与分解知识可以判断合运动的性质及合运动轨迹。
（四）作业与思考
课件35张PPT。1.1.2 运动的合成与分解一、合运动、分运动及它们的特点与关系
[观图助学]如图所示，一名92岁的南非妇女从距地面大约2 700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者。假设没有风的时候，落到地面所用的时间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，那么实际下落所用时间还等于t吗？1.合运动与分运动
(1)如果一个物体___________的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的_________。
(2)实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度。实际发生分运动2.合运动与分运动的特点
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定_______，即同时开始、同时进行、同时停止。相等 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自_________进行，_________影响。
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互________。也就是说，合运动的位移s合、速度v合、加速度a合分别等于对应各分运动的位移s分、速度v分、加速度a分的矢量和。
3.合运动与分运动的关系
一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动。独立互不替代[理解概念]判断下列说法是否正确。
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等。( )
(2)合运动一定是实际发生的运动。( )
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大。( )√√×二、运动的合成与分解
[观图助学]如图是骑马射箭运动，射出的箭分别参与了哪两个方向的分运动？箭实际的运动与分运动遵循什么规律？1.已知分运动的运动情况求合运动的运动情况的过程叫运动的_______。已知合运动的运动情况求分运动的运动情况的过程叫运动的_______。
2.合位移是两分位移的矢量和，满足______________定则。
3.实际速度和分速度的关系以及合加速度与分加速度的关系都满足___________定则。(或_________定则)合成分解平行四边形平行四边形三角形[理解概念]判断下列说法是否正确。
(1)合运动的时间一定比每一个分运动的时间长。( )
(2)分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( )
(3)互成角度的两个匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动。( )×√√运动的合成与分解[观察探究]蜡块能沿玻璃管匀速上升(如图1甲所示，速度大小为vy)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动(如图乙所示，速度大小为vx)，则：图1(1)蜡块在竖直方向做什么运动？在水平方向做什么运动？
(2)蜡块实际运动的性质是什么？
(3)求t时间内蜡块的位移和速度。答案 (1)蜡块参与了两个运动：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动。
(2)蜡块实际上做匀速直线运动。[探究归纳]
1.合运动与分运动的关系2.合运动与分运动的判定方法：在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动。这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动。
3.运动分解的应用解题步骤
(1)根据运动的效果确定运动的分解方向。
(2)根据平行四边形定则，画出运动分解图。
(3)应用运动学公式分析分运动，应用数学知识确定分矢量与合矢量的关系。[试题案例]
[例1] (2018·梅州高一期末检测)(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是( )图2A.质点的初速度大小为5 m/s
B.质点所受的合外力为3 N，做匀变速曲线运动
C.2 s末质点速度大小为6 m/s
D.2 s内质点的位移大小约为12 m答案 ABD[针对训练1] (2018·肇庆高一检测)如图3所示，一雨滴正以5 m/s的速度倾斜下落，汽车以3 m/s的速度水平匀速前进，坐在汽车里面的人看到雨滴竖直下落，求雨滴下落方向与竖直方向夹角的正切值？图3合运动性质和轨迹的判断方法[观察探究]观察图4所示塔式起重机模型，吊车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起。图4请思考并回答以下问题：
(1)物体Q同时参与了几个分运动？
(2)合运动的性质是什么？
(3)合运动的轨迹是直线还是曲线？
(4)如果物体Q竖直向上被匀速吊起，其合运动是什么运动？
答案 (1)两个分运动：①水平方向上的匀速直线运动。
②竖直方向上的匀加速直线运动。
(2)匀变速运动。
(3)曲线。
(4)此时合运动的合加速度为0，因此合运动是匀速直线运动。[探究归纳]互成角度的两个直线运动的合运动的性质
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动合成时，由于其加速度与合速度不在同一条直线上，故合运动是匀变速曲线运动。
(3)两个都是从静止开始的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。
(4)两个匀加速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动。[试题案例]
[例2] 如图5甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有( )图5A.笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线
B.笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线
C.在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D.在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
解析 由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线，故A、B错误；在运动过程中，笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化，故C错误；笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变，故D正确。
答案 D[针对训练2] 在平面上运动的物体，其x方向分速度vx和y方向分速度vy随时间t变化的图线如图6(a)、(b)所示，则下列选项中最能反映物体运动轨迹的是( )图6解析 物体参与两个分运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度沿y正方向，物体合运动的加速度沿y正方向，故轨迹向上弯曲，故C正确，A、B、D错误。
答案 C小船过河问题分析[观察探究]如图7所示：河宽为d，河水流速为v水，船在静水中的速度为v船，船从A点开始渡河到对岸。图7(1)小船渡河同时参与了几个分运动？
(2)怎样渡河时间最短？
(3)当v水[例3] 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船渡河航程最短，应如何航行？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m小船渡河问题的研究方法[针对训练3] 如图8所示，一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d＝100 m的河流，已知河水流速为v1＝4 m/s，小船在静水中的速度为v2＝2 m/s，B点距正对岸的A点x0＝173 m。下面关于该船渡河的判断，其中正确的是( )图8A.小船过河的最短航程为100 m
B.小船过河的最短时间为25 s
C.小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸
D.小船过河的最短航程为200 m答案 D“绳拉船”模型“绳拉船”模型的解题步骤
(1)确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
(2)分解合速度：合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。
两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。【针对练习】 如图9所示，用船A拖着车B前行时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：图9
(1)车B运动的速度vB为多大？
(2)车B是否做匀速运动？所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即
vB＝v1＝vAcos θ。
(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。
答案 (1)vAcos θ (2)不做匀速运动解析 (1)把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，
