第二节 向心力
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.认识向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源．
2．通过实验理解向心力的大小与哪些因素有关，能运用向心力的公式进行计算．(重点)
3．知道向心加速度及其公式，能运用其关系分析解决有关的问题．(重点、难点)
感 受 向 心 力
1．定义
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力叫做向心力．
2．作用
不改变质点速度的大小，只改变速度的方向，使物体始终维持在圆周轨道上．
3．特点
方向总沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，且方向时刻改变．
4．实验与探究
实验目的
探究影响向心力大小的因素
实验方法
控制变量法
探究过程
m、ω不变
改变半径r，则r越大，向心力F就越大
m、r不变
改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大
ω、r不变
改变质量m，则m越大，向心力F就越大
结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量、半径、角速度都有关
5.大小
做匀速圆周运动的物体，所受向心力的大小为F＝mω2r，而ω＝，则F＝m.
1．向心力可以是合力，也可以是某个力的分力．(√)
2．向心力既改变物体做圆周运动的速度大小，也改变速度的方向．(×)
3．角速度越大，半径越大，向心力就越大．(×)
如图2-2-1所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内侧倾斜身体？
图2-2-1
【提示】 倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦力，从而获得做圆周运动所需要的向心力．
如图2-2-2所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
图2-2-2
探讨1：它们的向心力分别是由什么力提供的？
【提示】 汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供．
探讨2：物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
【提示】 大小不变，方向时刻改变．
1．向心力大小的计算
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
2．向心力来源的分析
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力.
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
【解析】 匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对、B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．
【答案】 AD
2．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图2-2-3所示，下列说法正确的是( )
图2-2-3
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan θ
D．以上说法都正确
【解析】 小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.
【答案】 BC
3．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
【解析】 在光滑的水平面上，细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F＝mrω2知，在角速度ω不变时，F与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；在质量m不变时，F与l、ω2成正比，C正确，D错误．
【答案】 AC
向心力与合外力判断方法
1．向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
2．对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
3．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．
向 心 加 速 度
1．定义
做匀速圆周运动的物体，其加速度a的方向一定指向圆心，所以也叫向心加速度．
2．大小
a＝ω2r，a＝.
3．方向
与向心力F的方向一致，沿半径指向圆心，与速度方向垂直，其方向时刻改变．
1．做圆周运动的物体，线速度越大，向心加速度就越大．(×)
2．向心加速度的方向指向圆心，与线速度垂直．(√)
3．匀速圆周运动的向心加速度大小不变，方向时刻变化．(√)
图2-2-4
如图2-2-4所示，地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题：
(1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同？
(2)地球上各地的向心加速度大小是否相同？
【提示】 (1)地球上各地自转的周期都是24 h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v＝ωr可知各地的线速度大小不同．
(2)地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据an＝ω2r可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同．
如图2-2-5所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
图2-2-5
探讨1：哪两个点的向心加速度与半径成正比？
【提示】 B、C两点的向心加速度与半径成正比．
探讨2：哪两个点的向心加速度与半径成反比？
【提示】 A、B两点的向心加速度与半径成反比．
1．向心加速度的物理意义
向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．
2．向心加速度的几种表达式
3．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据an＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图2-2-6甲所示．
(2)若v为常数，根据an＝可知，向心加速度与r成反比，如图2-2-6乙所示．
甲 乙
图2-2-6
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比．
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
4．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
【解析】 向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误．
【答案】 A
5.如图2-2-7所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
图2-2-7
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
【解析】 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
【答案】 D
6．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
【解析】 做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．
【答案】 B
向心加速度的特点
1．向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．
2．向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．
生 活 中 的 向 心 力
1．汽车在水平公路上转弯
车轮与路面间的静摩擦力f提供向心力，即f＝m.
2．汽车在外高内低的路面上转弯
汽车向内侧倾斜，若汽车恰好以某一速度v行驶时，重力mg和地面支持力N的合力充当向心力，即mgtan θ＝m(R为弯道半径，θ为倾斜的角度)，则v＝.
1．汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力．(√)
2．汽车过拱形桥时，速度越大，在桥顶对桥面的压力就越大．(×)
3．汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力大于重力．(√)
图2-2-8
如图2-2-8所示，小球绕O′在水平面内做匀速圆周运动，可以说小球受重力、绳的拉力和指向O′的向心力吗？
【提示】 向心力是按效果命名的力，物体实际受到的沿半径方
向的合力即为向心力，不是另外受到的某一个力．
图2-2-9
如图2-2-9所示，过山车的质量为m，轨道半径为r，过山车经过轨道最高点时的速度为v.
探讨1：过山车能通过轨道最高点的临界速度是多少？
【提示】 临界条件为mg＝，故临界速度v＝.
探讨2：当过山车通过轨道最高点的速度大于临界速度时，过山车对轨道的压力怎样计算？
【提示】 根据FN＋mg＝，可得FN＝－mg.
1．汽车过桥问题的分析
(1)汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图2-2-10甲所示．
图2-2-10
由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FN′＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
①当0≤v<时，0②当v≥时，FN＝0.汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
(2)汽车过凹形桥：
如图2-2-10乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力FN′＝G＋m，大于汽车的重力．
2．过山车问题分析：如图2-2-11所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m，轨道半径为r，过山车经过顶部时的速度为v，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的。由牛顿第二定律得mg＋N＝m.人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是：N≥0.
图2-2-11
当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg＝m，临界速度为v临界＝，过山车能通过最高点的条件是v≥.
3．轻绳模型：如图2-2-12所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.
图2-2-12
在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v＞时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
(3)v＜时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
4．轻杆模型：如图2-2-13所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
图2-2-13
(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0＜v＜时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．
(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.
7．俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图2-2-14所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )
图2-2-14
A．A点，B点 B．B点，C点
C．B点，A点 D．D点，C点
【解析】 战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FNRA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.
【答案】 C
8.如图2-2-15所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
三
图2-2-15
A. B．2
C. D.
【解析】 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．
【答案】 C
9．长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的
两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.
【解析】 小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力．
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n＝π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N.
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．
【答案】 (1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上．
(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下．
竖直平面内圆周运动的分析方法
物体在竖直平面内做圆周运动时：
1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．
2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．
3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．
课件51张PPT。1.2.2 向心力一、向心力
[观图助学](1)花样滑冰运动员转弯时受到几个力作用？方向怎样？(2)汽车在弯曲的公路上行驶时受到力的方向怎样？1.定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向________的力。
2.作用效果：不改变质点速度的________ ，只改变速度的________ 。
3.方向：沿半径指向________ ，和质点运动的方向_______，其方向时刻在改变。圆心大小方向圆心mω2r垂直[理解概念]判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力。( )
(2)匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体所受合力为零。( )
(3)匀速圆周运动的合力就是向心力。( )××√二、向心加速度
[观图助学]圆心一致圆心[理解概念]判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。( )
(2)匀速圆周运动是匀变速运动。( )
(3)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比。( )×××三、生活中的向心力
[观图助学]如图是杂技摩托飞车的照片，摩托车在铁笼侧壁做圆周运动而不掉下，请思考：摩托车受哪些力作用？什么力提供向心力？1.汽车转弯N－mgmg－NN＋mg[理解概念]判断下列说法是否正确。
(1)汽车在水平路面上转弯静摩擦力提供向心力。( )
(2)汽车行驶至拱桥顶部时对桥面的压力大于重力。( )
(3)荡秋千通过最低点时人处于超重状态。( )√×√实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系[探究归纳]
1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)2.实验方法：控制变量法
3.实验过程
(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力F与运动半径r之间的关系。
(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力F与角速度ω之间的关系。
(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力的大小与质量m的关系。4.实验结论[试题案例]
[例1] 用如图1所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。图1
(1)本实验采用的科学方法是__________。
A.控制变量法 B.累积法
C.微元法 D.放大法(2)图示情景正在探究的是__________。
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度大小的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是__________。
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正反比解析 (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确。
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确。
答案 (1)A (2)D (3)C[针对训练1] 某兴趣小组用如图2甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为__________。
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知。曲线①对应的砝码质量__________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。图2(2)图中抛物线说明：向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。然后再结合图象中的数据判断是否满足：在半径相同的情况下，F∝mω2。对向心力的理解[观察探究](1)如图3所示，用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，若小球的线速度为v，运动半径为r，是什么力产生的向心加速度？该力的大小、方向如何？小球运动的速度v增大，绳的拉力大小如何变化？图3(2)若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，月地距离为r，是什么力产生的加速度？该力的大小、方向如何？[探究归纳]
对向心力的理解
1.向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力。3.向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
4.向心力的作用效果——改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。[试题案例]
[例2] 如图4所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同图4解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。
答案 C(1)向心力是效果力，受力分析时不考虑向心力，向心力可以是某一种性质力，也可以是几个性质力的合力或某一性质力的分力。
(2)向心力的方向始终指向圆心。[针对训练2] 一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力f的示意图，其中正确的是( )解析 雪橇运动时所受摩擦力为滑动摩擦力，方向与运动方向相反，与圆弧相切。又因为雪橇做匀速圆周运动时合力充当向心力，合力方向必然指向圆心。综上可知，C项正确。
答案 C对向心加速度的理解[观察探究](1)请根据牛顿第二定律以及向心力的表达式推导向心加速度的表达式。
(2)如图5甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律，地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？图5(2)物体的加速度方向跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度方向都是时刻沿半径指向圆心，加速度的方向不断变化，即加速度是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。[探究归纳]
1.物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2.方向：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变。(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。[试题案例]图6答案 4 m/s2 24 m/s2[针对训练3] 如图7所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，质点P的图线是双曲线，质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知( )图7
A.质点P的线速度不变 B.质点P的角速度不变
C.质点Q的角速度不变 D.质点Q的线速度不变答案 C生活中的向心力[观察探究]如图8是汽车在高速公路上转弯时的情景，请思考(1)汽车在水平路面上转弯时，为什么要降低速度？
(2)公路转弯处的路面都设计成内低、外高的倾斜路面。已知公路转弯处路面的倾斜角度为θ，转弯半径为R，重力加速度为g，若汽车在路面上转弯时没有受到静摩擦力作用，则转弯的速度是多少？图8答案 (1)汽车在水平路面上转弯时，靠地面对车轮的静摩擦力提供向心力，若转弯时汽车速度过快，则这个静摩擦力不足以提供汽车所需的向心力，汽车就容易滑出路面。[探究归纳]
1.向心力的来源：向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力或者是某一个力的分力。向心力不是物体受到的另外一种力，只是根据效果命名的力。在分析物体受力情况时，要分清谁对物体施加力，切不可在重力、弹力、摩擦力等性质力之外再添加一个向心力。
2.物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。[试题案例]
[例4] (2018·增城高一检测)为获得汽车行驶各项参数，汽车测试场内有各种不同形式的轨道。如图9所示，在某外高内低的弯道测试路段汽车向左拐弯，汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间垂直前进方向的摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )图9答案 B[针对训练4] 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图10所示。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求：图10(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力多大？绳、杆、桥类模型的临界问题1.类绳模型
(1)此类模型的施力特点：只能提供指向圆心的力。
(2)常见的装置：①用绳系物体(如图11甲所示)；
②物体沿轨道内侧做圆周运动(如图乙所示)。图112.类杆模型
(1)此类模型的施力特点：对物体既能提供指向圆心的力，又能提供背离圆心的力。
(2)常见的装置：①用杆固定的物体(如图12甲所示)；②小球在光滑圆管中(如图乙所示)；③小球穿在光滑圆环上(如图丙所示)。图12 (3)临界特点：此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆、管或环对它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零。当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动。3.拱桥模型
(1)此类模型的施力特点：对物体只提供背离圆心的力。
(2)常见装置：①拱形桥(如图13甲所示)；②凹凸不平的路面的凸处(如图乙所示)。图13【针对练习1】 (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图14所示。则下列说法正确的是( )图14答案 AC图15答案 C1.2.2 向心力
学习目标
核心提炼
1.理解向心力和向心加速度的概念。
2个概念——向心力和向心加速度
2个公式——向心加速度和向心力公式
2.知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。
3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题。
一、向心力
[观图助学]
(1)花样滑冰运动员转弯时受到几个力作用？方向怎样？
(2)汽车在弯曲的公路上行驶时受到力的方向怎样？
1.定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向圆心的力。
2.作用效果：不改变质点速度的大小，只改变速度的方向。
3.方向：沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，其方向时刻在改变。
4.大小：F＝mω2r；F＝m。
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力。(×)
(2)匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体所受合力为零。(×)
(3)匀速圆周运动的合力就是向心力。(√)
二、向心加速度
[观图助学]
如图中有A、B、C三点，关于它们的向心加速度的大小，甲同学认为由公式a＝知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式a＝ω2r知向心加速度a与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点。
1.定义：由向心力产生的指向圆心方向的加速度。
2.大小：a＝ω2r，a＝。
3.方向：与向心力方向一致，始终指向圆心，时刻在改变。
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。(×)
(2)匀速圆周运动是匀变速运动。(×)
(3)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比。(×)
三、生活中的向心力
[观图助学]
如图是杂技摩托飞车的照片，摩托车在铁笼侧壁做圆周运动而不掉下，请思考：摩托车受哪些力作用？什么力提供向心力？
1.汽车转弯
路面种类
分析
汽车在水平路面上转弯
汽车在内低外高的路面上转弯
受力分析
向心力来源
静摩擦力f
重力和支持力的合力
向心力关系式
f＝m
mgtan θ＝m
2.荡秋千通过最低点时：底座对人的支持力N与人的重力mg的合力提供向心力，即N－mg＝m。
3.汽车通过拱桥顶部时：桥面对汽车的支持力N与汽车的重力mg的合力提供向心力，即mg－N＝m。
4.人坐过山车通过最高点时：座位对人的支持力N和人的重力mg的合力提供向心力，即N＋mg＝m。
[理解概念]
判断下列说法是否正确。
(1)汽车在水平路面上转弯静摩擦力提供向心力。(√)
(2)汽车行驶至拱桥顶部时对桥面的压力大于重力。(×)
(3)荡秋千通过最低点时人处于超重状态。(√)
实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
[探究归纳]
1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)
2.实验方法：控制变量法
3.实验过程
(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力F与运动半径r之间的关系。
(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力F与角速度ω之间的关系。
(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力的大小与质量m的关系。
4.实验结论
两球相同的物理量
不同的物理量
实验结论
1
m、ω
r
r越大，F向越大，F向∝r
2
m、r
ω
ω越大，F向越大，F向∝ω2
3
r、ω
m
m越大，F向越大，F向∝m
[试题案例]
[例1] 用如图1所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
图1
(1)本实验采用的科学方法是__________。
A.控制变量法 B.累积法
C.微元法 D.放大法
(2)图示情景正在探究的是__________。
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度大小的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是__________。
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正反比
解析 (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确。
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确。
答案 (1)A (2)D (3)C
[针对训练1] 某兴趣小组用如图2甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为__________。
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知。曲线①对应的砝码质量__________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
图2
解析 (1)物体转动的线速度v＝
由ω＝
计算得出：ω＝
(2)图中抛物线说明：向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。然后再结合图象中的数据判断是否满足：在半径相同的情况下，F∝mω2。
答案 (1) (2)小于
对向心力的理解
[观察探究]
(1)如图3所示，用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，若小球的线速度为v，运动半径为r，是什么力产生的向心加速度？该力的大小、方向如何？小球运动的速度v增大，绳的拉力大小如何变化？
图3
(2)若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，月地距离为r，是什么力产生的加速度？该力的大小、方向如何？
答案 (1)产生向心加速度的力是小球受到的重力、支持力和绳的拉力的合力。合力等于拉力，大小为F＝ma＝m，方向指向圆心。v增大，绳的拉力增大。
(2)向心加速度a＝ω2r，是地球对月球的引力产生的加速度，引力的大小为F＝ma＝mω2r，方向指向地心。
[探究归纳]
对向心力的理解
1.向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力。
2.向心力大小：F＝ma＝m＝mω2r＝mr。
3.向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
4.向心力的作用效果——改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。
[试题案例]
[例2] 如图4所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
图4
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。
答案 C
(1)向心力是效果力，受力分析时不考虑向心力，向心力可以是某一种性质力，也可以是几个性质力的合力或某一性质力的分力。
(2)向心力的方向始终指向圆心。
[针对训练2] 一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力f的示意图，其中正确的是( )
解析 雪橇运动时所受摩擦力为滑动摩擦力，方向与运动方向相反，与圆弧相切。又因为雪橇做匀速圆周运动时合力充当向心力，合力方向必然指向圆心。综上可知，C项正确。
答案 C
对向心加速度的理解
[观察探究]
(1)请根据牛顿第二定律以及向心力的表达式推导向心加速度的表达式。
(2)如图5甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
图5
根据牛顿第二定律，地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1)由牛顿第二定律知，a＝，所以向心加速度的表达式为a＝＝ω2r。
(2)物体的加速度方向跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度方向都是时刻沿半径指向圆心，加速度的方向不断变化，即加速度是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
[探究归纳]
1.物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2.方向：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变。
3.向心加速度的大小：a＝＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv
(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
[试题案例]
[例3] (2018·深圳高一检测)如图6所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？
图6
解析 同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r可得＝，则aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2。
又因为皮带不打滑，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等，即vP＝vQ。
由向心加速度公式a＝，可得＝。
则aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2。
答案 4 m/s2 24 m/s2
向心加速度公式的应用技巧
(1)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
(2)向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
[针对训练3] 如图7所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，质点P的图线是双曲线，质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知( )
图7
A.质点P的线速度不变 B.质点P的角速度不变
C.质点Q的角速度不变 D.质点Q的线速度不变
解析 质点P的a－r图线是双曲线的一支，即a与r成反比，由a＝知质点P的线速度v的大小是定值，但方向变化，选项A错误；根据ω＝知质点P的角速度ω是变量，选项B错误；质点Q的a－r图线是一条直线，表示a∝r，由a＝rω2知角速度ω是定值，选项C正确；根据v＝ωr知质点Q的线速度v是变量，选项D错误。
答案 C
生活中的向心力
[观察探究]
如图8是汽车在高速公路上转弯时的情景，请思考
图8
(1)汽车在水平路面上转弯时，为什么要降低速度？
(2)公路转弯处的路面都设计成内低、外高的倾斜路面。已知公路转弯处路面的倾斜角度为θ，转弯半径为R，重力加速度为g，若汽车在路面上转弯时没有受到静摩擦力作用，则转弯的速度是多少？
答案 (1)汽车在水平路面上转弯时，靠地面对车轮的静摩擦力提供向心力，若转弯时汽车速度过快，则这个静摩擦力不足以提供汽车所需的向心力，汽车就容易滑出路面。
(2)如图所示，汽车转弯需要的向心力完全由重力mg和路面的支持力N的合力F来提供，则有mgtan θ＝m，得v＝。
[探究归纳]
1.向心力的来源：向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力或者是某一个力的分力。向心力不是物体受到的另外一种力，只是根据效果命名的力。在分析物体受力情况时，要分清谁对物体施加力，切不可在重力、弹力、摩擦力等性质力之外再添加一个向心力。
2.物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
3.汽车在水平公路上转弯问题：车轮与路面间的静摩擦力f提供向心力，即f＝m。
4.汽车在倾斜的路面上转弯问题：若重力和路面的支持力的合力完全提供向心力，则有mgtan θ＝m。由此可知：车速越快，弯道半径越小，汽车需要的向心力越大，倾斜的角度也越大。
[试题案例]
[例4] (2018·增城高一检测)为获得汽车行驶各项参数，汽车测试场内有各种不同形式的轨道。如图9所示，在某外高内低的弯道测试路段汽车向左拐弯，汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间垂直前进方向的摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
图9
A. B.
C. D.
解析 把路基看做斜面，设其倾角为θ，汽车在斜面上受到自身重力mg和斜面支持力N，二者的合力提供向心力，即指向水平方向。根据几何关系可得合力为
mgtan θ，即向心力，所以mgtan θ＝，v＝，根据路基的高度差和水平宽度得tan θ＝，所以v＝，选项B正确。
答案 B
[针对训练4] 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图10所示。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求：
图10
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力多大？
解析 (1)对座椅进行受力分析，如图所示。
转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为R＝r＋Lsin θ
根据牛顿第二定律mgtan θ＝mω2R
联立解得ω＝
(2)设钢绳的拉力为T，由力的三角形知T＝
答案 (1)ω＝ (2)
绳、杆、桥类模型的临界问题
1.类绳模型
(1)此类模型的施力特点：只能提供指向圆心的力。
(2)常见的装置：①用绳系物体(如图11甲所示)；②物体沿轨道内侧做圆周运动(如图乙所示)。
图11
(3)临界特点：此种情况下，如果物体恰能通过最高点，绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得临界速度v0＝。当物体的速度不小于v0时，才能通过最高点。
2.类杆模型
(1)此类模型的施力特点：对物体既能提供指向圆心的力，又能提供背离圆心的力。
(2)常见的装置：①用杆固定的物体(如图12甲所示)；②小球在光滑圆管中(如图乙所示)；③小球穿在光滑圆环上(如图丙所示)。
图12
(3)临界特点：此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆、管或环对它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零。当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动。
3.拱桥模型
(1)此类模型的施力特点：对物体只提供背离圆心的力。
(2)常见装置：①拱形桥(如图13甲所示)；②凹凸不平的路面的凸处(如图乙所示)。
图13
(3)临界特点：此时，如果物体的速度过大，将会脱离圆轨道而做平抛运动。同样，当轨道对物体的支持力等于零时，是物体做圆周运动的临界情况，即v0＝为临界速度。所以只有当物体的速度小于时，它才能沿轨道外侧做圆周运动。
【针对练习1】 (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图14所示。则下列说法正确的是( )
图14
A.小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B.小球通过最高点时的最小速度为0
C.小球刚好通过最高点时的速度是
D.小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与小球所受重力方向相反
解析 设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m。
当FT＝0时，v＝，故选项A正确；
当v＜时，FT＜0，而绳子只能产生拉力，
不能产生与重力方向相反的支持力，故选项B、D错误；
当v＞时，FT＞0，
小球能沿圆弧通过最高点，可见，
v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件。
答案 AC
【针对练习2】 质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图15所示。已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力大小恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
图15
A.小球对圆管的内、外壁均无压力
B.小球对圆管的外壁压力等于mg
C.小球对圆管的内壁压力等于mg
D.小球对圆管的内壁压力等于mg
解析 以小球为研究对象，小球通过最高点时，由牛顿第二定律得mg＋mg＝m，当小球以速度通过圆管的最高点，由牛顿第二定律得mg＋N＝m，解以上两式得N＝－mg，负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管的内壁压力等于mg，故选项C正确。
答案 C
1.(向心力的来源分析)(多选)如图16所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
图16
A.绳的拉力
B.重力和绳拉力的合力
C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析 对小球受力分析如图所示，小球受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳子方向的分力的合力，选项C、D正确。
答案 CD
2.(圆周运动向心加速度的理解)(多选)下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B.做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度
C.做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动
D.匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动
解析 加速度恒定的运动才是匀变速运动，向心加速度的方向时刻改变。匀速圆周运动是速度的大小不变而速度的方向时刻变化的运动，所以B、D正确。
答案 BD
3.(传动装置中的向心加速度问题)如图17所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
图17
A.aC＝aD＝2aE B.aC＝2aD＝2aE
C.aC＝＝2aE D.aC＝＝aE
解析 同轴传动，C、E两点的角速度相等，由a＝ω2r，有＝2，即aC＝2aE；两轮边缘点的线速度大小相等，由a＝，有＝，即aC＝aD，选项C正确。
答案 C
4.(圆周运动的临界问题)(2018·汕头高一检测)(多选)如图18所示为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑，当小物体可被水平抛出时( )
图18
A.皮带的最小速度为
B.皮带的最小速度为
C.A轮每秒的转数最少是
D.A轮每秒的转数最少是
解析 物体恰好被水平抛出时，在皮带轮最高点满足mg＝，即速度最小为，选项A正确；又因为v＝2πrn，可得n＝，选项C正确。
解析 AC
合格性检测
1.(多选)关于做匀速圆周运动的物体所需要的向心力，下列说法正确的是( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.它是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确。
答案 BC
2.向心力大小可能与物体的质量、圆周运动的半径、线速度、角速度有关，如图1所示，用向心力演示器探究小球受到的向心力大小与角速度的关系时，下列做法可行的是( )
图1
A.在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的钢球做实验
B.在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的钢球做实验
C.在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的钢球做实验
D.在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的钢球做实验
解析 在探究向心力与角速度大小之间的关系时，需保证小球的质量相等，半径相等，故B正确。
答案 B
3.如图2所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供( )
图2
A.重力
B.弹力
C.静摩擦力
D.滑动摩擦力
解析 本题可用排除法。首先可排除A、D两项；若向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力或其分力应指向圆心，这是不可能的，C错误，B正确。
答案 B
4.如图3所示，在光滑的水平面上放一个原长为L的轻质弹簧，它的一端固定，另一端系一个小球，当小球在该平面上做半径为2L的匀速圆周运动时，速率为v1；当小球做半径为3L的匀速圆周运动时，速率为v2。设弹簧总处于弹性限度内，则v1∶v2等于( )
图3
A.∶ B.2∶1
C.1∶3 D.1∶
解析 由圆周运动知识可得k(2L－L)＝m，k(3L－L)＝m，联立两式解得＝，选项A、B、C错误，D正确。
答案 D
5.(2018·珠海高一检测)如图4所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
图4
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用，选项B正确。
答案 B
6.(2018·台山高一检测)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，如图5所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )
图5
A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
解析 玩具车运动到拱桥顶端时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－N＝m，即N＝mg－m答案 D
7.(多选)如图6所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( )
图6
A.a、b两点的线速度相同
B.a、b两点的角速度相同
C.若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝2∶
D.若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2
解析 球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B正确；因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rb＞ra，据v＝ωr知vb＞va，A错误；若θ＝30°，设球半径为R，则rb＝R，ra＝Rcos 30°＝R，故＝＝，C错误；又根据a＝ω2r知＝＝，D正确。
答案 BD
等级性检测
8.(2018·台州高一检测)如图7甲是滚筒洗衣机滚筒的内部结构，内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，如图乙。a、b、c、d分别为一件小衣物(可理想化为质点)随滚筒转动过程中经过的四个位置，a为最高位置，c为最低位置，b、d与滚筒圆心等高。下面说法正确的是( )
图7
A.衣物在四个位置加速度大小相等
B.衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的大
C.衣物转到a位置时的脱水效果最好
D.衣物在b位置受到的摩擦力和在d位置受到的摩擦力方向相反
解析 由于衣物在滚筒内做匀速圆周运动，根据an＝知，A正确；在a位置：Na＋mg＝，在c位置：Nc－mg＝，所以Na答案 A
9.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图8所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
图8
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
解析 由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncos θ＝mg，则N＝，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
10.(2018·中山高一检测)如图9所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距离也为L，今使小球绕AB轴在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速度为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( )
图9
A.mg B.2mg
C.3mg D.4mg
解析 当小球到达最高点速率为v时，有mg＝m，当小球到达最高点速率为2v时，应有F＋mg＝m＝4mg，所以F＝3mg，
此时最高点各力如图所示，
所以T＝mg。
答案 A
11.如图10所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量m＝1 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离r为多少？(g取10 m/s2，木块、物体均视为质点)
图10
解析 当M有远离轴心运动的趋势时，有
mg＋fmax＝Mω2rmax
当M有靠近轴心运动的趋势时，有
mg－fmax＝Mω2rmin
解得rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m
即0.08 m≤r≤0.32 m。
答案 0.08 m≤r≤0.32 m
12.如图11所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
图11
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝
(2)当ω＝时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg。
答案 (1) (2)μmg
