第一节 功
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.理解功的概念，知道做功的两个因素．
2．知道功是标量，会用功的公式进行计算．
3．理解正功、负功的含义，会计算多个力的总功．(重点、难点)
功 及 功 的 计 算
1．功的定义
一个物体受到力的作用，并使物体在力的方向上发生一段位移，这个力对物体做了机械功，简称功．
2．做功的两个因素
力和在力的方向上发生的位移，是做功的两个要素．
3．功的计算
(1)力和物体位移方向一致时，W＝Fs.
(2)力与物体位移方向的夹角为α时，W＝Fscos α，即力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小以及力和位移夹角的余弦的乘积．
(3)功的单位为焦耳，符号J.
1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功．即1 J＝1 N·m.
(4)功是标量，但有正、负之分．
(5)适用条件：在用公式W＝Fscos α计算力F做的功时，F应为恒力．
1．物体受到力的作用，而且还通过了一段位移，则此力一定做了功．(×)
2．物体只要受力且运动，该力就一定做功．(×)
3．公式W＝Fs中的s是指物体在力的方向上通过的位移．(√)
如图4-1-1所示，人对物体做功的有哪些？做功与否与哪些因素有关呢？
图4-1-1
【提示】 甲图和丁图中人对物体做了功，乙图和丙图中人对物体不做功．物体受到力的作用和在力的方向上发生位移是做功的两个必要因素．
如图4-1-2所示，人拉着小车沿水平面匀速前进了一段距离．
图4-1-2
探讨1：人对小车做的功是否等于拉力和位移的乘积？
【提示】 不等于．因为W＝F·scos α.
探讨2：拉力F一般分解为哪两个分力？F做的功与哪个分力做的功相同？
【提示】 拉力可以分解为沿水平方向和竖直方向的两个分力．F做的功与水平方向分力做的功相同．
1．做功需要两个必备因素
(1)做功具有两个必不可少的因素：
①做功的力；②物体在力的方向上的位移．
(2)力对物体是否做了功，只与这两个因素有关，只有两者都不为零，力才对物体做了功，并且功的大小等于力与物体在力的方向上的位移的乘积．
2．对功的公式W＝Fscos α的理解
(1)对公式中“scos α”和“Fcos α”的理解
①W＝F·scos α，scos α是位移s在力F方向上的分量，即从分解位移方面去理解．
②W＝Fcos α·s，Fcos α是力F在位移s方向上的分量，即从分解力方面去理解．
(2)公式的适用条件
公式中的F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式．若是变力，中学阶段一般不用此式求功．
1．如图4-1-3所示，下列过程中人对物体做了功的是( )
图4-1-3
A．小华用力推石头，但没有推动
B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中
C．小红提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中
D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中
【解析】 A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的推力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景，人对物体做功．
【答案】 C
2．如图4-1-4所示，一物块在与水平方向成θ角的拉力F的作用下，沿水平面向右运动一段距离l.则在此过程中，拉力F对物块所做的功为( )
图4-1-4
A．Fl B．Flcos θ
C．Flsin θ D．Fltan θ
【解析】 根据题意可知，恒力F与物体的向右的水平位移之间的夹角为θ，由功的定义式W＝Flcos α可得，拉力F对物块所做的功为Flcos θ，选项B正确，其他选项均不正确．
【答案】 B
3.质量为m的物体，在水平拉力F作用下第一次沿粗糙水平面匀速移动距离为l，第二次用同样大小的力F平行于光滑斜面拉物体，斜面固定，使物体沿斜面加速移动的距离也是l.设第一次F对物体做的功为W1，第二次对物体做的功为W2，则( )
图4-1-5
A．W1＝W2 B．W1C．W1>W2 D．无法确定
【解析】 由题意可知W＝Fl，力F对物体所做的功W只与F、l有关，与物体的运动情况及接触面的粗糙程度等均无关，故答案选A.
【答案】 A
应用功的公式应注意的问题
(1)计算功时首先应明确要求的是哪一个力的功，物体所受的各个力做功时互不影响．
(2)求功时物体的位移应相对于某一惯性参考系，要注意力与位移的对应性和同时性．
正 功、 负 功 及 总 功
1．正功和负功
α的取值
cos α
功的正负
物理意义
0≤α<
cos α>0
W>0，力做正功
做功的力是动力(选填“动力”或“阻力”，下同)
α＝
cos α＝0
W＝0，力不做功
力既不是动力，也不是阻力
<α≤π
cos α<0
W<0，力做负功
做功的力是阻力
2.总功的计算
(1)方法一：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体做功的代数和，即
W总＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn.
(2)方法二：求几个力的总功时，也可以先求这几个力的合力，再应用功的定义式求合外力做的功，即为总功．W合＝F合·lcos_α.
1．因为功有正、负，所以功是矢量．(×)
2．力F1做功10 J，F2做功－15 J，力F1比F2做功少．(√)
3．合力做的总功一定大于各个力做的功．(×)
图4-1-6
高速列车出站时加速，进站后减速，这两个过程合外力分别做什么功？
【提示】 加速出站时，合外力方向与位移方向一致，合外力做正功；减速进站时，合外力方向与位移方向相反，合外力是阻力，所以合外力做负功．
如图4-1-7所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.
图4-1-7
探讨1：雪橇所受的重力、支持力是否做功？
【提示】 重力、支持力和位移方向垂直，故不做功．
探讨2：拉力F做什么功？地面对雪橇的摩擦力做什么功？
【提示】 拉力F做正功．摩擦力做负功．
探讨3：雪橇做匀加速运动，合力做什么功？雪橇做匀减速运动，合力做什么功？
【提示】 雪橇做匀加速运动，合力做正功．
雪橇做匀减速运动，合力做负功．
1．正功、负功的物理意义
功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力．
2．几个力的总功的求法
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
(1)先求物体所受的合力，再根据公式W合＝F合scos α求合力的功．
(2)先根据W＝Fscos α，求每个分力做的功W1、W2…Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功．即合力做的功等于各个力做功的代数和．
4．如图4-1-8所示，在平行于斜面向上的F＝50 N的拉力作用下，使质量为m＝2 kg的物体沿着长为L＝2 m，倾角为α＝30°的斜面从底端向上滑到顶端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.2，分别求作用在物体上的各力对物体所做的功(g取10 m/s2).
图4-1-8
【解析】 (1)拉力F对物体所做的功为WF＝FLcos 0°＝50×2×1 J＝100 J
拉力F对物体做正功．
(2)重力mg对物体所做的功为
WG＝mgLcos(90°＋α)＝－mgLsin α
＝－2×10×2× J＝－20 J
“负号”表示物体克服重力做功．
(3)摩擦力f对物体做的功为
Wf＝f·Lcos 180°＝－μmgLcos α
＝－0.2×2×10×2× J＝－4 J
“负号”表示物体克服摩擦力做功，或说摩擦力是阻力．
(4)支持力N对物体做的功为
WN＝NLcos 90°＝0 J
表示支持力对物体不做功．
【答案】 拉力做功100 J 重力做功－20 J
摩擦力做功－4 J 支持力做功0 J
5．一个质量m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N作用，在水平地面上移动的距离l＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力f＝4.2 N，求外力对物体所做的总功．(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)
图4-1-9
【解析】 解法一：先求各力做的功，再求总功
拉力F对物体所做的功为
W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力f对物体所做的功为：
W2＝flcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和
所以：W＝W1＋W2＝7.6 J.
解法二：先求合力，再求总功
物体受到的合力为
F合＝Fcos 37°－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
所以W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J.
【答案】 7.6 J
灵活选择求合力功的两种方法
(1)如果物体处于平衡状态或某一方向受力平衡(合力等于零)，或者物体在某一方向上做匀变速直线运动(合力等于ma)，先求合力再求功的方法更简捷．先求合力的方法仅适用于几个力同时作用于物体上，且它们均不发生变化的情况．
(2)如果已知物体所受的力之中有的不做功，有的做功且方便求得该力的功(如重力功)时，选择W合＝W1＋W2＋…＋Wn简单方便．求各力做功的代数和的方法，不管是几个力同时作用，还是作用时间有先后均适用．
求 变 力 的 功
探讨1：求变力功的常见方法有哪些？
【提示】 平均值法、图象法、分段法(或微元法)、等效替换法等．
探讨2：在F-s图像中，面积的意义是什么？
【提示】 F-s图线所包围的面积表示变力的功．
1．在F-s图象中，“面积”的意义
利用F?s位移图象可求功．如图4-1-10(1)所示表示恒力的F?s位移图象，纵坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图4-1-10(2)所示表示变力F?s图象，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功．
图4-1-10
2．求变力功的方法
(1)平均值法：当力F的大小发生变化，但F、s成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功．
(2)图象法：变力的功W可用F?s图线中所包围的面积表示．s轴上方的面积表示力对物体做的正功多少，s轴下方的面积表示力对物体做的负功多少．
图4-1-11
例如求弹簧弹力做功．因弹力与弹簧的伸长量(或缩短量)x成正比，力F随x增大而增大，则两者关系图象如图4-1-11所示：F·x表示力F做功，所以图线与x轴围成的面积即表示力F所做的功，W＝F1x1＝kx.
(3)分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
(4)等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．
6．如图4-1-12所示：一辆拖车通过光滑的定滑轮将一质量为m的重物G匀速提升，已知拖车在由滑轮正下方的A点运动到B点的过程中拖车的水平位移为s，此时牵引线与竖直方向的夹角为α，求拖车对重物做的功.
图4-1-12
【解析】 虽然车对绳子的拉力的方向在变化，该力是变力．但在滑轮左侧，物体匀速上升，从而绳子施加给物体的力是恒力，且F＝mg.
物体在F作用下竖直上升，上升高度即为右侧绳子伸长的长
度L＝LOB－LOA＝－scot α
拖车对重物做功
W＝FL＝mgs(－cot α)＝(1－cos α)．
【答案】 (1－cos α)
7．用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图4-1-13所示，已知物块与轨道间动摩擦因数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功．
图4-1-13
【解析】 把圆轨道分成s1、s2、s3…sn等小微元段，摩擦力在每一段上为恒力，则在每一段上做的功W1＝－μmgs1，W2＝－μmgs2，W3＝－μmgs3…Wn＝－μmgsn.摩擦力在一周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝－μmg(s1＋s2＋s3＋…＋sn)＝－μmg·2πR.
所以滑块运动一周摩擦力做功为－2μmgπR.
【答案】 －2μmgπR
当我们用常规的方法无法求变力的功时，正确选用非常规的方法，问题将迎刃而解.
课件42张PPT。知识点一知识点二知识点三学业分层测评力的方向位移FsFscosα力的大小位移的大小余弦焦耳标量正 功、 负 功 及 总 功做正功动力不做功动力阻力做负功阻力代数和W1＋W2＋W3＋…＋Wn合力F合·lcos α
一、单项选择题
1．下列关于做功的说法中正确的是( )
A．凡是受力的作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功
解析：选D.做功的两要素是：力和物体在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时，也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，故C错误，D正确．
2．关于两物体间的作用力和反作用力的做功情况，下列说法正确的是( )
A．作用力做功，反作用力一定做功
B．作用力做正功，反作用力一定做负功
C．作用力和反作用力可能都做负功
D．作用力和反作用力做的功一定大小相等，且两者代数和为零
解析：选C.比较一对作用力和反作用力的功时，不要只看到力的大小相等，还要分析两力对应的物体的位移情况．作用力和反作用力各自做功，没有必然的联系．故C正确．
3．某足球运动员用20 N的力，把重为5 N的足球踢出10 m远，在这一过程中运动员对足球做的功为( )
A．200 J B．50 J
C．98 J D．无法确定
解析：选D.足球运动员用20 N的力作用在足球上，一瞬间就能把足球踢出去，足球在这个力的作用下的位移不知道，所以无法计算运动员对足球所做的功．故D正确．
4．如图所示，力F大小相等，A、B、C、D中物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最小( )
解析：选D.由W＝Fscos α知选项A中，力F做的功W1＝Fs；选项B中，力F做的功W2＝Fscos 30°＝Fs；选项C中，力F做的功W3＝Fscos 30°＝Fs；选项D中，力F做的功W4＝Fscos 60°＝Fs，故D正确．
5．以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，上升的最大高度是h.如果空气阻力f的大小恒定，则从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－fh
C．－2mgh D．－2fh
解析：选D.在上升过程中，空气阻力对小球做负功为：
W1＝－fh，在下降过程中，空气阻力对小球也做负功为：W2＝－fh，所以整个过程空气阻力做的总功为：
W＝W1＋W2＝－2fh，D正确，A、B、C错误．
6．人用20 N的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车又前进了2.0 m 才停下来，则在小车运动过程中，人的推力所做的功为( )
A．100 J B．140 J
C．60 J D．无法确定
解析：选A.人的推力作用在小车上的过程中，小车的位移是5.0 m，故该力做功为：W＝Fscos α＝20×5.0×cos 0° J＝100 J，故A正确．
二、双项选择题
7．一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，下列说法正确的是( )
A．合外力对物体不做功
B．地板对物体的支持力做正功
C．地板对物体的支持力做负功
D．重力对物体做负功
解析：选BD.升降机加速上升时，物体所受支持力方向向上与位移同向做正功；物体所受重力方向向下与位移反向做负功；物体所受合力方向向上与位移同向做正功．选项B、D正确．
8．关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是( )
A．滑动摩擦力总是做负功
B．滑动摩擦力可能做负功，可能做正功，也可能不做功
C．静摩擦力对物体可以做负功
D．静摩擦力对物体总是做正功或不做功
解析：选BC.静摩擦力和滑动摩擦力都可以对物体做正功、负功或不做功，故B、C正确，A、D错误．
9．关于人对物体做功，下列说法中正确的是( )
A．人用手拎着水桶在水平地面上匀速行走，人对水桶做了功
B．人用手拎着水桶从3楼匀速下至1楼，人对水桶不做功
C．人用手拎着水桶从1楼上至3楼，人对水桶做了功
D．人用手拎着水桶站在原地不动，虽然站立时间很久，但人对水桶没有做功
解析：选CD.具体分析如表
选项
分析
结论
A
人施加的力向上，桶的位移水平，不做功
错误
B
人施加的力向上，桶的位移向下，做负功
错误
C
人施加的力向上，桶的位移向上，做正功
正确
D
人施加的力向上，桶的位移为零，不做功
正确
☆10.如图所示，三个固定的斜面底边长度都相等，斜面倾角分别为30°、45°、60°，斜面的表面情况都一样．完全相同的物体(可视为质点)A、B、C分别从三斜面的顶部滑到底部的过程中( )
A．三者所受摩擦力fA＞fB＞fC
B．三者克服摩擦力所做的功WA＞WB＞WC
C．三者克服摩擦力所做的功WA＜WB＜WC
D．三者克服摩擦力所做的功WA＝WB＝WC
解析：选AD.斜面对物体的摩擦力f＝μmgcos θ.因θA＜θB＜θC，所以cos θA＞cos θB＞cos θC，则fA＞fB＞fC.A对；另设斜面底边长度为b，则摩擦力做的功W＝－μmgcos θ·＝－μmgb，即克服摩擦力做功为定值W＝μmgb，D对，B、C错．
三、非选择题
11．质量为1.5 kg的玩具汽车在平直的导轨上运动，其v－t图象如图所示，求：
(1)0到10 s内合外力做的功；
(2)10 s到15 s内合外力做的功；
(3)15 s到25 s内合外力做的功．
解析：(1)0到10 s合外力做的功为：
W＝Fl＝mal＝1.5×××10×20 J＝300 J.
(2)10 s到15 s合外力为零，做的功也为零．
(3)15 s到25 s合外力做的功为：
W′＝F′l′＝ma′l′＝1.5×××(20＋30)×10 J＝375 J.
答案：(1)300 J (2)0 (3)375 J
12．某人用300 N的水平推力，把一个质量为50 kg的木箱沿水平路面加速推动10 m，后来又把它匀速举高2 m，这个人对木箱共做功多少？
解析：整个做功过程分为两个阶段：在水平路面上用力F1＝300 N，位移s1＝10 m；在竖直方向上用力F2，位移s2＝2 m，全过程中做功为这两个阶段做功之和．
沿水平路面推行时，人对木箱做功为：
W1＝F1s1＝300×10 J＝3×103 J
匀速举高时人对木箱的推力F2＝mg，
人对木箱做功为
W2＝F2s2＝50×10×2 J＝1×103 J
所以全过程中人对木箱做的功为
W＝W1＋W2＝4×103 J.
答案：4×103 J
