1.2.1 匀速圆周运动
学习目标
核心提炼
1.理解匀速圆周运动的概念和特点。
5个概念——匀速圆周运动、线速度、角速度、转速、周期
3个关系——线速度与角速度的关系、线速度与周期、角速度与周期的关系
2.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。
3.知道线速度与角速度的关系，线速度与周期、角速度与周期的关系。
一、描述圆周运动的物理量及其关系
[观图助学]
月亮绕地球做圆周运动，地球绕太阳做圆周运动。如图所示关于各自运动的快慢，地球和月亮的“对话”：
地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km。
月亮说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得慢？
请问：地球说得对，还是月亮说得对？
1.线速度
(1)定义：质点通过的弧长l跟通过这段弧长所用时间t的比值。
(2)大小：v＝，单位：__m/s。
(3)方向：沿圆周上该点的切线方向。
(4)物理意义：描述物体沿圆周运动的快慢。
2.角速度
(1)定义：质点所在半径转过的角度φ与所用时间t的比值。
(2)大小：ω＝，单位：弧度每秒，符号：rad/s。
(3)物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。
3.周期和转速
(1)周期：匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号T表示，单位为秒(s)。
(2)转速：匀速圆周运动的物体单位时间内转过的圈数。用符号n表示，单位为转每秒(r/s)，或转每分(r/min)。
n r/s＝60n r/min。
4.各个物理量间的关系
(1)v、T的关系：v＝。
(2)ω、T的关系：ω＝。
(3)v、ω的关系：v＝ωr。
(4)ω、n的关系：ω＝2πn。
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(×)
(2)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变。(√)
(3)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。(√)
二、对匀速圆周运动的理解
[观图助学]
如图花样滑冰运动中，女运动员可认为做匀速圆周运动，请思考女运动员是做匀速运动吗？在相等时间内路程相等吗？位移呢？
1.匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间内通过的圆弧长度相等的运动。
2.
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动是一种匀速运动。(×)
(2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。(×)
(3)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零。(√)
线速度和匀速圆周运动
[观察探究]
如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：
图1
(1)A、B两点的速度方向沿什么方向？
(2)A、B两点在相同的时间内沿圆弧运动的轨迹长度相同吗？哪个运动得快？
(3)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？
(4)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？
答案 (1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向。
(2)不相同，B运动的轨迹长，B运动得快。
(3)B运动的速率不变，但B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动。
(4)质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动不是线速度不变的运动，只是速率不变，是变速曲线运动。而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同。
[探究归纳]
1.对线速度的理解
(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快。
(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上。
(3)线速度的大小：v＝，l代表弧长。
2.对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变。
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
(3)运动性质
线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
[试题案例]
[例1] (多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动是变速运动
B.匀速圆周运动的速率不变
C.任意相等时间内通过的位移相等
D.任意相等时间内通过的路程相等
解析 由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速度方向时刻改变，故A、B正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，C错误，D正确。
答案 ABD
(1)矢量的比较，首先要想到方向问题。
(2)“相等时间内…”的问题，为便于比较可以取一些特殊值，但是有时取特殊值也会犯错，如本题中若取t＝T，则相等时间内位移相等，均为0，这样看来C选项正确，所以举例时要具有普遍性。
(3)匀速圆周运动中的“匀速”，是指“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动。
[针对训练1] (多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.因为它速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动
B.它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C.该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态
D.该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合力不等于零
答案 BD
描述匀速圆周运动的物理量及其之间的关系
[观察探究]
如图2所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动。
图2
(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？如何比较它们转动的快慢？
(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？
答案 (1)不相同。根据角速度公式ω＝知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快。
(2)秒针周期为60 s，分针周期为60 min，时针周期为12 h。
[探究归纳]
1.对角速度的理解
(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快。
(2)角速度的大小：ω＝，φ代表在时间t内，物体与圆心的连线转过的角度。
(3)在匀速圆周运动中，角速度大小不变，是恒量。
2.对周期和频率(转速)的理解
(1)周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性。其具体含意是，描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等。
(2)当单位时间取1 s时，f＝n。频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同。
3.周期、频率和转速间的关系：T＝＝。
4.描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr
(2)ω＝＝＝2πn
(3)v＝ωr
[试题案例]
[例2] 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
解析 (1)依据线速度的定义式v＝可得
v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr，可得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)T＝＝ s＝4π s。
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
[针对训练2] 关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A.线速度大的角速度一定大
B.线速度大的周期一定小
C.角速度大的半径一定小
D.角速度大的周期一定小
解析 由v＝ωr知，r一定时，v与ω成正比；v一定时，ω与r成反比，故A、C均错误；由v＝知，r一定时，v越大，T越小，B错误；由ω＝可知，ω越大，T越小，故D正确。
答案 D
同轴传动和皮带传动问题
[观察探究]
如图3为两种传动装置的模型图。
图3
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系；
(2)乙图为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系。
答案 (1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝rω，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。
(2)同轴传动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝rω，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大。
[探究归纳]
常见的传动装置及其特点
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
[试题案例]
[例3] (2018·阳江高一检测)(多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
图4
A.角速度之比为1∶2∶2
B.角速度之比为1∶1∶2
C.线速度大小之比为1∶2∶2
D.线速度大小之比为1∶1∶2
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等。
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
故A、D正确。
答案 AD
传动装置的两个重要特点
(1)固定在一起同轴转动的物体上各点角速度相同。
(2)不打滑的摩擦传动(包括皮带传动)的两轮边缘上各点线速度大小相等。
[针对训练3] 一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图5所示，求环上M、N两点的：
图5
(1)线速度的大小之比；
(2)角速度之比。
解析 M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶1，两点做圆周运动的半径之比
rM∶rN＝sin 60°∶sin 30°＝∶1，故
vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝∶1。
答案 (1)∶1 (2)1∶1
圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他周期同样可能发生，在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性。一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，才会较快地解决问题。
【针对练习】 如图6所示，小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
图6
解析 设P球自由下落到圆周最高点的时间为t，由自由落体运动规律可得
h＝gt2，
解得t＝。
经过时间t，Q球由图示位置转至最高点，才能与P球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T，有
t＝(4n＋1)(n＝0，1，2，3…)
两式联立再由T＝，得(4n＋1)＝。
所以ω＝(4n＋1)(n＝0，1，2，3…)。
答案 (4n＋1)(n＝0，1，2，3…)
1.(对匀速圆周运动的理解)(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动是匀速运动
B.匀速圆周运动是变速运动
C.匀速圆周运动是线速度不变的运动
D.匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
解析 这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确。
答案 BD
2.(圆周运动各物理量间的关系)汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )
A.1 000 r/s B.1 000 r/min
C.1 000 r/h D.2 000 r/s
解析 由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30 cm＝0.3 m，v＝120 km/h
＝ m/s，代入得n＝ r/s，约为1 000 r/min。
答案 B
3.(圆周运动各物理量间的关系)(2018·东莞高一检测)如图7所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板上的两个点，在翘动的某一时刻，A、B的线速度大小分别为vA、vB，角速度大小分别为ωA、ωB，则( )
图7
A.vA＝vB，ωA>ωB B.vA>vB，ωA＝ωB
C.vA＝vB，ωA＝ωB D.vA>vB，ωA<ωB
解析 由题意知A、B的角速度相等，由图看出rA>rB，根据v＝ωr得线速度vA>vB，所以选项B正确。
答案 B
4.(圆周运动的周期性问题)如图8所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。
图8
解析 设球在空中运动时间为t，此圆盘转过φ角。则
R＝vt，h＝gt2
故初速度v＝R
φ＝n·2π(n＝1，2，3…)
又因为φ＝ωt
则圆盘角速度
ω＝＝2nπ(n＝1，2，3…)。
答案 R 2nπ(n＝1，2，3…)
合格性检测
1.(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是( )
A.速度 B.速率
C.角速度 D.周期
解析 物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D正确。
答案 BCD
2.(多选)一般的转动机械上都标有“转速×××r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的。下列有关转速的说法正确的是( )
A.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大
B.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大
C.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大
D.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越小
解析 转速n越大，角速度ω＝2πn一定越大，周期T＝＝一定越小，由v＝ωr知只有r一定时，ω越大，v才越大，B、D正确。
答案 BD
3.(多选)一准确转动的机械钟表，下列说法正确的是( )
A.秒针转动的周期最长
B.时针转动的转速最小
C.秒针转动的角速度最大
D.秒针的角速度为 rad/s
解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω＝ rad/s＝ rad/s，故D正确。
答案 BCD
4.(2018·肇庆高一检测)关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A.因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B.如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C.若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D.若半径为r，周期为T，则线速度为v＝
解析 物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故选项A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，选项C错误；由线速度的定义可得，在转动一周时有v＝，选项D正确。
答案 D
5.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图1所示，当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
图1
A. B.
C. D.
解析 设小球1、2做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因r1＋r2＝L，所以小球2到转轴O的距离r2＝，B正确。
答案 B
6.(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为1∶3
解析 由v＝ωr，得r＝，＝＝，A正确，B错误；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝1∶3，C错误，D正确。
答案 AD
等级性检测
7.(多选)如图2所示为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r′，已知R＝2r，r′＝R，设皮带不打滑，则( )
图2
A.ωA∶ωB＝1∶1 B.vA∶vB＝1∶1
C.ωB∶ωC＝2∶3 D.vA∶vC＝2∶1
解析 研究A、B两点：A、B两点角速度相同，由v＝ωr得＝＝；研究B、C两点：B、C两点线速度大小相同，由v＝ωr得＝＝，因vB＝vC，故vA∶vC＝1∶2。
答案 AC
8.(2018·汕尾高一检测)如图3所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是( )
图3
A.dv＝L2g
B.ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3…)
C.v0＝ω
D.dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3…)
解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛运动的时间t＝，则有＝(n＝0，1，2，3，…)，选项B正确，C错误；平抛运动的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，选项A、D错误。
答案 B
9.如图4所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的边线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上。
图4
(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；
(2)求圆轮转动的角速度大小。
解析 (1)由题意知，a物体做平抛运动，若与b点物体下落的时间相同，则b物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针转动。
(2)a平抛：R＝gt2①
b竖直下抛：2R＝v0t＋gt2②
由①②得v0＝③
又因ω＝④
由③④解得ω＝。
答案 见解析
第一节 匀速圆周运动
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.理解匀速圆周运动是一种变速运动．
2．会描述圆周运动的快慢，掌握线速度、角速度、周期的定义及它们之间的关系．(重点)
3．学会用比值定义法来描述物理量．
4．会应用公式进行线速度、角速度、周期、频率、转速的计算.
匀速圆周运动及描述的物理量
1．匀速圆周运动
质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动．
2．线速度
(1)定义：质点通过的弧长l跟通过这段弧长所用时间t的比值．
(2)公式：v＝.
(3)矢量性：线速度是矢量，其方向在圆周该点的切线方向上．
(4)单位：国际单位制中其单位是米每秒，符号是m/s.
(5)意义：表示匀速圆周运动的快慢．
3．角速度
(1)定义：质点做匀速圆周运动时，质点所在半径转过的角度φ跟所用时间t的比值．
(2)公式：ω＝.
(3)单位：国际单位制中其单位是弧度每秒．符号是rad/s.
(4)意义：表示匀速圆周运动转动的快慢．
4．周期
(1)定义：匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号T表示．
(2)单位：国际单位制中其单位是秒，符号s.
(3)要点：做圆周运动的物体经过一个周期，又回到原来的位置，其瞬时速度的大小和方向也与原来的大小和方向一样．
5．转速
(1)定义：单位时间内转过的圈数，用符号n表示．
(2)单位：常用单位有转每秒，符号是r/s，或者转每分，符号r/min.
1．匀速圆周运动是变速曲线运动．(√)
2．匀速圆周运动的线速度恒定不变．(×)
3．匀速圆周运动的角速度恒定不变．(√)
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技．如图2-1-1所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
图2-1-1
【提示】 各点角速度相同，线速度不同．
如图2-1-2所示，电风扇关闭之后，风扇的叶片就越转越慢，逐渐停下来，请思考：
图2-1-2
探讨1：风扇叶片上某点在一段时间内运动的弧长与转过的角度有什么关系？
【提示】 弧长等于半径与转过角度(用弧度作单位)的乘积．
探讨2：风扇叶片上各点角速度是否相同？
【提示】 相同．
1．匀速圆周运动一定是变速运动．因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以匀速圆周运动一定是变速曲线运动．
2．匀速圆周运动是针对某个质点而言的，它在各个时刻的速度不同，因此质点必有加速度．
3．要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度，角速度侧重于描述质点转过角度快慢的程度．
1．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
【解析】 这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确．
【答案】 BD
2．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
【解析】 如图所示，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·Δt，所以相等时间内通过的路程相等，B对；但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δφ＝ωΔt相同，D对．
【答案】 BD
如图2-1-3所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( )
图2-1-3
A. min B．1 min
C. min D. min
【解析】 分针与秒针的角速度分别为ω分＝ rad/s，ω秒＝ rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt，因φ分＝ω分Δt，φ秒＝ω秒Δt，由φ秒－φ分＝2π，得Δt＝＝ s＝ s＝ min，故C正确．
【答案】 C
1．圆周运动一定是变速运动．因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变速运动．
2．线速度描述圆周运动质点通过弧长的快慢程度，匀速圆周运动线速度大小不变，方向不断变化．
3．角速度描述质点转过角度的快慢，匀速圆周运动的角速度恒定不变．
线速度、角速度、周期间的关系
1．线速度与周期的关系为v＝.
2．角速度与周期的关系为ω＝.
3．线速度与角速度的关系为v＝ωr.
1．匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同．(√)
2．匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快．(×)
3．做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比．(√)
图2-1-4
月亮绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可以看成圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月亮的“对话”．地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km.
月亮说：不能这样说吧？你一年才绕一圈，我27.3天就绕了一圈，到底谁转得慢？(如图2-1-4所示)到底是地球说得对还是月亮说得对？
【提示】 都对．地球绕太阳圆周运动的线速度大，但角速度小，周期长．
如图2-1-5为一辆自行车传动装置的结构图，观察自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的，并思考：
图2-1-5
探讨1：同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？
【提示】 线速度不同，角速度相同．
探讨2：两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？
【提示】 线速度相同，角速度、转速不同．
1．各物理量之间关系
(1)各量之间关系图
(2)各量的意义
①线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同，线速度v描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢．
②要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度，角速度侧重于描述质点转过角度的快慢的程度．
2．常见传动装置及特点
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度相同
线速度相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝.
周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝.周期与半径成正比：＝
4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
【解析】 由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30 cm＝0.3 m，v＝120 km/h＝ m/s，代入得n＝ r/s，约为1 000 r/min.
【答案】 B
5．如图2-1-6所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
图2-1-6
A．a球的线速度比b球的线速度小
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的周期比b球的周期小
D．a球的转速比b球的转速大
【解析】 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝ωr可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确．
【答案】 A
6．如图2-1-7所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
图2-1-7
【解析】 a、b两点比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c两点比较ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
【答案】 1∶2∶2 1∶1∶2
三种传动问题的求解方法
1．绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；
2．在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
3．齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．
课件44张PPT。第一节 匀速圆周运动第二章 圆周运动自主预习
预习新知 夯实基础重点探究
启迪思维 探究重点达标检测
检测评价 达标过关自主预习1.圆周运动：如果质点的运动轨迹是 ，那么这一质点的运动就叫做圆周运动.
2.匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等时间内通过的________相等，那么，这种运动就叫做匀速圆周运动.一、认识圆周运动圆圆弧长度二、如何描述匀速圆周运动的快慢1.线速度
(1)定义：质点做匀速圆周运动通过的 与通过这段 所用时间t的
比值，v＝ .
(2)意义：描述做圆周运动的质点 的快慢.
(3)方向：线速度是矢量，方向与圆弧 ，与半径 .
2.角速度
(1)定义：质点所在半径转过的 跟转过这一 所用时间t的比值，
ω＝ .
(2)意义：描述物体绕圆心 的快慢.弧长l弧长运动相切垂直角度φ角度转动3.单位
(1)角的单位：国际单位制中， 与 的比值表示角度，即φ＝ ，角度的单位为弧度，用rad表示.
(2)角速度的单位：弧度每秒，符号是 或 .
(3)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的 ，单位： .
(4)转速n：单位时间内转过的 ，单位： 或 .
周期和转速的关系：T＝ (n单位为r/s时).弧长半径rad/srad·s－1时间秒(s)圈数转每秒(r/s)转每分(r/min)三、线速度、角速度、周期间的关系1.线速度与周期的关系：v＝ .
2.角速度与周期的关系：ω＝ .
3.线速度与角速度的关系：v＝ .ωr答案即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)匀速圆周运动是一种匀速运动.( )
(2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同.( )
(3)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零.( )
(4)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变.( )
(5)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变.( )
(6)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小.( )××√×√√2.A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长比lA∶lB＝2∶3，转过的圆心角比φA∶φB＝3∶2，那么它们的线速度之比vA∶vB＝_______，角速度之比ωA∶ωB＝________.答案解析2∶3 3∶2重点探究图1如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：
(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？答案 两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向.一、线速度和匀速圆周运动导学探究答案(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？答案 B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动.(3)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？答案 质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动只是速率不变，是变速曲线运动.而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同.答案(4)A、B两点哪个运动得快？答案 B点运动得快.1.对线速度的理解
(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.
(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.
(3)线速度的大小：v＝ ，l代表在时间t内通过的弧长.知识深化2.对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化.
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变.
(3)运动性质
线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动.例1 (多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是
A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动
B.该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C.该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态
D.该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合力不等于零答案√√如图2所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.
(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？如何比较它们转动的快慢？答案二、角速度、周期和转速导学探究图2答案 不相同.根据角速度公式ω＝ 知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快.(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？答案答案 秒针周期为60 s，分针周期为60 min，时针周期为12 h.1.对角速度的理解
(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快.
(2)角速度的大小：ω＝ ，φ代表在时间t内物体与圆心的连线转过的角度.
(3)在匀速圆周运动中，角速度为恒量.知识深化2.对周期和频率(转速)的理解
(1)周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性.其具体含义是：描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等.
(2)当单位时间取1 s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.
3.周期、频率和转速间的关系：T＝ .例2 (多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是
A.秒针转动的周期最长
B.时针转动的转速最小
C.秒针转动的角速度最大
D.秒针的角速度为 rad/s√答案解析√√解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；
时针转动的周期最长，转速最小，B正确；1.描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系(3)v＝ωr.2.描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝
＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了.
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝ ；ω一定时，v∝r.例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；答案解析答案 10 m/s(2)角速度的大小；答案解析答案 0.5 rad/s(3)周期.答案 4π s针对训练1 (多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内，火车
A.运动路程为600 m B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s D.转弯半径约为3.4 km√√答案解析解析 由s＝vt知，s＝600 m，A对.
在弯道做圆周运动，火车加速度不为零，B错.如图3为两种传动装置的模型图.
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系.四、同轴转动和皮带传动问题图3答案 皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝rω，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小.答案(2)乙图为同轴转动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系.答案 同轴转动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝rω，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大.答案常见的传动装置及其特点知识深化例4 (多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的
A.角速度之比为1∶2∶2
B.角速度之比为1∶1∶2
C.线速度大小之比为1∶2∶2
D.线速度大小之比为1∶1∶2图4答案解析√√解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等.
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
故A、D正确.传动问题是圆周运动部分的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr与半径r成正比；
(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝ 与半径r成反比.针对训练2 (多选)如图5所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中
A.甲、乙两轮的角速度之比为3∶1
B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1
D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1图5答案解析√√解析 这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C错误；
根据线速度的定义v＝ 可知，弧长l＝vt，故D正确；
根据v＝ωr可知ω＝ ，又甲、乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正确；
周期T＝ ，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B错误.达标检测1231.(对匀速圆周运动的认识)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是
A.相等的时间内通过的路程相等
B.相等的时间内通过的弧长相等
C.相等的时间内通过的位移相同
D.在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等答案解析4√解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D项正确；
相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C项错误.2.(描述圆周运动各物理量的关系)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法中不正确的是
A.角速度为0.5 rad/s
B.转速为0.5 r/s
C.运动轨迹的半径约为1.27 m
D.频率为0.5 Hz答案解析1234√12343.(传动问题)某新型自行车，采用如图6甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题.如图乙所示是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC(rA≠rB≠rC).下列有关物理量大小关系正确的是
A.B点与C点的角速度：ωB＝ωC
B.C点与A点的线速度：vC＝ vA
C.B点与A点的线速度：vB＝ vA
D.B点和C点的线速度：vB>vC√图6答案1234解析解析 B点与C点的线速度大小相等，由于rB≠rC，所以ωB≠ωC，故A、D错误；12344.(圆周运动的周期性)如图7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小.答案解析1234图7解析 设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，1234θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt
