中小学教育资源及组卷应用平台
8.3实际问题与二元一次方程组（1）
教学目标：
1.掌握二元一次方程组解应用题的一般方法.
2.经历对各类二元一次方程应用题的学习，掌握各题型基本数量关系和基本解题技巧.
3.让同学们体验数学知识是解决实际问题的有力武器，提高数学学习兴趣.
教学重点:列二元一次方程组解决实际问题.
教学难点:有关各类应用题中两个相等关系的探求.
教学过程：
一、复习引入
同学们，你们还记得列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么吗 ？（抽学生回答）我们前面学习了二元一次方程组解法,发现和解一元一次方程还是有共同联系的，那么二元一次方程组的应用是否和一元一次方程的应用之间也有类似的联系呢？今天我们一起来研究这个课题。
二、新知讲解
活动1 自主预习
阅读教材99页，想一想：利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴交流一下.（小组交流，形成文字语言）
活动2 自主探究
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20kg，每头小牛1天约需饲料7~8kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题1：怎样理解“通过计算来检验他的估计”，题中要求的未知数是什么？如何设未知数？
（学生读题，自主回答，体会估计值不是已知量，而是未知量，要用准确的数字来检验。教师引导学生找出未知数是求一头大牛和每头小牛一天分别约用祠料，设:每头大牛和每头小牛一天分别约用xKg和yKg祠料．）
问题2：题中包含哪两个等量关系，怎样列方程组？
（学生自主讨论，自由发言，教师指引，得到两个等量关系，并列出方程组: ）
问题3：如何解这个方程组？
（学生自己解题，教师纠正．）
问题4:饲养员李大叔的估计正确吗？ ， 吗吗，
（对比方程组得解和估计，得出结论．）
具体解答过程：
解：本题的等量关系是：
设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg，根据以上等量关系，列方程组
解得
这就是说，每头大牛1天约需_____kg，每头小牛1天约需饲料_____kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计_____，对小牛的食量估计_____.
巩固练习：
1、巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126 km，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h、y km/h，则下列方程组正确的是（ ）D
2、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为______________．
3、某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需资金4 120元．则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？
解：设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为x元和y元，则
解得：
答：每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是60元、800元．
4、A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的平均速度与风速.
解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h,
根据题意可列方程组
解得：
答：飞机的平均速度为420km/h，风速为60km/h.
活动3 自主探究
据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？
问题1：根据探究1的解题过程，你能解决探究2的问题吗？
师生活动：独立思考，共同讨论解决问题，教师引导，利用矩形的宽不变，面积与长成正比，将长分成两部分，设未知数，列方程组．
问题2：你能解这个方程组吗？
师生活动：独立解题，教师引导，将方程组化简为:
（使学生学会将复杂的方程组转化成简单的方程组．）
问题3：如何表述你的种植方案？
（学生自由发言，互相启发，不断补充完善种植方案，如过长边离一端120米处作该边的垂线，将矩形分成两部分，较大的种甲种作物，较小的部分种乙种作物。让学生体会用方程组的解来解释实际问题。）
问题4：你还有其它的设计方案吗？
问题5：你能用一元一次方程来解这两题吗？
自己讨论，自由发言。（让学生体现有两个未知数的问题，用方程组解要简单直接．）
小结：回顾探究2的解题过程，归纳得：
①列方程组解实际问题的步骤是什么
②列方程组解决含有两个未知数的实际问题比列一元一次方程要简单明了．
列方程组解实际问题一般的步骤：
（１）设：设未知数,可直接设元，，也可间接设元；
（２）列：根据相等关系列出方程组；
（３）解：解所列方程组，得出未知数的值；
（４）验：检验所求未知数的值是否正确，是否符合实际意义；
（５）答：写出答案．
巩固练习：
1、一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽。
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：
解得：
2、鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有_______只鸡，_______只兔；(答案：6 6)
3、甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数各是多少？若设甲数为 x，乙数为y，依题意可列方程组______________。
4、某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，列方程组为（ ）C
5、某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）D
6、《一千零一夜》中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子
答：设树上有7只鸽子，树下有5只鸽子
7、阳光琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈利20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
解：设盈利20%的那台钢琴进价为X元，它的利润是0.2X元，则:X+0.2X=960
X=800
设亏损20%的那台钢琴进价为Y元，它的利润是0.2Y元，则:Y-0.2Y=960
Y=1200
所以两台钢琴进价为2000元，而售价1920元，进价大于售价，因此两台钢琴总的盈利情况为亏本80元。
三、课堂小结
通过本节课学习你学会了哪些内容？还有哪些疑惑？
四、布置作业
教材102页4、5、6题
当堂测评
1． 小亮向老师有多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了”，则小亮和老师的岁数分别为（ ）.
A．8和20 B．15和17 C．16和28 D．9和15
分析：可以设小亮和老师的岁数分别为岁和岁，则4，40，三点呈等距离分布，可列方程组，解得．
答案：C．
2．甲乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始，做5天后两人做的零件一样多，若果甲先做30个，乙在开始，4天后乙反比甲多做10个，求甲、乙两人每天各做多少零件？设甲、乙两人每天做x，y个零件，则得方程组（ ）.
A． B．???
C． D．
分析：根据题意中的两个相等关系可以列方程组C．
答案：C．
3．用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5米，将绳子对折再量长木，长木还剩余1米，则长木为_______________米．
分析：绳子长和长木都是未知量，但二者之间有两个不同的相等关系，所以可以用二元一次方程组，求解．设长木x米，绳长y米，则可列方程组，解得．
答案：6．5,11．
4．一只轮船顺水航行每小时为40千米，逆水航行每小时28千米，则轮船在静水中行走100千米用时_____________小时．
分析：根据“顺速=静速+水速，逆速=静速-水速”，可得“静速=（顺速+逆速）=（40+28）=34”，所以10034=．
答案：．
5．数学课外活动小组A组有28人，B组有15人，现要调入27人分配到A、B两组，要求分配后A组人数是B组的2倍，则设调往A组x人，B组y人，可得方程组________________________．
分析：有两个未知数，同时满足两个相等关系，因此可得方程组．
答案：
6．七（1）班同学一起去买笔记本，共买了80本，花了205元，其中A种笔记本每本3元，B种笔记本每本2元，求A、B两种笔记本各买了多少本？
分析：本题有两个未知数，满足两个相等关系，可以列二元一次方程组解决．
答案：设A种笔记本买x本,B种笔记本买y本，则有，解得．
7．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底组成一套罐头盒，现有18张白铁皮，问能做多少个罐头盒？
分析：盒身铁皮数+盒底铁皮数=18,25盒身铁皮数：40盒底铁皮数=1:2．
答案：设做盒身用x张白铁皮，做盒底用y张白铁皮，依题意有，解得，（个），所以能做200个罐头盒．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
8.3实际问题与二元一次方程组（1）
学习目标：
1.掌握二元一次方程组解应用题的一般方法.
2.经历对各类二元一次方程应用题的学习，掌握各题型基本数量关系和基本解题技巧.
3.让同学们体验数学知识是解决实际问题的有力武器，提高数学学习兴趣.
学习重点:列二元一次方程组解决实际问题.
学习难点:有关各类应用题中两个相等关系的探求.
学习过程：
一、复习引入
同学们，你们还记得列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么吗 ？
二、新知讲解
活动1 自主预习
阅读教材99页，想一想：利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴交流一下.
活动2 自主探究
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20kg，每头小牛1天约需饲料7~8kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题1：怎样理解“通过计算来检验他的估计”，题中要求的未知数是什么？如何设未知数？
问题2：题中包含哪两个等量关系，怎样列方程组？
问题3：如何解这个方程组？
问题4:饲养员李大叔的估计正确吗？
具体解答过程：
解：本题的等量关系是：
设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg，根据以上等量关系，列方程组
解得
这就是说，每头大牛1天约需_____kg，每头小牛1天约需饲料_____kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计_____，对小牛的食量估计_____.
巩固练习：
1、巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126 km，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h、y km/h，则下列方程组正确的是（ ）
2、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为______________．
3、某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需资金4 120元．则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？
4、A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的平均速度与风速.
活动3 自主探究
据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？
问题1：根据探究1的解题过程，你能解决探究2的问题吗？
问题2：你能解这个方程组吗？
问题3：如何表述你的种植方案？
问题4：你还有其它的设计方案吗？
问题5：你能用一元一次方程来解这两题吗？
小结：回顾探究2的解题过程，归纳得：
①列方程组解实际问题的步骤是什么
②列方程组解决含有两个未知数的实际问题比列一元一次方程要简单明了．
列方程组解实际问题一般的步骤：
巩固练习：
1、一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽。
2、鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有_______只鸡，_______只兔；
3、甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数各是多少？若设甲数为 x，乙数为y，依题意可列方程组______________。
4、某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，列方程组为（ ）
5、某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）
6、《一千零一夜》中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
7、阳光琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈利20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
三、课堂小结
通过本节课学习你学会了哪些内容？还有哪些疑惑？
四、布置作业
教材102页4、5、6题
当堂测评
1． 小亮向老师有多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了”，则小亮和老师的岁数分别为（ ）.
A．8和20 B．15和17 C．16和28 D．9和15
2．甲乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始，做5天后两人做的零件一样多，若果甲先做30个，乙在开始，4天后乙反比甲多做10个，求甲、乙两人每天各做多少零件？设甲、乙两人每天做x，y个零件，则得方程组（ ）.
A． B．???
C． D．
3．用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5米，将绳子对折再量长木，长木还剩余1米，则长木为_______________米．
4．一只轮船顺水航行每小时为40千米，逆水航行每小时28千米，则轮船在静水中行走100千米用时_____________小时．
5．数学课外活动小组A组有28人，B组有15人，现要调入27人分配到A、B两组，要求分配后A组人数是B组的2倍，则设调往A组x人，B组y人，可得方程组________________________．
6．七（1）班同学一起去买笔记本，共买了80本，花了205元，其中A种笔记本每本3元，B种笔记本每本2元，求A、B两种笔记本各买了多少本？
7．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底组成一套罐头盒，现有18张白铁皮，问能做多少个罐头盒？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
