第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
A级 抓基础
1．做匀速圆周运动的物体，改变的物理量是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．周期
解析：匀速圆周运动的基本特点是角速度、周期、频率、转速都恒定不变，而线速度的大小不变，方向时刻改变．对于匀速圆周运动，其某时刻瞬时速度的方向沿该点的切线方向，所以线速度方向时刻变化，大小不变，所以A正确，B、C、D均错误．
答案：A
2．关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是( )
A．若r一定，则v与ω成正比
B．若r一定，则v与ω成反比
C．若ω一定，则v与r成反比
D．若v一定，则ω与r成正比
解析：根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比．故只有选项A正确．
答案：A
3.(多选)如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是( )
A．两木块的线速度相等
B．两木块的角速度相等
C．M的线速度是N的线速度的3倍
D．M的角速度是N的角速度的3倍
解析：由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项B、C正确．
答案：BC
4．有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
解析：树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A项错误．由T＝知，树各处的周期也一样大，故C项错误．由v＝ωr知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故B项正确，D项错误．
答案：B
5．在风力推动下，风叶带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，M点离转轴较近，下列说法中正确的是( )
A．M点的线速度等于N点的线速度
B．M点的角速度小于N点的角速度
C．M点的向心加速度小于N点的向心加速度
D．M点的周期大于N点的周期
解析：由于M与N点固定在同一片叶片上，一起转动，所以二点的角速度相等，选项B错误；它们的周期也相等，选项D错误；而M点的半径小，根据v＝ωR可知，M点的线速度小于N点的线速度，选项A错误；根据a＝ω2R可知，M点的向心加速度小于N点的向心加速度，选项C正确．
答案：C
6．(多选)如图所示，一个以过O点垂直于盘面的轴匀速转动的圆盘上有a、b、c三点，已知Oc＝，则下面说法中正确的是( )
A．a、b两点的线速度大小不相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
解析：a、b、c三点在同一圆盘上且绕同一轴转动，故角速度、周期相同，B、D正确；由v＝ωr知va＝vb，vc＝，A错误、C正确．
答案：BCD
B级 提能力
7．(多选)假设“神舟十号”飞船升空实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运动速度为v，半径为r，则计算其运行周期可用( )
A．T＝ B．T＝
C．T＝ D．T＝
解析：根据周期的定义可知选项A正确，B错误；根据线速度与周期的关系v＝可知选项C正确，D错误．
答案：AC
8.(多选)如图所示，假设地球绕地轴自转时，在其表面上有A、B两物体(图中斜线为赤道平面)，θ1和θ2为已知，则( )
A．A、B两物体的角速度之比为ωA∶ωB＝1∶1
B．线速度之比vA∶vB＝sin θ1∶sin θ2
C．线速度之比vA∶vB＝1∶1
D．周期之比TA∶TB＝sin θ1∶sin θ2
解析：地球上的物体都绕地轴做匀速圆周运动，它们的运动周期、角速度、转速都相等，A正确，D错误；由线速度与角速度的关系v＝ωr得v∝r，所以，vA∶vB＝Rsin θ1∶Rsin θ2＝sin θ1∶sin θ2，B正确，C错误．
答案：AB
9．如图所示，直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直于纸面的轴O匀速转动(图示为截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a、b两个弹孔．已知aO和bO夹角为θ，求子弹的速度．若无旋转不到半周的限制，则子弹的速度又如何？
解析：设子弹速度为v，则子弹穿过圆筒的时间t＝.
此时间内圆筒转过的角度α＝π－θ.
据α＝ωt，得π－θ＝ω.
则子弹的速度v＝.
本题中若无旋转不到半周的限制，则在时间t内转过的角度
α＝2nπ＋(π－θ)＝π(2n＋1)－θ.
则子弹的速度v＝(n＝0，1，2，…)．
答案： (n＝0，1，2，…)
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．周期
【解析】 物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D正确．
【答案】 BCD
2．(多选)如图2-1-8，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是( )
图2-1-8
A．a、b两点的运动周期都相同
B．它们的角速度是不同的
C．a、b两点的线速度大小相同
D．a、b两点线速度大小之比为2∶
【解析】 如题图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的．地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，b点半径rb＝，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶.
【答案】 AD
3．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
【解析】 由v＝ωr，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，C错，D对．
【答案】 AD
4．(多选)如图2-1-9所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是( )
图2-1-9
A．两木块的线速度相等
B．两木块的角速度相等
C．M的线速度是N的线速度的3倍
D．M的角速度是N的角速度的3倍
【解析】 由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项B、C正确．
【答案】 BC
5．如图2-1-10所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
图2-1-10
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
【解析】 a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都是陀螺旋转的角速度ω，B对，C错；三点的运动半径关系ra＝rb>rc，据v＝ωr可知，三点的线速度关系va＝vb＞vc，A、D错．
【答案】 B
6．如图2-1-11所示，两个摩擦传动的靠背轮，左边是主动轮，右边是从动轮，它们的半径不相等，转动时不打滑．则下列说法中正确的是( )
图2-1-11
A．两轮的角速度相等
B．两轮转动的周期相同
C．两轮边缘的线速度相等
D．两轮边缘的线速度大小相等
【解析】 靠摩擦传动的两轮边缘的线速度大小相等，而方向不同，故C错误、D正确；由v＝ωr得ω＝，故两轮的角速度不相等，周期也不相同，A、B错误．
【答案】 D
7．如图2-1-12所示为一皮带传动装置，A、C在同一大轮上，B在小轮边缘上，在传动过程中皮带不打滑，已知R＝2r，rC＝R，则( )
图2-1-12
A．ωC＝ωB B．vC＝vB
C．vC＝vB D．ωC＝2ωB
【解析】 A、B为皮带传动，有vA＝vB
ωA·2r＝ωB·r，所以ωB＝2ωA
A、C为同轴转动，有ωC＝ωA＝
所以选项A、D错误．
又因为vC＝ωC·r，vB＝vA＝ωA·2r＝2vC
所以选项B错误，选项C正确．
【答案】 C
8．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
【解析】 (1)依据线速度的定义式
v＝可得
v＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)依据v＝ωr可得
ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.
(3)T＝＝ s＝4π s.
【答案】 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
[能力提升]
9．无级变速是指在变速范围内任意连续地变换速度，其性能优于传统的挡位变速器，很多高档汽车都应用了“无级变速”．图2-1-13所示为一种“滚轮—平盘无级变速器”的示意图，它由固定在主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )
图2-1-13
A．n2＝n1 B．n1＝n2
C．n2＝n1 D．n2＝n1
【解析】 由滚轮不会打滑可知，主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮在接触点处的线速度相同，即v1＝v2，由此可得x·2πn1＝r·2πn2，所以n2＝n1，选项A正确．
【答案】 A
10．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图2-1-14所示．则该子弹的速度可能是( )
图2-1-14
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
【解析】 子弹从A盘到B盘的过程中，B盘转过的角度φ＝2πN＋(N＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(N＝0,1,2，…)，N＝0时，v＝1 440 m/s；N＝1时，v≈110.77 m/s；N＝2时，v＝57.6 m/s，…故C正确．
【答案】 C
11．已知砂轮的半径为40 cm，转速是1 200 r/min.求
(1)砂轮转动的周期；
(2)砂轮转动的角速度；
(3)砂轮边缘上一点线速度的大小．
【解析】 (1)转速n＝1 200 r/min＝20 r/s.
所以T＝＝ s＝0.05 s.
(2)ω＝＝ rad/s＝40π rad/s.
(3)v＝ωr＝40π×0.4 m/s＝16π m/s.
【答案】 (1)0.05 s (2)40π rad/s (3)16π m/s
12．如图2-1-15所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
图2-1-15
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动的线速度最小值.
【解析】 (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2②
由①②得v0＝＝R.
(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度
vA＝＝＝2πRn
当n＝1时，其线速度有最小值，即
vmin＝2πR.
【答案】 (1)R (2)2πR
匀速圆周运动
1.如图所示，细杆上固定两个小球a和b，杆绕O点做匀速转动，下列说法正确的是…( )
A．a、b两球角速度相等
B．a、b两球线速度相等
C．a球的线速度比b球的大
D．a球的角速度比b球的大
2如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
3.如图是磁带录音机的磁带盒的示意图，A、B为缠绕磁带的两个轮子，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上．磁带的外缘半径R＝3r，现在进行倒带，使磁带绕到A轮上．倒带时A轮是主动轮，其角速度是恒定的，B轮是从动轮．经测定，磁带全部绕到A轮上需要的时间为t，则从开始倒带到A、B两轮的角速度相等所需要的时间( )
A．等于 B．大于
C．小于 D．等于
4汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
5A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比φA∶φB＝3∶2.则下列说法正确的是( )
A．它们的半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的频率之比fA∶fB＝2∶3
6甲、乙、丙三个物体，甲放在广州、乙放在上海、丙放在北京．当它们随地球一起转动时，则( )
A．甲的角速度最大，乙的线速度最小
B．丙的角速度最小，甲的线速度最大
C．三个物体的角速度、周期和线速度都相等
D．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小
7关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
8.变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度挡，如图是某品牌的变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿．那么该车可变换________种不同挡位；且A与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝________.
9如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝______，圆盘转动的角速度ω＝________.
10下图为著名油画《纺织女》，从图中我们可以看到纺车上，一根绳圈连着一个直径很大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺织女只要轻轻摇动那个巨大的纺轮，那根绳圈就会牵动着另一头的纺锤咕噜噜地飞快转动．如果纺轮与纺锤直径之比是100∶1，那么纺轮转动1周，纺锤转动多少周？
参考答案
1解析：a、b两球属同轴转动，角速度相等，A对，D错；由v＝rω知，b球的线速度比a球的大，B、C错．
答案：A
2解析：本题属于轮子摩擦传动，各个轮边缘的线速度大小相等，即v1＝v2＝v3，
也就是r1ω1＝r2ω2＝r3ω3
所以ω3＝.
答案：A
3解析：两轮的角速度相等时半径相等，即这时两边磁带的多少是一样的，说明有一半的磁带倒了回去，在A轮中由于角速度相同时，半径越小线速度越小，用的时间就多，所以应该是大于，所以选B.
答案：B
4解析：由公式ω＝2πn，得v＝ωr＝2πrn，其中r＝30 cm＝0.3 m，v＝120 km/h＝ m/s，代入得n＝ r/s，约为1 000 r/min.
答案：B
5解析：A、B两个质点，在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比ΔlA∶ΔlB＝2∶3，所以vA∶vB＝2∶3；又因为相同的时间内转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，根据ω＝得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝rω，所以rA∶rB＝×＝×＝4∶9，B选项正确．根据T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，C选项正确．又T＝，所以fA∶fB＝TB∶TA＝3∶2，D选项错．
答案：BC
6解析：三物体都随地球一起转动，它们的角速度相同，周期相同．而甲、乙、丙三个物体做圆周运动的半径r甲＞r乙＞r丙，据v＝ωr得，它们的线速度关系为v甲＞v乙＞v丙，故A、B、C错，D对．
答案：D
7解析：由v＝ωr得ω＝；显然只有当半径r一定时，角速度才与线速度成正比，A错误；由v＝得T＝，只有当半径r一定时，周期才与线速度成反比，B错误；由ω＝知只有当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比，C错误；由ω＝得T＝，显然周期T与角速度ω成反比，角速度大的，周期一定小，故D正确．
答案：D
8解析：A、B轮可分别与C、D轮组合，所以共有A与C、A与D、B与C、B与D 4种不同挡位．A与D轮组合时，由于两轮边缘线速度大小相等，所以＝＝＝＝.
答案：4 1∶4
9解析：小球做平抛运动，到达B点时，圆盘可能转过n圈(n＝1,2,3，…)
小球在竖直方向上有h＝gt2①
水平方向上有R＝vt②
由①②得v＝R
圆盘匀速转动，故θ＝ωt＝n·2π
由①③得ω＝2nπ.
答案：R 2nπ
10解析：纺轮和纺锤在相同时间内转过的圆弧长相等，即线速度相等．
v轮＝v锤，由v＝ω·r知
角速度之比：ω轮∶ω锤＝1∶100
即当纺轮转动1周时，纺锤转动100周．
答案：100
