学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由物体静止时的平衡条件N＝mg得g＝，根据G＝mg和G＝m得M＝，故选B.
【答案】 B
2．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
【解析】 由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，故选A.
【答案】 A
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．第一宇宙速度是从地面上发射人造地球卫星的最小发射速度
B．第一宇宙速度是在地球表面附近环绕地球运转的卫星的最大速度
C．第一宇宙速度是同步卫星的环绕速度
D．卫星从地面发射时的发射速度越大，则卫星距离地面的高度就越大，其环绕速度则可能大于第一宇宙速度
【解析】 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运转的最大速度，离地越高，卫星绕地球运转的速度越小．
【答案】 AB
4．(多选)火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比( )
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
【解析】 由＝ma＝＝mr得：a＝，v＝，r＝，则T大时，r大，a小，v小，且由ω＝知T大，ω小，故正确选项为A、C.
【答案】 AC
5. (多选)图3-2-7中的圆a、b、c的圆心均在地球的自转轴线上．b、c的圆心与地心重合，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言( )
图3-2-7
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只能为b
【解析】 卫星轨道的中心必须与地心重合，且同步卫星的轨道必须在赤道平面内．
【答案】 BCD
6．在某星球表面以初速度v竖直上抛一个物体，物体上升的高度为H，已知该星球直径为D.如果要在该星球发射一颗卫星，其发射的最小速度为( )
A. B.
C．v D．v
【解析】 物体竖直上抛后做匀减速运动，有v2＝2gH，发射卫星的最小速度就是表面附近卫星的环绕速度，万有引力提供向心力有：mg＝m，联立两式得：v1＝，故B正确，A、C、D错误．
【答案】 B
7．2010年诺贝尔物理学奖授予英国曼彻斯特大学科学家安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，以表彰他们在石墨烯材料方面的卓越研究．石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”缆线的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空．现假设有一“太空电梯”悬在赤道上空某处，相对地球静止，如图3-2-8所示，那么关于“太空电梯”，下列说法正确的是( )
图3-2-8
A．“太空电梯”各点均处于完全失重状态
B．“太空电梯”各点运行周期随高度增大而增大
C．“太空电梯”上各点线速度与该点离地球球心距离的开方成反比
D．“太空电梯”上各点线速度与该点离地球球心距离成正比
【解析】 “太空电梯”随地球一起自转，其周期相同，B错；根据v＝ωr可知C错，D对；“太空电梯”不处于完全失重状态，A错．
【答案】 D
8．已知地球的半径是6.4×106 m，地球的自转周期是24 h，地球的质量是5.98×1024 kg，引力常量G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2，若要发射一颗地球同步卫星，试求：
(1)地球同步卫星的轨道半径r；
(2)地球同步卫星的环绕速度v，并与第一宇宙速度比较大小关系．
【解析】 (1)根据万有引力提供向心力得
＝mω2r，ω＝，则r＝＝
m
≈4.2×107 m.
(2)根据＝m得：
v＝＝ m/s
≈3.1×103 m/s＝3.1 km/s<7.9 km/s.
【答案】 (1)4.2×107 m (2)3.1×103 m/s 小于第一宇宙速度
[能力提升]
9．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图3-2-9
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
【解析】 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2>h1，故a1>a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2>a3，所以a1>a2>a3，选项D正确，选项A、B、C错误．
【答案】 D
10．如图3-2-10所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( )
图3-2-10
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将减小
【解析】 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等．又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由v＝知，vb＝vc
，故它将做向心运动．所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错．对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由v＝知，r减小时v逐渐增大，故D选项错误．
【答案】 B
11．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比．
【解析】 这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2
由万有引力提供向心力有
G＝m1ω2R1 ①
G＝m2ω2R2 ②
(1)①②两式相除，得＝.
(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
【答案】 (1)m2∶m1 (2)m2∶m1
12．如图3-2-11所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
图3-2-11
(1)卫星B的运行周期是多少？
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
【解析】 (1)由万有引力定律和向心力公式得
G＝m(R＋h) ①
G＝mg ②
联立①②解得 TB＝2π. ③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π ④
由③得 ωB＝ ⑤
代入④得t＝.
【答案】 (1)2π (2)
第二节 万有引力定律的应用
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.会用万有引力定律计算天体的质量．(重点)
2．了解海王星和冥王星的发现方法．
3．会推导第一宇宙速度，知道三种宇宙速度的含义．
4．知道人造卫星的原理，能够确定人造卫星线速度、角速度、周期与半径的关系．(重点、难点)
计 算 天 体 的 质 量
1．利用月球计算地球质量
(1)思路：月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供．
(2)推导：月球绕地球做匀速圆周运动所需向心力F＝mω2r＝m()2r.
地球对月球的万有引力充当向心力，则＝m()2r，则M＝.
2．一般方法
已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，也可以算出行星(或中心天体)的质量．
1．利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的质量．(×)
2．利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量．(√)
3．知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量．(√)
1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图3-2-1)，迈出了人类征服宇宙的一大步．
图3-2-1
探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F.怎样利用这个条件估测月球的质量？
【提示】 设月球质量为M.半径为R，则F＝G，故M＝.
探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，怎样利用这个条件估测月球质量？
【提示】 设月球质量为M，半径为R，由万有引力提供向心力，G＝mR
M＝.
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
2．计算天体的质量
下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg＝G，解得地球质量为M地＝.
(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动
3．计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度
ρ＝
将M＝代入上式得：ρ＝
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
1．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
【解析】 在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．
即G地＝G
同样在行星表面有
G行＝G
以上二式相比可得
＝×＝×
＝＝2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2
故选B.
【答案】 B
2．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式．
【解析】 设太阳质量为M，火星的质量为m
火星与太阳间的引力提供向心力，则有
＝，
v＝.
两式联立得M＝.
【答案】
3．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G＝m()2R，所以行星的质量为M＝，行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确．
【答案】 B
1．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．
2．要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R＝r.
发 现 未 知 天 体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维烈根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星——海王星被发现了．
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星等几个较大的天体．
1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)
2．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√)
3．冥王星被称为“笔尖下发现的行星”．(×)
航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗？
【提示】 适用．牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题．牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的．
如图3-2-2所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．
图3-2-2
探讨1：行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
【提示】 由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的．
探讨2：行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
【提示】 无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉．
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr2
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小
4．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．
【答案】 D
5．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有( )
A．土星线速度的大小
B．土星加速度的大小
C．土星的质量
D．太阳的质量
【解析】 根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝R、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C.
【答案】 C
6．(多选)2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观．这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机．如图3-2-3所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有( )
图3-2-3
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度
B．2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度
C．2004年8月29日，火星又回到了该位置
D．2004年8月29日，火星还没有回到该位置
【解析】 火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动G＝m可得：v＝，所以轨道半径较大的火星线速度小，B正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到，D正确．
【答案】 BD
天体运动的解题技巧
(1)建立模型
不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题．
(2)列方程求解
根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解．
F向＝F万＝ma＝mg＝G＝m＝mrω2＝mr.
人 造 卫 星 与 宇 宙 速 度
1．牛顿的设想
山顶上一门大炮若以足够大的速度水平射出一颗炮弹，它将围绕地球旋转而不再落回地面．
2．人造卫星的向心力
地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力．
G＝m＝mω2r＝mr.
3．运行规律
v与轨道半径r：v＝ .
ω与轨道半径r：ω＝.
T与轨道半径r：T＝2π .
a与轨道半径r：a＝.
离地球越远的卫星，线速度、角速度、加速度越小，周期越长，即越远越慢．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度，又叫环绕速度，是指人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，其大小为7.9 km/s.
(2)第二宇宙速度，又叫脱离速度，是指物体克服地球引力的束缚，成为绕太阳运动的行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
(3)第三宇宙速度，又叫逃逸速度，是指在地面上发射物体，使之最后脱离太阳引力的束缚飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为16.7 km/s.
1．7.9 km/s是人造地球卫星最大的环绕速度．(√)
2．在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.(√)
3．离地球越远的卫星，发射速度越大，而环绕速度也越大．(×)
能否有发射轨道高度不同但具有相同周期的地球卫星？(如图3-2-4所示)
图3-2-4
【提示】 不能．根据万有引力提供地球卫星做匀速圆周运动的向心力G＝mr可知，周期T＝2π，所以当卫星轨道高度不同时，其周期一定不同，故不能发射在不同轨道高度但具有相同周期的地球卫星．
若两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，请思考：
探讨1：卫星定轨高度越高，速度越大还是越小？
【提示】 卫星轨道越高，速度越小．
探讨2：如何比较两颗卫星的周期大小和角速度大小？
【提示】 卫星的轨道半径越大，周期越大，角速度越小．
1．第一宇宙速度的推导方法
方法(一)
设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
G＝m，v＝.
应用近地条件r＝R(R为地球半径)，R＝6 400 km，M＝6×1024kg，
得v＝＝7.9 km/s.
方法(二)
在地面附近，重力等于万有引力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(已知地球半径R、地面重力加速度g)．
由mg＝m得v＝＝ km/s＝7.9 km/s.
2．卫星的轨道特点(如图3-2-5)
图3-2-5
(1)若为椭圆轨道，地心是椭圆的一个焦点，其运动遵循开普勒定律．
(2)若为圆轨道，地心是圆周的圆心，由万有引力提供向心力．
(3)轨道平面：一定过地心，可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直，可以跟赤道平面成任意角度．
3．人造卫星的运动规律
根据万有引力提供向心力可得．
G＝?越高越慢
4．地球同步卫星
(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星．
(2)六个“一定”．
①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h.
③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．
⑤同步卫星的高度固定不变．
由＝mr()2知r＝.由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，h为同步卫星离地面的高度，h＝－R.又因GM＝gR2，代入数据T＝24 h＝86 400 s，g取9.8 m/s，R＝6.38×106 m，得h＝3.6×104 km.
⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝＝
＝ m/s＝3.1×103 m/s.
7．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
【解析】 探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则：G＝mr，整理得T＝2π，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由G＝man＝m＝mω2r，整理得：an＝G，v＝，ω＝，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误．
【答案】 A
8．如图3-2-6所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图3-2-6
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据G＝ma得a＝.故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝m2r，得T＝2π，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误．
【答案】 A
9．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
【解析】 A．地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．
由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确．
B．由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．
C．由＝，得v＝，r增大，v减小，C错误．
D．由ω＝可知，角速度减小，D错误．
【答案】 A
天体运动问题解答技巧
1．比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)．
2．涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2＝GM的应用．
3．若已知量或待求量中涉及v或ω或T，则应考虑从G＝m＝mω2r＝mr中选择相应公式应用．
