万有引力定律的应用
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一、选择题
1．(多选)下列关于地球同步卫星的说法正确的是( )
A．它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小
B．它的周期、高度、速度都是一定的
C．我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空
D．我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空
【解析】 同步卫星的轨道平面过地心，且相对地面静止，只能在赤道上空，它的高度一定，速率一定，周期一定，与地球自转同步，故选项B、D正确．
【答案】 BD
2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B．1 C．5 D．10
【解析】 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确．
【答案】 B
3．我国成功发射了“嫦娥三号”，关于“嫦娥三号”卫星的地面发射速度，以下说法正确的是( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于11.2 km/s和16.7 km/s之间
【解析】 “嫦娥三号”探月卫星是以直奔38万千米远地点的方式发射的，所以其地面发射速度大于7.9 km/s，但由于它并没有脱离地球的引力范围，所以小于11.2 km/s，故B正确．
【答案】 B
4．星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
【解析】 该星球的第一宇宙速度：G＝m
在该星球表面处万有引力等于重力：G＝m
由以上两式得v1＝，则第二宇宙速度v2＝v1＝×＝，故A正确．
【答案】 A
5．如图1所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，某一时刻它们恰好在同一直线上，下列说法中正确的是( )
图1
A．根据v＝可知，运行速度满足vA>vB>vC
B．运转角速度满足ωA>ωB>ωC
C．向心加速度满足aA
D．运动一周后，A最先回到图示位置
【解析】 由G＝m得，v＝，r大，则v小，故vATB>TC，因此运动一周后，C最先回到图示位置，D错误．
【答案】 C
6．(多选)据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”．假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍．则该行星与地球的( )
A．轨道半径之比为
B．轨道半径之比为
C．线速度之比为
D．线速度之比为
【解析】 行星公转的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律，有G＝mR，解得：R＝，该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍，故：＝＝，故A正确，B错误；根据v＝，有：＝·＝·＝；故C正确，D错误．
【答案】 AC
7．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为( )
图2
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
【解析】 月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以＝＝，线速度和质量成反比，正确答案为C.
【答案】 C
8. (多选) P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )
图3
A．P1的平均密度比P2的大
B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大
D．s1的公转周期比s2的大
【解析】 由图象左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两行星的近地卫星：G＝ma，得行星的质量M＝，由a-r2图象可知P1的近地卫星的向心加速度大，所以P1的质量大，平均密度大，选项A正确；根据G＝得，行星的第一宇宙速度v＝，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，选项B错误；s1、s2的轨道半径相等，由a-r2图象可知s1的向心加速度大，选项C正确；根据G＝m2r得，卫星的公转周期T＝2π，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，选项D错误．
【答案】 AC
9．(多选)为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月．如图4为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是( )
图4
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力
C．“嫦娥一号”卫星在控制点1处应减速
D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s
【解析】 由G＝mR可得M＝，选项A正确；月球对“嫦娥一号”卫星的引力F＝G，因不知道卫星的质量，故月球对卫星的引力不能求得，选项B错误；卫星在控制点1减速时，万有引力大于向心力，卫星做向心运动，半径减小，进入撞月轨道，选项C正确；若发射速度大于11.2 km/s，会脱离地球的束缚，不可能绕月球转动，选项D错误．
【答案】 AC
二、计算题
10．一颗人造地球卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知地球的第一宇宙速度是v1＝7.9 km/s，(g取9.8 m/s2)问：
(1)这颗卫星运行的线速度多大？
(2)它绕地球运行的向心加速度多大？
(3)质量为1 kg的仪器放在卫星内的平台上，仪器的重力多大？它对平台的压力多大？
【解析】 (1)卫星近地运行时，有：G＝m，卫星离地高度为R时，有：G＝m，从而可得v2＝5.6 km/s.
(2)卫星离地高度为R时，有：G＝ma；靠近地面时，有：G＝mg，从而可得a＝＝2.45 m/s2.
(3)在卫星内，仪器的重力就是地球对它的吸引力，则：G′＝mg′＝ma＝2.45 N；由于卫星内仪器的重力充当向心力，仪器处于完全失重状态，所以仪器对平台的压力为零．
【答案】 (1)5.6 km/s (2)2.45 m/s2
(3)2.45 N 0
11．质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.
图5
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留三位小数)
【解析】 (1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设OB为r1，OA为r2，则
对于星球B：G＝Mr1
对于星球A：G＝mr2
其中r1＋r2＝L
由以上三式可得T＝2π.
(2)对于地月系统，若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知地球和月球的运行周期T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力与天体运动的关系：G＝mL
解得T2＝2π
则＝＝1.012.
【答案】 (1)2π (2)1.012
12．有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这两颗卫星的：
(1)线速度之比；
(2)角速度之比；
(3)周期之比；
(4)向心加速度之比．
【解析】 (1)由G＝m得v＝
所以v1∶v2＝1∶2.
(2)由G＝mω2r得ω＝
所以ω1∶ω2＝1∶8.
(3)由T＝得T1∶T2＝8∶1.
(4)由G＝ma得a1∶a2＝1∶16.
【答案】 (1)1∶2 (2)1∶8 (3)8∶1 (4)1∶16
万有引力定律的应用 飞向太空
1.2009年2月11日，美国和俄罗斯的两颗卫星在西伯利亚上空相撞，这是有史以来首次卫星碰撞事件，碰撞点比相对地球静止的国际空间站高434 km.则( )
A．在碰撞点高度运行的卫星的周期比国际空间站的周期大
B．在碰撞点高度运行的卫星的向心加速度比国际空间站的向心加速度小
C．在与空间站相同轨道上运行的卫星一旦加速，将有可能与空间站相撞
D．若发射一颗在碰撞点高度处运行的卫星，发射速度至少为11.2 km/s
2在地球(看做质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星，下列说法中正确的是( )
A．它们的质量可能不同
B．它们的速率可能不同
C．它们的加速度大小可能不同
D．它们离地心的距离可能不同
3发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图．这样选址的优点是，在赤道附近( )
A．地球的引力较大
B．地球自转线速度较大
C．重力加速度较大
D．地球自转角速度较大
4火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为( )
A. B. C. D.
5天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常数G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
6组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是……( )
A．T＝2π B．T＝2π
C．T＝ D．T＝
7在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，物体上升的最大高度为h.该星球表面的重力加速度为________；已知该星球的半径R，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为________．
8已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
9如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下一昼夜的时间T，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出星球平均密度的估算表达式．
参考答案
1解析：由于碰撞点高度运行的卫星轨道半径大，由G＝mr·()2，即T＝知它的周期比国际空间站的周期大，A对．同理，由G＝ma，即a＝知它的向心加速度比国际空间站的小，B对．在与空间站同一轨道上的卫星一旦加速，就会做离心运动，到更高的轨道上去，所以不可能与空间站相撞，C错．发射速度至少为11.2 km/s时，卫星会脱离地球引力的束缚，不会再绕地球运行，D错．
答案：AB
2解析：卫星所受的万有引力充当向心力，同步卫星的周期T＝24 h，由G＝m()2r知，r也为定值，即离地心的距离相同．又由G＝m可看出速率v也为定值．卫星的加速度大小为，因为r为定值，故加速度大小也为定值．
答案：A
3解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运行轨道，在靠近赤道处的地面上的物体的线速度最大，发射时较节能，因此B正确．
答案：B
4解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由
G＝m()2R和M＝ρV＝ρπR3，解得ρ＝，即T＝∝；又因为ρ＝＝∝，所以T∝，＝.
答案：D
5解析：设该行星和地球的质量、半径、体积分别是M1和M2，R1和R2，V1和V2.则该星球的平均密度为
ρ1＝
地球的平均密度为ρ2＝
所以＝＝
对于地球的近地卫星有＝m()2R2
又ρ2＝，所以ρ2＝，故ρ1＝
＝kg/m3
≈2.9×104 kg/m3.
答案：D
6解析：星球的自转周期最小时，赤道上附近的物体F万＝F向，
即G＝mR·()2
所以T＝2π，A对；
又由于M＝ρ·πR3
代入上式可得T＝，所以D也对．
答案：AD
7解析：由h＝得g＝.
要使卫星周期最小需让该卫星绕星球表面运行，这时有：
mg＝mR·()2
T＝.
答案：
8解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处物体质量为m′
在地球表面附近满足G＝m′g
则GM＝R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，
则m＝G②
将①式代入②式，得到v1＝.
(2)结合①式卫星受到的万有引力为
F＝G＝③
由牛顿第二定律得F＝m(R＋h)④
③④式联立解得T＝.
答案：(1)v1＝ (2)T＝
9解析：设星球的质量为M，半径为R，表面重力加速度为g′，平均密度为ρ，砝码的质量为m.
砝码在赤道上失重ΔF＝(1－90%)mg′＝0.1mg′，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为Fn＝ΔF＝0.1mg′.
而一昼夜的时间T就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律，有
0．1mg′＝m()2R①
根据万有引力定律，星球表面的重力加速度为
g′＝G＝GπρR②
联立①②得，星球平均密度的估算式为ρ＝.
答案：ρ＝
