学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．下列说法正确的是( )
A．机械能守恒时，物体一定不受阻力
B．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用
C．物体处于平衡状态时，机械能必守恒
D．物体所受的外力不等于零，其机械能也可以守恒
【解析】 机械能守恒的条件是只有重力做功或系统内物体间的弹力做功．机械能守恒时，物体或系统可能不只受重力和弹力作用，也可能受其他力，但其他力不做功或做的总功一定为零，A、B错．物体沿斜面匀速下滑时，它处于平衡状态，但机械能不守恒，C错．物体做自由落体运动时，合力不为零，但机械能守恒，D对．
【答案】 D
2．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动．在下列选项所示的运动过程中机械能守恒的是( )
A B C D
【解析】 依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件，故答案为C.
【答案】 C
3. (多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图4-4-10所示．则迅速放手后(不计空气阻力)( )
图4-4-10
A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B．小球与弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C．小球的机械能守恒
D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
【解析】 放手瞬间小球加速度大于重力加速度，A错；整个系统(包括地球)的机械能守恒，B对，C错；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，D对．
【答案】 BD
4．如图4-4-11所示，长为l的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，某一微小的扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为( )
图4-4-11
A. B.
C. D.
【解析】 铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得：mg·l＝mv2
解得：v＝.
【答案】 C
5．如图4-4-12所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为( )
图4-4-12
A．mgh B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2 D.mv2－mgh
【解析】 由机械能守恒定律可得物块的动能转化为其重力势能和弹簧的弹性势能，有mv2＝mgh＋Ep，故Ep＝mv2－mgh.
【答案】 D
6．如图4-4-13所示的光滑轻质滑轮，阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度为H＝0.5 m．M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为( )
图4-4-13
A. m/s B．3 m/s
C．2 m/s D．1 m/s
【解析】 对系统运用机械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝(M1＋M2)v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，B、C、D错误．
【答案】 A
7．(多选)如图4-4-14所示装置中，木块与水平桌面间的接触面是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
图4-4-14
A．子弹与木块组成的系统机械能守恒
B．子弹与木块组成的系统机械能不守恒
C．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
D．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
【解析】 从子弹射入木块到木块压缩至最短的整个过程，由于存在机械能与内能的相互转化，所以对整个系统机械能不守恒．对子弹和木块，除摩擦生热外，还要克服弹簧弹力做功，故机械能也不守恒．
【答案】 BD
8．(多选)如图4-4-15所示，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有( )
图4-4-15
A．甲的切向加速度始终比乙的大
B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度
D．甲比乙先到达B处
【解析】 甲、乙两小孩沿不同轨道从A运动到B，只有重力做功，根据机械能守恒定律和甲、乙两小孩运动的v－t图象解决问题．
甲、乙两小孩沿光滑轨道从A运动到B，只有重力做功，根据机械能守恒定律，得mgh＝mv2，即v＝，所以甲、乙两小孩在同一高度时，速度大小相等，选项B正确；甲、乙两小孩在运动过程的v－t图象如图所示．由v－t图象可知，选项A、C错误，选项B、D正确．
【答案】 BD
[能力提升]
9．(多选)如图4-4-16所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是( )
图4-4-16
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
【解析】 若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，所以A选项错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，因而B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv＋mgh，C选项正确；在地面处的机械能为mv，因此在海平面上的机械能也为mv，D选项正确．
【答案】 BCD
10．(多选)如图4-4-17所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点有一小球(半径比r小很多)，现给小球以水平向右的初速度v0，如果要使小球不脱离圆轨道运动，那么v0应当满足(g取10 m/s2)( )
图4-4-17
A．v0≥0 B．v0≥4 m/s
C．v0≥2m/s D．v0≤2m/s
【解析】 当小球沿轨道上升的最大高度等于r时，由机械能守恒定律得mv＝mgr，得v0＝2m/s；
当小球恰能到达圆轨道的最高点时有mg＝m
又由机械能守恒mv＝mg2r＋mv2
解得v0＝2m/s.
所以满足条件的选项为CD.
【答案】 CD
11．如图4-4-18所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的3/4圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g.求：
图4-4-18
(1)小球在AB段运动的加速度的大小；
(2)小球从D点运动到A点所用的时间．
【解析】 (1)设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有，mg＝m
小球从B点运动到C点，根据机械能守恒定律，
mv＝mv＋2mgR，
在AB段设加速度的大小为a，由运动学公式，有
v＝2aR，
联立解得AB段运动的加速度的大小a＝g.
(2)设小球在D处的速度大小为vD，下落到A点时的速度大小为v，由机械能守恒定律有：
mv＝mv＋mgR.
mv＝mv2，
设小球从D点运动到A点所用的时间为t，由运动学公式得，gt＝v－vD
联立解得：t＝(－).
【答案】 (1)g (2)(－)
12．山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图4-4-19所示，图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
图4-4-19
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．
【解析】 本题考查了平抛运动、机械能守恒定律和圆周运动的综合应用，考查了考生的分析综合能力，运动过程和受力分析是解答关键．思路大致如下：根据平抛运动求猴子的最小速度，根据机械能守恒定律求猴子荡起时的速度，利用圆周运动，结合几何关系，求青藤的拉力．
(1)设猴子从A点水平跳离时速度最小值为vmin，根据平抛运动规律，有
h1＝gt2 ①
x1＝vmint ②
由①②式，得vmin＝8 m/s. ③
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有
(M＋m)gh2＝(M＋m)v ④
vC＝＝ m/s≈9 m/s. ⑤
(3)设拉力为FT，青藤长度为L，在最低点，由牛顿第二定律得
FT－(M＋m)g＝ ⑥
由几何关系
(L－h2)2＋x＝L2 ⑦
故L＝10 m ⑧
综合⑤⑥⑧式并代入数据得FT＝216 N.
【答案】 (1)8 m/s (2)9 m/s (3)216 N
重点强化卷 和机械能守恒定律
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
【解析】 不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒．故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等．故只有选项A正确．
【答案】 A
2．(多选)质量为m的物体，从静止开始以a＝g的加速度竖直向下运动h米，下列说法中正确的是( )
A．物体的动能增加了mgh
B．物体的动能减少了mgh
C．物体的势能减少了mgh
D．物体的势能减少了mgh
【解析】 物体的合力为ma＝mg，向下运动h米时合力做功mgh，根据动能定理可知物体的动能增加了mgh，A对，B错；向下运动h米过程中重力做功mgh，物体的势能减少了mgh，D对．
【答案】 AD
3．如图1所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为( )
图1
A.μmgR B.mgR
C．mgR D．(1－μ)mgR
【解析】 设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有
mgR－WAB－μmgR＝0，
所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.
【答案】 D
4．如图2所示，木板长为l，木板的A端放一质量为m的小物体，物体与板间的动摩擦因数为μ.开始时木板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物体始终保持与板相对静止．对于这个过程中各力做功的情况，下列说法中正确的是( )
图2
A．摩擦力对物体所做的功为mglsin θ(1－cos θ)
B．弹力对物体所做的功为mglsin θcos θ
C．木板对物体所做的功为mglsin θ
D．合力对物体所做的功为mglcos θ
【解析】 重力是恒力，可直接用功的计算公式，则WG＝－mgh；摩擦力虽是变力，但因摩擦力方向上物体没有发生位移，所以Wf＝0；因木块缓慢运动，所以合力F合＝0，则W合＝0；因支持力FN为变力，不能直接用公式求它做的功，由动能定理W合＝ΔEk知，WG＋WN＝0，所以WN＝－WG＝mgh＝mglsin θ.
【答案】 C
5. (多选)如图3所示，一个质量为m的物体以某一速度从A点冲上倾角为30°的光滑斜面，这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在此过程中( )
图3
A．物体的重力势能增加了mgh
B．物体的机械能减少了mgh
C．物体的动能减少了mgh
D．物体的机械能不守恒
【解析】 物体在斜面上上升的最大高度为h，重力对物体做负功W＝－mgh，物体的重力势能增加了mgh，故A正确；物体在上升过程中，只有重力做功，重力势能与动能之间相互转化，机械能守恒，故B、D均错误；由于物体所受的支持力不做功，只有重力做功，所以合力做功为－mgh，由动能定理可知，物体的动能减少了mgh，故C正确．
【答案】 AC
6.如图4所示，在水平面上的A点有一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能为( )
图4
A.mv＋mgH
B.mv＋mgh
C．mgH－mgh
D.mv＋mg(H－h)
【解析】 物体运动过程中，机械能守恒，由mgh＝Ek－mv得，到达B点时动能Ek＝mgh＋mv，故选项B正确．
【答案】 B
7.伽利略曾设计如图5所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
图5
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
【解析】 小球在摆动过程中受重力和绳的拉力，绳的拉力不做功，故小球机械能守恒．同样，在光滑斜面上有mgh＝mv2，即小球的末速度只与下滑的高度h有关，故只有C正确．
【答案】 C
8．如图6所示，一根全长为l、粗细均匀的铁链，对称地挂在光滑的小滑轮上，当受到轻微的扰动，求铁链脱离滑轮瞬间速度的大小( )
图6
A. B.
C. D.
【解析】 设铁链的质量为2m，根据机械能守恒定律得
mg·＝·2mv2，所以v＝，只有选项B正确．
【答案】 B
9．(多选)由光滑细管组成的轨道如图7所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( )
图7
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
【解析】 要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v＞0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H＞2R，故选项C正确，选项D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得水平位移x＝2，选项A错误，选项B正确．
【答案】 BC
二、计算题
10．右端连有光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，如图8所示．将一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2.求：
图8
(1)木块沿弧形槽上升的最大高度；
(2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离.
【解析】 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，
由动能定理知
(F－μmg)L－mgh＝0
得h＝＝m＝0.15 m.
(2)设木块滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离为s，由动能定理知，mgh－μmgs＝0
得s＝＝0.75 m.
【答案】 (1)0.15 m (2)0.75 m
11．如图9所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高和受到的阻力，g取10 m/s2，求：
图9
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小．
【解析】 (1)以水平面为零重力势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5 000 J.
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，则运动员起跳时的动能为Ek＝mv＝625 J.
(3)解法一：应用机械能守恒定律
运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则mgh＋mv＝mv2，解得v＝15 m/s.
解法二：应用动能定理
运动员从起跳到入水过程中，其他力不做功，只有重力做功，故合外力做的功为W合＝mgh，根据动能定理可得，mgh＝mv2－mv，解得v＝15 m/s.
【答案】 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
12．如图10所示，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2 m，s＝ m．重力加速度大小g取10 m/s2.
图10
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小.
【解析】 (1)一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt ①，
h＝gt2 ②，从ab滑落过程中，根据动能定理可得
mgR＝mv ③，联立①②③可得R＝＝0.25 m.
(2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得mgh＝mv ④
因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角相等，设为θ，则根据平抛运动规律可知sin θ＝ ⑤，
根据运动的合成与分解可得sin θ＝ ⑥
联立①②③④⑤⑥可得
v水平＝＝ m/s.
【答案】 (1)0.25 m (2) m/s
