第二章 圆周运动
第二节 向心力
A级 抓基础
1．关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．它描述了角速度变化的快慢
B．它描述了线速度大小变化的快慢
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．公式a＝只适用于匀速圆周运动
解析：由于向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故C正确，A、B错；公式a＝不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动，故D错误．
答案：C
2．在水平冰面上，马拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
解析：由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心．由此可知C正确．
答案：C
3.如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是( )
A．重力和向心力
B．重力和支持力
C．重力、支持力和向心力
D．重力
解析：玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，故B正确．
答案：B
4.(多选)在地球表面处取这样几个点：北极点A、赤道上一点B、AB弧的中点C、过C点的纬线上取一点D，如图所示，则( )
A．B、C、D三点的角速度相同
B．C、D两点的线速度大小相等
C．B、C两点的向心加速度大小相等
D．C、D两点的向心加速度大小相等
解析：地球表面各点(南北两极点除外)的角速度都相同，A对；由v＝ωr知，vC＝vD，B对；由a＝ω2r知，aB>aC，aC＝aD，C错，D对．
答案：ABD
5.(多选)如图所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下述说法中正确的是( )
A．A、B两轮转动的方向相同
B．A与B转动方向相反
C．A、B转动的角速度之比为1∶3
D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
解析：A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对．A、B两轮边缘的线速度大小相等，由ω＝知，＝＝，C对．根据a＝得，＝＝，D错．
答案：BC
6．质量为m的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中，如果由于摩擦力的作用，使得木块的速率不变，那么( )
A．下滑过程中木块的加速度为零
B．下滑过程中木块所受合力大小不变
C．下滑过程中木块所受合力为零
D．下滑过程中木块所受的合力越来越大
解析：因木块做匀速圆周运动，故木块受到的合外力即向心力大小不变，向心加速度大小不变，故选项B正确．
答案：B
7.如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力有( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
解析：因为小球恰好通过最高点，此时靠重力提供向心力，小球仅受重力作用．故D正确，A、B、C错误．
答案：D
B级 提能力
8.如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知( )
A．质点P的线速度不变
B．质点P的角速度不变
C．质点Q的角速度不变
D．质点Q的线速度不变
解析：质点P的a－r图线是双曲线的一支，即a与r成反比，由a＝知质点P的线速度v的大小是定值，但方向变化，A错误；根据ω＝知角速度ω是变量，所以B错误；质点Q的a－r图线是一条直线，表示a∝r，由a＝rω2知角速度ω是定值，C正确；根据v＝ωr，线速度v是变量，所以D错误．
答案：C
9．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( )
A．角速度ω＝
B．时间t内通过的路程为s＝t
C．周期T＝
D．可能发生的最大位移为2πR
解析：由an＝ω2r，得ω＝＝，A错误；由an＝，得线速度v＝＝，所以时间t内通过的路程为s＝vt＝t，B正确；由an＝ω2r＝，得T＝2π＝2π，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D错误．
答案：B
10．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
解析：根据小球做圆周运动的特点，设绳与竖直方向的夹角为θ，故FT＝，对物体受力分析，由平衡条件Ff＝FTsin θ＝mgtan θ，FN＝FTcos θ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，A选项错误，B选项正确；由mgtan θ＝mω2Lsin θ，得ω＝，故角速度变大，周期变小，故C选项正确，D选项错误．
答案：BC
11．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
解析：设转盘角速度为ω，钢绳与竖直方向夹角为θ，座椅到中心轴的距离：R＝r＋Lsin θ，
对座椅分析有：Fn＝mgtan θ＝mRω2，
联立两式得ω＝ .
答案：ω＝
12．如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，求：
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零；
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg；
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg.
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零．小球做圆周运动的向心力由重力充当mg＝mωR，ω1＝ .
(2)在最高点小球对棒压力为mg时，小球向心力为
mg－mg＝mωR，ω2＝ .
(3)在最高点小球对棒拉力为mg时，
小球向心力为mg＋mg＝mωR，ω3＝ .
答案：(1) (2) (3)
学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．在水平面上转弯的汽车，向心力是( )
A．重力和支持力的合力
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力
D．重力、支持力和牵引力的合力
【解析】 水平面上转弯的汽车，重力和地面对汽车的支持力相平衡，向心力由指向圆心的静摩擦力提供，故B正确，A、C、D错误．
【答案】 B
2．某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R.当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为( )
A．v＝
B．v＝
C．v＝
D．安全速度与汽车的质量有关
【解析】 当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝m，则汽车的转弯速度为v＝，选项A正确．
【答案】 A
3．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
【解析】 设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．
【答案】 AD
4. (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图2-2-16所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
图2-2-16
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【解析】 抓住临界点分析汽车转弯的受力特点及不侧滑的原因，结合圆周运动规律可判断．
汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当vvc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．
【答案】 AC
5．如图2-2-17所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法错误的是( )
图2-2-17
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
【解析】 一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－N＝m，故支持力N＝mg－m，即支持力小于重力，A错，B、D对；当汽车的速度v＝时，汽车所受支持力为零，C正确．
【答案】 A
6．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≥ D．v≤
【解析】 当处于临界状态时，有kmg＝m，得临界速度v＝.故安全速度v≤.
【答案】 B
7.如图2-2-18所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动．若绳子不够牢，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
图2-2-18
A．最高点
B．最低点
C．两侧与圆心等高处
D．无法确定
【解析】 在最低点位置时，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋m，此处绳子受到的拉力最大，故最易断．选项B正确．
【答案】 B
8. “东风” 汽车公司在湖北某地有一试车场，其中有一检测汽车在极限状态下车速的试车道，该试车道呈碗状，如图2-2-19所示．有一质量为m＝1 t的小汽车在A车道上飞驰，已知该车道转弯半径R为150 m，路面倾斜角为θ＝45°(与水平面夹角)，路面与车胎摩擦因数μ为0.25，求汽车所能允许的最大车速．
图2-2-19
【解析】
以汽车为研究对象，其极限状态下的受力分析如图所示．根据共点力平衡条件，在竖直方向上有FNsin 45°－Ffcos 45°－mg＝0；根据牛顿第二定律，在水平方向上有FNcos 45°＋Ffsin 45°＝m ，将已知数据代入上面二式，解得v＝50 m/s.即汽车所能允许的最大车速为50 m/s.
【答案】 50 m/s
[能力提升]
9．(多选)如图2-2-20所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 ( )
图2-2-20
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
【解析】 小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，A错误、B正确；小球通过最低点时N－mg＝m，得N＝mg＋m，故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．
【答案】 BC
10．如图2-2-21所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后( )
图2-2-21
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
D．可能会再次落到圆轨道上
【解析】 小球刚好能过最高点时速度v＝，离开D后做平抛运动，下落高度为R，时间为t＝，水平位移x＝vt＝R＞R，所以小球一定落在AE上．故选A.
【答案】 A
11．如图2-2-22所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力．求：
图2-2-22
(1)小球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小．
【解析】 (1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力mg，拉力F＝mg或支持力F＝mg
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得
mg±F＝m ①
F＝mg ②
解①②两式，可得v＝或v＝0.
(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F′，设向上为正方向
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，F′－mg＝m
解得F′＝mg＋m＝7mg，
故球的向心加速度a＝＝6g.
【答案】 (1)或0 (2)7mg 6g
12．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
【解析】 (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．则有mgtan θ＝m
所以v0＝＝m/s＝20 m/s.
(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncos θ，N2＝Nsin θ，f1＝fsin θ，f2＝fcos θ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为
F向＝ mg＝ mg
根据F向＝m可得
v＝＝ m/s＝15 m/s.
【答案】 (1)20 m/s (2)15 m/s
向心力
1如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，下列关于A的受力情况说法正确的是( )
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力
2如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力和绳的拉力的合力沿绳的方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳的方向分力的合力
3如下图，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①放在A盘的边缘，钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2.当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，皮带不打滑，且钢球①②相对盘静止，则钢球①②所需的向心力之比为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶4 D．8∶1
4甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，则下列判断正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
5如下图所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为( )
A. B.
C. D.
6如图所示，光滑水平桌面上O处有一光滑的圆孔，一根轻绳一端系一质量为m的小球，另一端穿过小孔拴一质量为M的木块．当小球m以某一角速度在桌面上做匀速圆周运动时，木块M恰能静止不动，这时小球做圆周运动的半径为r，则此时小球做匀速圆周运动的角速度为多大？
7如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
参考答案
1解析：物体A在水平圆盘上，受重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力．A是否受摩擦力，可通过对A的运动状态分析得出：由于A随圆盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A受到摩擦力作用，且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A的向心力，故只有B正确．
答案：B
2解析：对小球受力分析如图所示，小球受重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，正确选项为C、D.
答案：CD
3解析：由a、b两轮边缘v大小相同得ra·ωa＝rb·ωb，即＝＝，①②所需向心力之比＝＝，所以D正确．
答案：D
4解析：两人角速度相同，设两人的运动半径分别为r甲和r乙，两人向心力相同，由牛顿第二定律和圆周运动得m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，所以＝＝
又r甲＋r乙＝0.9 m，所以r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m
两人线速度之比＝＝
由F＝m甲r甲ω2得ω＝＝ rad/s＝0.62 rad/s
所以v甲＝ωr甲＝0.19 m/s，v乙＝ωr乙＝0.37 m/s.
答案：D
5解析：本题的关键点是弹力提供向心力，当圆筒转动的角速度为ω时，其内壁对物体a的弹力为N，要使物体a不下落，应满足μN≥mg，又因为物体在水平面内做匀速圆周运动，则N＝mω2r.
联立解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为ω＝，故只有C正确．
答案：C
6解析：木块M恰能静止不动，则绳子拉力F＝Mg.小球m做匀速圆周运动时，绳子拉力提供向心力，F＝mω2r，即Mg＝mω2r，ω＝.
答案：
7解析：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到重力、摩擦力和支持力三个力作用而平衡，由平衡条件得：
摩擦力的大小f＝mgsinθ＝mg
支持力的大小FN＝mgcosθ＝mg.
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有
mgtanθ＝mω2
由几何关系得tanθ＝
联立以上各式解得ω＝.
答案：①f＝mg FN＝mg
②ω＝
