教学设计
第二节 运动的合成与分解
整体设计
我们上节学习了抛体运动，一般的抛体运动是比直线运动更为复杂的曲线运动.那么如何研究复杂的曲线运动呢？物理学中处理复杂问题的常用方法是把复杂运动转化为简单的运动进行研究，那么抛体中复杂的曲线运动又可以转化成什么样的简单运动呢？这些简单的运动和复杂的运动之间又有什么样的关系呢？它们之间有没有运算法则呢？我们可以带着疑问和同学们共同探究本节内容.
教学重点
矢量的运算法则——平行四边形定则.
教学难点
通过实验观察，分析得出一个运动的分运动及它们之间的等效替代关系.
教学方法
实验探究式、启发式.
课时安排
1课时
三维目标
知识与技能
1.在具体实例中理解什么是合运动，什么是分运动，知道合运动与分运动同时发生，并且不互相影响.
2.掌握运动的合成与分解.理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则.
3.会用作图法和直角三角形知识求解有关位移和速度的合成与分解问题.
过程与方法?
1.理解将曲线运动分解为两个方向上的直线运动的处理问题的方法，掌握一种重要的化难为易的方法——正交分解法.
2.通过具体实例的比较，分析计算，知道分解与合成互为逆运算，会应用矢量的运算法则——平行四边形定则.
情感态度与价值观
1.培养学生的观察能力，形成科学态度.
2.通过讨论与交流，培养学生勇于表达自己观点的习惯.
课前准备
多媒体课件、小锤、弹性金属片、金属球、矢量合成与分解演示仪.
教学过程
导入新课
一般的抛体运动是比直线运动更为复杂的曲线运动.把复杂的运动转化为简单的运动进行研究是物理学处理问题常用的方法.如何把抛体运动转化为简单的运动进行研究，正是本节将要学习的内容.
推进新课
一、分运动与合运动
师
请同学们观看实验，然后讨论归纳通过实验发现了什么.
实验操作过程：用小锤打击弹性金属片，球1沿水平方向飞出，如图1-2-1所示.
图1-2-1
生1
我观察到的实验现象：球1经过一段时间，沿曲线路径从抛出点A运动到落地点D.
生2
分析实验现象所得：在球1从A到D的过程中，水平方向上相当于从A到B，竖直方向上从A到C.球1同时参与了AB方向和AC方向上的两个运动.
师
AD可以看成两个运动合成的结果.AD为合运动，AB、AC为这一合运动的两个分运动.
在物理学上，如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动.
师
从运动产生的效果来看，合运动与分运动是一种什么关系?你能否用自己的话把这种关系表达出来？
生
等效性.即分运动的共同效果与合运动的效果相同.
师
那么合运动与分运动还有什么其他性质呢?
二、运动的独立性
实验操作：用小锤打击弹性金属片，球1沿水平方向飞出，同时球2被松开，做自由落体运动.改变小锤打击金属片的作用力，使球1沿水平方向飞出的初速度大小发生改变，多次重复实验.
师
请同学们观看实验，然后讨论归纳通过实验发现了什么.
生1
我观察到的实验现象：球1和球2两球的运动轨迹不同，一个是曲线，一个是直线.不管球1水平抛出的初速度如何，两球总是在同一时刻着地.
生2
1、2两球在竖直方向上运动的距离、运动的时间总是相同的.球1除了竖直方向上的运动外，同时还有水平方向的运动，但水平方向的运动对竖直方向的运动没有任何影响.同时竖直方向的运动不影响水平方向的运动，也不影响实际的合运动.
师
请同学们讨论并分析，看能得出什么结论.
生1
分运动与合运动的运动时间相等，具有等时性.
生2
分运动和合运动具有独立性，互不干扰，互不影响.
生3
一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动.
三、运动的合成与分解
师
既然一个运动可以看作是由分运动合成的，那么已知分运动的情况，就可以知道合运动的情况.由于位移、速度、加速度都是矢量，所以由分运动求合运动的情况需用平行四边形定则，如图1-2-2所示.
图1-2-2
师
已知合运动的情况能否求分运动的情况呢?用什么方法呢?
生
能.也是用平行四边形定则，是合成的一种逆运算.
师
下面结合例题讲一下如何用作图法和直角三角形知识求解有关位移、速度、加速度的合成与分解问题.
例 篮球运动员将篮球向斜上方投出，投射方向与水平方向成60°角，设其出手速度为10 m/s，这个速度在竖直方向和水平方向的分速度各是多大?
解：（1）作图法.
首先定标度，用“”代表5 m/s，按要求和水平方向的夹角为60°作出合速度的矢量图v，然后过矢量箭尾的顶端分别作水平向右和竖直向上的直线，再过矢量箭头的顶端分别作水平方向和竖直方向的垂线.定出水平方向和竖直方向的矢量线段长，然后用直尺测量它的长度，看它为选定标度的多少倍，再乘上5 m/s，即为这个速度在水平方向和竖直方向的分速度大小.这种方法较麻烦.
图1-2-3
（2）解直角三角形法.如图1-2-3所示.
vx=vcos60°=5.0 m/s，
vy=vsin60°=8.6 m/s
师
一个合运动可以分解为两个方向的分运动，两个分运动可以合成一个合运动，下面同学们按学习小组讨论一下两个直线运动的合运动是什么样的运动，有几种情况.
生1
两个分运动都是匀速直线运动，则合运动也是匀速直线运动.因为两个分运动都是匀速直线运动，它们速度矢量是恒定的，则合运动的速度矢量也是恒定的，所以合运动也是匀速直线运动.
图1-2-4
生2
当两个分运动一个是匀速直线运动，一个是匀加速直线运动时，如果合速度方向与合加速度方向在同一直线上，则为直线运动；若不在同一直线上，则物体做曲线运动.如图1-2-4所示.
生3
如果两个分运动都是匀加速直线运动，则合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动.如果合加速度与合速度在同一直线上，物体的合运动为匀加速直线运动，如图1-2-5所示.如果合加速度与合速度不在同一直线上，如图1-2-6所示，则物体做曲线运动.
图1-2-5 图1-2-6
师
一些常见的曲线运动如抛体运动通常把它分解为两个方向上的直线运动来研究，那么初速度不为零的匀变速直线运动，是否可以看成在同一直线上两个分运动的合运动呢?组织学生讨论与交流.
生
可以.可以看成初速度不为零的匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动.
课堂训练
1.某人乘船横渡一条小河，船速和水速一定，且船速大于水速.若渡河的最短时间为t1，用最短的位移渡河时间为t2，求船速与水速的比值.
2.在玻璃板生产线上，需要将毛坯玻璃切割成统一尺寸的玻璃成品.玻璃在流水线上不停地被切割，切刀要在运动中将玻璃横向切断.如果毛坯玻璃以4 m/s的速度在生产线上不断地向前移动，金刚石切刀的移动速度为8 m/s，为了将玻璃切割成矩形，金刚石切刀的移动方向如何控制?切割一块宽为9 m的玻璃需要多长时间？
参考答案
1.解：渡河有多种选择，可以选择时间最短，也可以选择位移最短.若要选择时间最短，必然将船的运动方向与河岸垂直，若要选择位移最短，必然使船的实际运动方向垂直于河岸，此时船相对静水的速度方向指向上游，前提为船速大于水速.
设船速和水速分别为和，它们的合速度为v，河宽为d.若要渡河时间最短，则t1=
若要渡河位移最短，则
以上两个式子联立解得
.
2.解：金刚石切刀实际上参与了两个方向的分运动，一个是横向切割，一个是跟随玻璃纵向运动并与玻璃的运动速度相等，这样才能达到在运动中切割玻璃的目的.
将切刀的速度分解为沿生产流水线方向的速度和垂直于生产流水线方向的速度v0，设和的夹角为α.则有：
cosα=
切刀横向切割玻璃的速度v=sinα=4 m/s
切割一次玻璃所需时间为t= s=2.25 s.
课堂小结
今天我们学习了分运动与合运动的概念、合运动与分运动的特性以及运动的合成与分解.
板书设计
第二节 运动的合成与分解
合运动与分运动
一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，实际发生的运动叫做合运动，另外两个同效果的运动叫做分运动.
合、分运动的性质
合、分运动具有独立性、等时性、等效性.
运动的合成与分解
包括速度、位移、加速度的合成与分解. 遵循平行四边形定则.
活动与探究
在封闭的玻璃管中注满清水，水中放一蜡球（直径略小于玻璃管内径），将蜡球调至管的最低点，使玻璃管竖直放置，在蜡球上升的同时将玻璃管水平向右移动.假设从某时刻t=0开始，蜡球在玻璃管内每1 s上升的高度都是5 cm，从t=0开始，玻璃管向右匀加速平移，每隔1 s通过的水平位移依次是3 cm，9 cm，15 cm，21 cm……
（1）蜡球实际做直线运动还是曲线运动？___________________
（2）蜡球在t=2 s时的运动速度的大小为______________m/s.
参考：曲线运动 13
请同学们思考：
船在静水中可以开动发动机，使船按一定方向一定速度航行，船在流动的水中，关闭发动机，船也可以和水具有同样的速度，按水速方向航行.那么船在流动的水中，也开动发动机，船的实际运行速度将会是怎样的呢?
课后习题详解
1.艇在静水中航行的速度是10 km/h，当它在流速是2 km/h的河水中向着垂直于河岸的方向航行时，合速度的大小和方向怎样？
解析：合速度v= km/h=10.2 km/h.
tanα==5，
故α=arctan5.
2.判断下列说法是否正确.为什么？
（1）两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动.
（2）两个直线运动的合运动一定是曲线运动.
（3）两个直线运动的合运动可能是直线运动.
（4）两个直线运动的合运动可能是曲线运动.
解析：（1）、（3）、（4）正确.原因略.
3.如图1-2-7所示的房屋，瓦面与水平面成30°角，一物体从瓦面上滚下，离开瓦面时速度大小为6.0 m/s，求这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大.
图1-2-7
解析：=v·cos30°=5.2 m/s
=v·sin30°=3 m/s.
4.小船在静水中以恒定的速度运动，现小船要渡过一条小河流，渡河时小船的船头始终向对岸垂直划行.已知河中心附近水流的速度逐渐增大.相对于河水的恒定流速，小船渡河时间将（ ）
A.增大 B.减少 C.不变 D.无法确定
解析：渡河时间t=，d为河宽，所以t不变，选C.
备课资料
运动的合成与分解实验
a.在长约80～100 cm一端封闭的管中注满清水，水中放一个由红蜡做成的小圆柱体R（要求它能在水中大致匀速上浮），将管的开口端用胶塞塞紧.
b.将此管紧贴黑板竖直倒置，蜡块就沿玻璃管匀速上升，做直线运动，记下它由A移动到B所用的时间.
c.然后，将玻璃管重新倒置，在蜡块上升的同时，将玻璃管水平向右匀速移动，观察到它是斜向右上方移动的，经过相同的时间，它由A运动到C.如图1-2-8所示. ?
图1-2-8
分析：红蜡块可看成是同时参与了下面两个运动：在玻璃管中竖直向上的运动（由A到B）和随玻璃管水平向右的运动（由A到D），红蜡块实际发生的运动（由A到C）是这两个运动合成的结果.
总结得到：
a.红蜡块沿玻璃管在竖直方向的运动和随管做的水平方向的运动，叫做分运动.红蜡块实际发生的运动叫做合运动.
b.合运动的位移（速度）叫做合位移（速度）.
1.1.2 运动的合成与分解
学习目标
核心提炼
1.理解合运动与分运动、运动的独立性。
2个概念——合运动、分运动
1个定则——平行四边形定则
2个应用——小船过河问题、线端分解问题
2.掌握运动的合成与分解的方法——平行四边形定则。
3.会用平行四边形定则分析速度、位移的合成与分解问题。
一、合运动、分运动及它们的特点与关系
[观图助学]
如图所示，一名92岁的南非妇女从距地面大约2 700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者。假设没有风的时候，落到地面所用的时间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，那么实际下落所用时间还等于t吗？
1.合运动与分运动
(1)如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动。
(2)实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度。
2.合运动与分运动的特点
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，互不影响。
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互替代。也就是说，合运动的位移s合、速度v合、加速度a合分别等于对应各分运动的位移s分、速度v分、加速度a分的矢量和。
3.合运动与分运动的关系
一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动。
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等。(√)
(2)合运动一定是实际发生的运动。(√)
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)
二、运动的合成与分解
[观图助学]
如图是骑马射箭运动，射出的箭分别参与了哪两个方向的分运动？箭实际的运动与分运动遵循什么规律？
1.已知分运动的运动情况求合运动的运动情况的过程叫运动的合成。已知合运动的运动情况求分运动的运动情况的过程叫运动的分解。
2.合位移是两分位移的矢量和，满足平行四边形定则。
3.实际速度和分速度的关系以及合加速度与分加速度的关系都满足平行四边形定则。(或三角形定则)
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)合运动的时间一定比每一个分运动的时间长。(×)
(2)分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。(√)
(3)互成角度的两个匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动。(√)
运动的合成与分解
[观察探究]
蜡块能沿玻璃管匀速上升(如图1甲所示，速度大小为vy)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动(如图乙所示，速度大小为vx)，则：
图1
(1)蜡块在竖直方向做什么运动？在水平方向做什么运动？
(2)蜡块实际运动的性质是什么？
(3)求t时间内蜡块的位移和速度。
答案 (1)蜡块参与了两个运动：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动。
(2)蜡块实际上做匀速直线运动。
(3)经过时间t，蜡块水平方向的位移x＝vxt，竖直方向的位移y＝vyt，蜡块的合位移大小为s＝＝t，设位移与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，蜡块的合速度大小v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ的正切值为tan θ＝。
[探究归纳]
1.合运动与分运动的关系
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
等时性
各分运动与合运动同时发生，同时结束
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
2.合运动与分运动的判定方法：在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动。这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动。
3.运动分解的应用解题步骤
(1)根据运动的效果确定运动的分解方向。
(2)根据平行四边形定则，画出运动分解图。
(3)应用运动学公式分析分运动，应用数学知识确定分矢量与合矢量的关系。
[试题案例]
[例1] (2018·梅州高一期末检测)(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是( )
图2
A.质点的初速度大小为5 m/s
B.质点所受的合外力为3 N，做匀变速曲线运动
C.2 s末质点速度大小为6 m/s
D.2 s内质点的位移大小约为12 m
解析 由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0。因此质点的初速度大小为5 m/s，选项A正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，选项B正确；2 s末质点速度应该为v＝ m/s＝2 m/s，选项C错误；2 s内，x＝vx0t＋at2＝9 m，y＝8 m，合位移s＝＝ m≈12 m，选项D正确。
答案 ABD
三步走求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小s＝。
[针对训练1] (2018·肇庆高一检测)如图3所示，一雨滴正以5 m/s的速度倾斜下落，汽车以3 m/s的速度水平匀速前进，坐在汽车里面的人看到雨滴竖直下落，求雨滴下落方向与竖直方向夹角的正切值？
图3
解析 雨滴对地的速度为v＝5 m/s，雨滴同时参与了水平和竖直方向上的两个分运动，根据题意知水平分速度与汽车速度相同，vx＝v2＝3 m/s，所以雨滴速度与竖直方向的夹角θ正切值tan θ＝＝＝。
答案
合运动性质和轨迹的判断方法
[观察探究]
观察图4所示塔式起重机模型，吊车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起。
图4
请思考并回答以下问题：
(1)物体Q同时参与了几个分运动？
(2)合运动的性质是什么？
(3)合运动的轨迹是直线还是曲线？
(4)如果物体Q竖直向上被匀速吊起，其合运动是什么运动？
答案 (1)两个分运动：①水平方向上的匀速直线运动。
②竖直方向上的匀加速直线运动。
(2)匀变速运动。
(3)曲线。
(4)此时合运动的合加速度为0，因此合运动是匀速直线运动。
[探究归纳]
互成角度的两个直线运动的合运动的性质
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动合成时，由于其加速度与合速度不在同一条直线上，故合运动是匀变速曲线运动。
(3)两个都是从静止开始的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。
(4)两个匀加速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动。
[试题案例]
[例2] 如图5甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有( )
图5
A.笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线
B.笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线
C.在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D.在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
解析 由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线，故A、B错误；在运动过程中，笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化，故C错误；笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变，故D正确。
答案 D
[针对训练2] 在平面上运动的物体，其x方向分速度vx和y方向分速度vy随时间t变化的图线如图6(a)、(b)所示，则下列选项中最能反映物体运动轨迹的是( )
图6
解析 物体参与两个分运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度沿y正方向，物体合运动的加速度沿y正方向，故轨迹向上弯曲，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
小船过河问题分析
[观察探究]
如图7所示：河宽为d，河水流速为v水，船在静水中的速度为v船，船从A点开始渡河到对岸。
图7
(1)小船渡河同时参与了几个分运动？
(2)怎样渡河时间最短？
(3)当v水答案 (1)参与了两个分运动，一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动(即一个分运动是水的运动)。
(2)如图所示，设v船与河岸夹角为θ，船过河的有效速度为v船sin θ，时间t＝，当θ＝90°时，t＝最小，即当船头垂直河岸时，时间最短，与其它因素无关。
(3)当v船与v水的合速度与河岸垂直时，位移最短。此时v船cos θ＝v水，v合＝v船sin θ，t＝。
[探究归纳]
1.最短时间问题：不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关。
2.最短航程问题
(1)当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。
(2)当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为smin＝d。
注意：小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短。
[试题案例]
[例3] 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是
4 m/s。求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船渡河航程最短，应如何航行？
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s。
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有
cos α＝＝，解得α＝60°。
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m
小船渡河问题的研究方法
(1) →常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解。
(2)→可画出小船的速度分解图进行分析。
(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。
[针对训练3] 如图8所示，一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d＝
100 m的河流，已知河水流速为v1＝4 m/s，小船在静水中的速度为v2＝2 m/s，B点距正对岸的A点x0＝173 m。下面关于该船渡河的判断，其中正确的是( )
图8
A.小船过河的最短航程为100 m
B.小船过河的最短时间为25 s
C.小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸
D.小船过河的最短航程为200 m
解析 因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸。如图所示，当合速度的方向与船在静水中的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最大，渡河航程最小；根据几何关系，则有＝，因此最短的航程是s＝d＝×100 m＝200 m，选项A、C错误，D正确；当船在静水中的速度方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝＝ s＝50 s，故选项B错误。
答案 D
“绳拉船”模型
“绳拉船”模型的解题步骤
(1)确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
(2)分解合速度：合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。
两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
【针对练习】 如图9所示，用船A拖着车B前行时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：
图9
(1)车B运动的速度vB为多大？
(2)车B是否做匀速运动？
解析 (1)把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，
所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即
vB＝v1＝vAcos θ。
(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。
答案 (1)vAcos θ (2)不做匀速运动
1.(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )
A.物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动
B.若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动
C.合运动与分运动具有等时性
D.速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则
解析 物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。若合速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动。
答案 BCD
2.(合运动轨迹的判断)(2018·珠海高一检测)一蜡块置于注满清水的长玻璃管中，封闭管口后将玻璃管竖直倒置，在蜡块匀加速上浮的同时，使玻璃管紧贴竖直黑板面沿水平向右方向匀速移动，如图10所示。设坐标系的x、y轴正方向分别为水平向右、竖直向上，则蜡块相对于黑板的运动轨迹是( )
图10
解析 蜡块参加了两个分运动，竖直方向在管中匀加速上浮，水平方向水平向右匀速直线运动，故它做匀变速曲线运动。蜡块的合力竖直向上，故它的运动轨迹向上弯曲，选项A、B、D错误，C正确。
答案 C
3.(两分运动的合成)(2018·汕头高一检测)(多选)一质量为2 kg的质点在如图11甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度—时间(v－t)图象和y方向的位移—时间(y－t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知( )
图11
A.t＝0时，质点的速度大小为12 m/s
B.质点做加速度恒定的曲线运动
C.前2 s，质点所受的合力大小为10 N
D.t＝1 s时，质点的速度大小为7 m/s
解析 由v－t图象可知，质点在x方向上做匀减速运动，初速度为12 m/s，而在y方向上，质点做速度为－5 m/s的匀速运动，故在前2 s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小v0＝ m/s＝13 m/s，选项A错误，B正确；由v－t图象可知，前2 s，质点的加速度为a＝＝ m/s2＝－5 m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s质点所受合力大小为F＝ma＝2×5 N＝10 N，选项C正确；t＝1 s时，x方向的速度为7 m/s，而y方向速度为－5 m/s，因此质点的速度大小为 m/s＝ m/s，选项D错误。
答案 BC
4.(“绳拉船”模型)如图12所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为( )
图12
A.船做变加速运动，vx＝
B.船做变加速运动，vx＝v0cos α
C.船做匀速直线运动，vx＝
D.船做匀速直线运动，vx＝v0cos α
解析 如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动。
答案 A
5.(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)
解析 (1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，
则v合＝＝4 m/s。
经历时间t＝＝ s＝50 s。
又cos θ＝＝＝0.6，
即船头与岸的上游所成角度为53°。
答案 (1)40 s 下游120 m处
(2)船头与岸的上游成53°角 50 s
合格性检测
1.关于合运动、分运动的说法，正确的是( )
A.合运动的位移为分运动位移的矢量和
B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D.合运动的时间一定比分运动的时间长
解析 位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误。
答案 A
2.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A.水速小时，位移小，时间也短
B.水速大时，位移大，时间也长
C.水速大时，位移大，但时间不变
D.位移大小、时间长短与水速大小无关
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定。水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小。
答案 C
3.(2018·中山高一检测)(多选)学校组织“骑车投球”比赛，甲、乙两参赛者沿规定直轨道匀速骑行过程中，将手中网球沿垂直于骑行方向水平抛向地面上的塑料筐O中，如图1所示，A点是轨道上离筐最近的点，甲以3 m/s的速度骑行，在B点将网球以速度v水平抛出，网球恰好落入筐中；乙以4 m/s的速度骑行，要想将球投入筐中，乙参赛者应(不计空气阻力)( )
图1
A.在到达B点之后将球抛出
B.在到达B点之前将球抛出
C.将球以速度v水平抛出
D.将球以大于v的速度水平抛出
解析 球被抛出后实际上是参与了三个运动，一是沿人骑车的方向上的匀速直线运动，速度等于人骑车的速度，二是在垂直于人骑车的方向上做速度为v的匀速直线运动，三是在竖直方向上做自由落体运动，因球抛出后在人骑车的方向上做匀速直线运动，所以乙以4 m/s的速度骑行，要想将球投入筐中，应在到达B点之前将球抛出；骑车速度的大小不影响垂直于该方向上的另外两种运动，因地面上的塑料筐O距骑车路线的垂直距离不变，抛球的高度不变，所以也要将球以速度v水平抛出；所以选项B、C正确，A、D错误。
答案 BC
4.(2018·惠州高一检测)(多选)一物体运动规律是x＝3t2 m，y＝4t2 m，则下列说法中正确的是( )
A.物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B.物体的合运动是初速度为零、加速度为5 m/s2的匀加速直线运动
C.物体的合运动是初速度为零、加速度为10 m/s2的匀加速直线运动
D.物体的合运动是加速度为5 m/s2的曲线运动
解析 由x＝3t2及y＝4t2知物体在x、y方向上的初速度为0，加速度分别为ax＝6 m/s2，ay＝8 m/s2，故a＝＝10 m/s2。
答案 AC
5.(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
解析 船头垂直于河岸，根据平行四边形定则知，合速度的方向偏向下游，故A正确，C错误；当船头偏向上游时，若船在静水中速度与水流速度的合速度垂直河岸，故B正确；当船头偏向下游时，船的轨迹一定偏向下游，故D错误。
答案 AB
6.(多选)两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，则它们的合运动轨迹( )
A.如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线
B.如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C.如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D.如果＝，那么轨迹一定是直线
解析 判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线。
答案 AD
7.(多选)如图2所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向做匀速直线运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( )
图2
A.速度大小不变的曲线运动
B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小、方向均不变的曲线运动
D.加速度大小、方向均变化的曲线运动
解析 B物体在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上由d＝H－2t2得出做匀加速直线运动。B物体的实际运动是这两个分运动的合运动。对速度和加速度进行合成可知，加速度恒定且与合速度不共线。所以选项B、C正确。
答案 BC
等级性检测
8.人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图3所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是( )
图3
A.v0sin θ B.
C.v0cos θ D.
解析 由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动。而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示。由几何关系可得v＝，选项D正确。
答案 D
9.一只小船渡河，运动轨迹如图4所示。水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定( )
图4
A.船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B.船沿三条不同路径渡河的时间相同
C.船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D.船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
解析 因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，选项B错误；加速度的方向指向轨迹的凹向，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速直线运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，选项A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸的速度最大，选项D正确。
答案 D
10.(2018·珠海高一检测)(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度图象如图5甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示。则( )
图5
A.快艇的运动轨迹一定为直线
B.快艇的运动轨迹一定为曲线
C.快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s
D.快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
解析 两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，选项A错误，B正确；当快艇垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，而位移大于100 m，选项C正确，D错误。
答案 BC
11.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H。车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图6所示。试求：
图6
(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小。
解析 (1)车在时间t内向左运动的位移s＝，
由车做匀加速运动，得s＝at2，
解得a＝＝。
(2)车的速度v车＝at＝，
由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即v物＝v车cos θ，
解得v物＝。
答案 (1) (2)
12.已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行。试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
解析 (1)根据合运动与分运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短。设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分速度v1、v2的矢量关系如图甲所示。
甲
河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t＝。显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对岸，但船实际的航向斜向下游，如图乙所示。
渡河的最短时间tmin＝＝ s＝25 s
船的位移为l＝tmin＝×25 m＝125 m
船渡过河时已在正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为
x＝v2tmin＝3×25 m＝75 m
(2)由于v1>v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短。设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成θ角，如图丙所示，
丙
则cos θ＝＝，
船的实际速度为
v合＝＝ m/s＝ m/s
故渡河时间t′＝＝ s＝ s。
答案 见解析
课件47张PPT。知识点一知识点二知识点三学业分层测评共同产生实际发生分运动独立互不影响共同产生相同同时相同运 动 的 合 成 与 分 解分运动合运动合运动矢量平行四边形分运动合运动直线运动受力运动规律
