教学设计
第四节 机械能守恒定律
整体设计
机械能守恒是本章的重点内容.机械能守恒作为普遍的能量转化与守恒的一个特例虽然比较简单，但要使学生真正树立转化和守恒的思想，并达到灵活运用也有一定的困难.
本节的教学分为三部分：第一部分通过实例的分析，提出研究问题：动能和势能是可以相互转化的，那么动能和势能之间的转化是通过什么来实现的？在动能和势能转化过程中，总的机械能遵循什么规律；第二部分是以小球的自由落体为例，从理论上分析与论证，推导出动能和势能相互转化的规律——机械能守恒定律.然后通过对机械能守恒定律成立条件进行讨论，并用其他方法推导机械能守恒等，使学生对机械能守恒成立的条件有深刻的认识.在此过程中，教师应注意调动学生讨论与交流的积极性，培养学生的合作意识与交流能力；第三部分是通过例题的学习让学生掌握用机械能守恒解题的一般方法，教师应注意引导学生对方法与规律进行总结，使学生体会到，使用机械能守恒定律解题，只需考虑初态和末态的机械能，而不用考虑过程细节，这样可以令问题大为简化，这是使用机械能守恒定律进行解题的特点和优点.
教学重点
1.机械能守恒定律的理论推导过程.
2.机械能守恒定律的条件.
3.运用机械能守恒定律解题的一般方法.
教学难点
1.机械能守恒定律的条件.
2.运用机械能守恒定律解题的一般方法.
教学方法
探究式、启发式、讨论式
课时安排
1课时
三维目标
知识与技能
1.掌握机械能守恒定律的含义，知道机械能守恒的条件，会合理选择零势面.
2.掌握应用机械能守恒定律分析、解决力学问题的基本方法.
3.掌握应用机械能守恒定律的解题步骤，知道机械能守恒定律处理问题的优点，提高运用所学知识进行综合分析、解决问题的能力.
过程与方法
1.通过讨论与交流，使学生知道物体的动能和势能之间是如何实现相互转化的.
2.通过理论推导，掌握机械能守恒定律的推导方法与过程.
3.通过讨论与交流，知道机械能守恒的条件——只有重力和弹力做功，加深对机械能守恒条件的理解.
4.通过例题讲解，掌握应用机械能守恒定律解题的一般步骤，知道利用机械能守恒定律解题的优点.
情感态度与价值观
1.培养学生勤于思考的习惯、积极合作的态度、敢于提出问题的胆识和准确的表达能力.
2.通过理论推导机械能守恒定律，培养学生灵活应用所学知识的能力，提高学生的推导论证能力.
3.通过对例题的分析，培养学生灵活处理实际问题的能力.
教学过程
导入新课
图4-4-1
师
(实验装置如图4-4-1所示)把滚摆往上卷起一定的高度，然后自由释放，观察滚摆的运动，你认为这个小实验说明了什么？
生
重力势能和动能可以相互转化.
师
我们把动能和势能称为机械能.势能包括重力势能和弹性势能.动能和势能之间是可以相互转化的.(播放影片或图片)请同学们认真观察运动员跳水、撑杆跳、蹦床运动、飞流直下的瀑布，分析各过程中动能和势能转化的情况.
生
运动员跳水和飞流直下的瀑布，重力势能转化为动能.
蹦床运动中，蹦床把运动员抛出时，弹性势能转化为运动员的动能，运动员上升过程中，动能转化为重力势能.当运动员下落时，重力势能转化为动能，接触蹦床后，动能转化为蹦床的弹性势能.
撑杆跳，动能转化为杆的弹性势能，上升过程中，弹性势能转化为重力势能.
师
动能与势能之间的相互转化是通过什么来实现的？
生
是通过重力或弹力做功来实现的.
师
在动能和势能转化的过程中，总的机械能遵循什么规律呢？这节课我们一起来研究.
推进新课
一、机械能守恒定律的理论推导
师
(展示问题)提桶会不会碰鼻？
在一个提桶内放一些重物，用绳子将它悬挂在门框下，你自己站在门的里边，将提桶拉离竖直方向，使它凑近自己的鼻子.然后轻轻放手，提桶将向前摆去，接着又反向摆回来.当摆动很快的提桶再一次接近你的鼻子时，你敢不敢镇定自若地站在那里不动？上述例子中有势能和动能之间的转换，若我们掌握其中的规律，就能采取恰当的方式去处理.
现在我们以做自由落体运动的小球为例，从理论上探究势能与动能之间发生转化，机械能的总量遵循什么规律.
如图4-4-2所示，一个质量为m的小球自A点开始自由下落,经过离地面高度为h1的B点时速度为v1；下落到离地面高度为h2的C点时的速度为v2.
图4-4-2
师
应该选择哪两点进行研究？
生
B点和C点.
师
为什么不选最高点和最低点？
生
因为最高点时动能为零，最低点时重力势能为零(选地面为参考平面)，是特殊情形，不能用特殊代替一般.
师
请同学们用学过的知识进行推导.
生
在自由落体运动中，小球只受到重力作用，重力做正功.设重力所做的功为WG，则由动能定理得：
WG=mv22-mv12
又由重力做功与重力势能变化的关系可知
WG=mgh1-mgh2
两式联立得：mv22-mv12=mgh1-mgh2①
把上式移项后得：mgh1+mv12=mgh2+mv22②
师
①式说明了什么问题？
生
说明在自由落体运动中，物体动能的增加量等于重力势能的减少量.
师
②式又说明了什么问题？
生
说明在自由落体运动中，机械能的总量保持不变.
师
用公式可以怎样表示？
生
Ep2+Ek2=Ep1+Ek1或ΔEk=-ΔEp.
师
从以上的推导我们可以知道，小球在自由落体运动过程中，动能和重力势能之和不变，即机械能保持不变.
讨论与交流
师
机械能守恒成立的条件是什么？
生
机械能守恒的条件是只有重力做功.
师引导学生总结：机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而总的机械能保持不变.
师
在机械能守恒定律的表述中，你对“只有重力做功”是如何理解的？并判断以下几个运动中物体的机械能是否守恒.
A.竖直上抛的小球
B.做平抛运动的小球
C.沿光滑的斜面下滑的物体
D.沿竖直方向匀速下降的物体
E.单摆(忽略空气阻力)
参考：A、B、C、E物体的机械能守恒
“只有重力做功”包含几种情况：
(1)物体只受重力作用.(例如A、B)
(2)物体除受重力外，还受其他外力作用，但其他外力不做功.(例如C、E)?
(3)除重力对物体做功外，其他力所做功的代数和为零.
师
你还有没有其他方法推导出机械能守恒定律？请写出你的推导过程.
参考：下面提供几个运动模型供参考
图4-4-3
(1)竖直上抛：如图4-4-3所示，从地面处竖直上抛一个物体，经过离地面高度为h1的A点时速度为v1；经过离地面高度为h2的B点时的速度为v2.
在竖直上抛运动中，小球只受到重力作用，重力做负功.设重力所做的功为WG，则由动能定理得：
WG=mv22-mv12
又由重力做功与重力势能变化的关系可知
WG=mgh1-mgh2
两式联立得：mv22-mv12=mgh1-mgh2
把上式移项后得：mgh1+mv12=mgh2+mv22.
(2)平抛运动：如图4-4-4,一个质量为m的物体做平抛运动，经过离地面高度为h1的A点时速度为v1；经过离地面高度为h2的B点时的速度为v2.
在平抛运动中，小球只受到重力作用，重力做正功.设重力所做的功为WG，则由动能定理得：
WG=mv22-mv12
图4-4-4
又由重力做功与重力势能变化的关系可知
WG=mgh1-mgh2
两式联立得：mv22-mv12=mgh1-mgh2
把上式移项后得：mgh1+mv12=mgh2+mv22.
(3)光滑斜面上物体的运动：如图4-4-5,在光滑的斜面上有一个质量为m的物体从斜面的顶端无初速下滑，经过斜面上离地面高度为h1的A点时速度为v1；滑到斜面上离地面高度为h2的B点时的速度为v2.
图4-4-5
物体受到重力、支持力的作用，重力做正功，支持力与位移方向垂直，做功为零.设重力所做的功为WG，则由动能定理得：
WG=mv22-mv12
又由重力做功与重力势能变化的关系可知
WG=mgh1-mgh2
两式联立得：mv22-mv12=mgh1-mgh2
把上式移项后得：mgh1+mv12=mgh2+mv22.
(4)用单摆推导：如图4-4-6,将一长绳上端固定，下端系一个质量为m的小球，将小球拉起一定的角度，然后无初速释放，以摆球经过的最低点所在高度的水平面为参考平面，小球经过A点时速度为v1，高度为h1，经过B点时的速度为v2，高度为h2(忽略空气阻力).
图4-4-6
忽略空气阻力，小球受到重力、拉力的作用，重力做正功，拉力与速度方向始终垂直，做功为零.设重力所做的功为WG，则由动能定理得：
WG=mv22-mv12
又由重力做功与重力势能变化的关系可知
WG=mgh1-mgh2
两式联立得：mv22-mv12=mgh1-mgh2
把上式移项后得：mgh1+mv12=mgh2+mv22.
例1关于机械能守恒的条件，正确的是( )
A.某一物体所受合外力为零，则该物体的机械能守恒
B.某一物体所受外力的总功为零，则该物体的机械能守恒
C.物体只受重力作用，则该物体的机械能守恒
D.只有重力对物体做功，则该物体的机械能守恒
参考答案：CD
例2 一个人用力把一个质量为1 kg且静止的物体向上提升1 m时，物体的速度达到2 m/s.若g取10 m/s2，则下列说法中正确的是( )
A.人对物体所做的功为12 J
B.合外力对物体所做的功为2 J
C.物体克服重力做功为10 J
D.合外力对物体所做的功为12 J
参考答案：ABC
解析：A.物体受到重力和拉力.重力做功不会改变物体的机械能，所以拉力对物体做的功等于物体机械能的改变.WF=mgh+mvt2=12 J.
B.根据动能定律，合外力对物体做的功等于物体动能的改变.W合=mvt2=2 J.
C.物体克服重力做功等于物体重力做负功的绝对值.WG=-mgh=-10 J，所以物体克服重力做功为10 J.
师
用类比的方法思考：
(1)若系统只有弹力做功，能量是如何转化的，机械能的总量守恒吗？
(2)若系统只有重力和弹力做功，能量又是如何转化的，机械能的总量守恒吗？
参考：(1)若只有弹力做功，能量在弹性势能和动能之间转化，机械能的总量保持不变.
例3如图4-4-7所示，一根轻质弹簧一端系着一个小球放在水平桌面上，把小球拉到平衡位置右方的某点，然后放开，则小球与弹簧组成的系统只有弹性势能与动能之间的转化，机械能的总量保持不变.
图4-4-7
(2)若只有重力和弹力做功，能量在动能、重力势能和弹性势能之间转化，机械能的总量保持不变.
图4-4-8
例4如图4-4-8所示，一根轻质弹簧一端系着一个小球，另一端挂在天花板上，把小球拉到平衡位置下方的某点，然后放开，则小球与弹簧组成的系统能量在动能、重力势能和弹性势能之间转化，机械能总量保持不变.
师引导学生总结：严格地讲，物体系统内只有保守力(重力、弹力)做功，而其他一切力不做功时，机械能才守恒，这就是机械能守恒的条件.若其他内力或外力做了功，那么物体系统的动能和势能在转化过程中，将伴随着其他能量的转化，因而总的机械能不再守恒.
二、机械能守恒定律的应用
请看下面的例题
一跳水运动员站在h＝10 m的高台上做跳水表演，已知运动员跳离跳台时的速度v0＝5 m/s，求运动员落至水面时速度v的大小，忽略运动员身高的影响和空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2.
解析：运动员跳离跳台后，只有重力做功,因此遵守机械能守恒定律.以运动员为研究对象，选择水平面为参考平面，根据Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
得：
mgh+mv02=mv2
所以运动员落至水面时速度v的大小为
m/s=15 m/s
师引导学生总结应用机械能守恒解题的方法.
运用机械能守恒定律解题的过程一般包括以下几个步骤：
(1)确定研究的系统；
(2)判断是否符合机械能守恒条件(是否只有重力做功)；
(3)选取零势能面(一般以初状态或末状态物体所在位置作为零势面，能令问题简化)；
(4)确定初状态和末状态的动能和势能；
(5)写出表达式解题，得出结果.
注意：选择不同的参考面，列出的方程虽然形式不同，但不会影响结果.
例如，若选运动员起跳处为参考平面，则根据机械能守恒得
mv02=mv2+(-mgh)
v＝15 m/s.
例1一种地下铁道，车站站台建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图4-4-9所示，设站台高度为h=2 m，进站车辆到达坡下的A点时，速度v0＝7 m/s，此时切断电动机的电源，如果不考虑电车所受的摩擦力.
图4-4-9
(1)车辆能不能“冲”到站台上？
(2)如果能，到达站台上的速度是多大？
参考答案：车辆切断电源后，不考虑电车所受的摩擦力，则电车受到重力、支持力.因支持力始终与速度方向垂直，所以只有重力做功，电车的机械能守恒.
(1)设电车恰好能冲上高度为H的站台，选取坡下为参考平面,得
Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
mv02+0=0+mgH,
H=m=2.5 m
因为H＝2.5 m>2 m，所以电车能冲到站台上.
(2)设电车冲上2 m高的站台的速度为v，则
Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
mv02+0=mv2+mgh，
v=v02-2gh=72-2×9.8×2 m/s=3.13 m/s.
例2如图4-4-10所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面为参考平面，则小球落到地面前的瞬间的机械能为( )
图4-4-10
A.0
B.mgh
C.mgH
D.mg(H+h)
参考答案：C
解析：小球做自由落体运动，只有重力做功，机械能守恒，以桌面为参考平面，小球在最高点的动能为零，重力势能为mgH，即机械能为mgH，小球落地前瞬间的机械能与最高点相同，所以是mgH.
机械能守恒定律，只涉及物体初、末状态的物理量，不需分析中间过程的复杂变化，所以可以使问题的处理得到简化.应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒.
课堂训练
1.如图4-4-11所示是一高架滑车的轨道示意图，各处的高度已标在图上.一列车厢以1 m/s的速度从A点出发，最终抵达G点，运动过程中所受阻力可以忽略.试问：
图4-4-11
(1)车厢在何处重力势能最大？在何处动能最大？哪一段路程中动能几乎不变？
(2)车厢的最大速度是多少？
(3)如果车厢的质量为103 kg，当它抵达G点后要通过制动装置使它停下,车厢克服制动装置的阻力要做多少功？(g取10 m/s2)
2.如图4-4-12所示，ma=4 kg，mb=1 kg，A与桌面的动摩擦因数μ=0.2，B与地面间的距离s=0.8 m，A、B原来静止.求：
图4-4-12
(1)B落到地面时的速度.
(2)B落地后，A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来?(g取10 m/s2)
3.一人站在阳台上，以相同的速率分别把三个球竖直向下抛出、竖直向上抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率( )
A.上抛球最大
B.下抛球最大
C.平抛球最大
D.三球一样大
4.如图4-4-13所示，把质量为2 kg的小球从高为3.5 m的光滑轨道上自由释放，已知圆弧的半径为1 m，求：(g取10 m/s2)
图4-4-13
(1)小球经过圆弧轨道的最高处时的速度是多少？小球对轨道的压力是多少？
(2)要使小球能经过圆弧的最高点，至少要从多高的地方释放？
参考答案
1.答案：(1)在A点重力势能最大，在D点动能最大，C点附近动能几乎不变
(2)26.5 m/s
(3)3×105 J
解析：通常以地面为零势能面.车厢在运动过程中支持力不做功，阻力不计，只有重力做功，因此机械能是守恒的.这时重力势能的减少一定等于动能的增加.由于重力势能与高度有关，于是就可以根据车厢离地面的高度来确定它在该处动能的大小.高度越低,动能就越大;高度不变,则动能不变.在运用机械能守恒定律进行计算时，必须确定研究对象，列出初始位置的动能和势能的表达形式；列出末位置的动能和势能的表达形式.再写出机械能守恒定律的方程，通过求解方程、代入数据得出结果.
(1)图中A是轨道的最高点，因此车厢在A处重力势能最大，D是轨道的最低点，因此车厢在D处重力势能最小,动能最大；在C附近，轨道的高度几乎不变，势能几乎不变，因此车厢在这里的动能几乎不变.
(2)设A处为初始位置，其高度为h1，此处车厢速度为v1.根据上面的分析，D处动能最大，因此速度也最大.所以设D处为末位置，其高度为h2，此处车厢速度为v2.根据机械能守恒定律应有mgh1+mv12=mgh2+mv22
消去m，可得v2= m/s=26.5 m/s
车厢的最大速度为26.5 m/s.
(3)设A处为初始位置，G处为又一个末位置，其高度为h3.A处机械能和G处机械能相等.根据功是能量变化的量度，可知，高架滑车在G处附近克服阻力所做的功应等于滑车制动前后机械能的减少.因G处附近重力势能不变，即等于滑车动能的减少.减少量为
mgh1+mv12-mgh3=m［g(h1-h3)+ v12］=103×［10×(40-10)+ ×12］J
=3×105 J.
2.答案：(1)0.8 m/s (2)0.16 m
解析：B下落过程中，它减少的重力势能转化为A的动能和A克服摩擦力做功产生的热能，B下落高度和同一时间内A在桌面上滑动的距离相等，B落地的速度和同一时刻A的速度大小相等，由以上分析，根据能量转化和守恒有：
mBgsB=mbvb2+mava2+μmagsa
vB2=gs=0.64 m2/s2
vB=0.8 m/s.
B落地后，A以va=0.8 m/s的初速度继续向前运动，克服摩擦力做功最后停下，
-μmags′=0-mava2
s′==0.16 m
故B落地后，A在桌面上能继续滑动0.16 m.
3.答案：D
解析：三个球都只受重力，根据机械能守恒，以地面为参考平面，得
mgh+mv02=mvt2
三个球抛出的初速率相等，所以末速度的大小也相等.
4.答案：(1)40 N (2)2.5 m
解析：小球的机械能守恒，以地面为参考平面
(1)设小球在圆弧最高点的速度为v,
mgH=mg·2R+mv2
代入数据得v= m/s
小球在圆弧最高点时mg+N=mv2,
解得N＝40 N
小球对导轨的压力N′等于导轨对小球的支持力N,N′=N＝40 N.
(2)小球恰能经过圆弧的最高点时的速度为v′，此时重力充当向心力.
由mg=m得v′=gR
设小球从高为h′处下滑，根据机械能守恒，mgh′=mg·2R+mv′2得h′＝2.5 m
小球至少从2.5 m高处下滑，能经过圆弧的最高点.
课堂小结
通过本节的学习，我们知道了：
1.机械能守恒定律的理论推导过程.
2.机械能守恒定律的条件.
3.运用机械能守恒定律解题的一般方法.
板书设计
第四节 机械能守恒定律
机械能守恒定律
内容
在只有重力做功的情形下，系统的动能和重力势能发生相互转化，而总的机械能保持不变
在只有弹力做功的情形下，系统的动能和重力势能发生相互转化，而总的机械能保持不变
在只有重力和弹力做功的情况下，系统的动能、重力势能和弹性势能发生相互转化，而总的机械能保持不变
条件
只有重力做功
只有弹力做功
只有重力和弹力做功
表达式
Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
ΔEk=-ΔEp
ΔE=0
ΔE=0
ΔE=0
课后习题详解
1.一个质量为1 kg的物体从离地面20 m高处自由下落，求下降5 m、10 m、15 m、20 m时的速度、重力势能、动能以及重力势能和动能的总和.(取g=10 m/s2)
下降距离(m)
速度v(m/s)
重力势能Ep(J)
动能Ek(J)
(Ep+Ek)(J)
5
10
15
20
答案：
(1)若以地面为参考面
下降距离(m)
速度v(m/s)
重力势能Ep(J)
动能Ek(J)
(Ep+Ek)(J)
资*源%库 ziyuanku.com5
10
150
50
200
10
10
100
100
200
15
50
150
200
20
20
0
200
200
(2)若以离地面20 m高处为零势能参考平面
下降距离(m)
速度v(m/s)
重力势能Ep(J)
动能Ek(J)
(Ep+Ek)(J)
5
10
-50
50
0
10
10
-100
100
0
15
-150
150
0
20
20
-200
200
0
2.忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A.电梯匀速下降
B.物体自由下落
C.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
D.物体沿着斜面匀速下滑
E.铅球运动员抛出的铅球从抛出到落地前
答案：BCE?
解析：A.除了重力做功，还有拉力做功，所以机械能不守恒；或者在下降过程中，动能不变，重力势能减少，机械能减少，所以机械能不守恒.
B.物体只受到重力，只有重力做功，所以机械能守恒.
C.物体受到重力和支持力，但支持力不做功，所以机械能守恒.
D.物体受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力做正功，支持力不做功，摩擦力做负功，所以机械能不守恒.
E.忽略空气阻力，铅球做抛体运动，物体只受到重力，只有重力做功，所以机械能守恒.
3.人造地球卫星沿椭圆形轨道运动(如教材图4-4-5)，由开普勒行星运动规律可知，当卫星从近地点向远地点运动时，卫星的速度越来越小，反之,越来越大.试用机械能守恒定律简单地解释这一现象.
解析：当卫星从近地点向远地点运动时，地球引力对卫星做负功，卫星的动能转化为引力势能，由卫星和地球组成的系统机械能守恒，所以卫星动能减少，速度减小；反之，由远地点向近地点运动时，引力做正功，引力势能转化为动能，速度越来越大.
4.将质量为m的物体以初速度v0＝10 m/s竖直向上抛出，忽略空气阻力，取g=10 m/s2，则：
(1)物体上升的最大高度是多少？
(2)上升过程中，何处重力势能与动能相等？
答案：(1)5 m (2)2.5 m
解析：(1)因为只有重力对物体做功，所以机械能守恒.以抛出点所在的平面为参考平面，设物体上升的最大高度为H,由Ep1+Ek1=Ep2+Ek2，
得mv02+0=0+mgH
H= m=5 m.
(2)取抛出点为参考平面，设物体上升到h1时重力势能与动能相等
由Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
得mv02+0=mv12+mgh1①
由题意得：mv12=mgh1②
②式代入①式得：mv02+0=mgh1+mgh1
代入数据得：h1＝2.5 m.
5.将一个质量为2.0 kg的小球从离地面15 m高的地方水平抛出，抛出时小球的速度为10 m/s，忽略空气阻力，取g=10 m/s2.求：
(1)小球落地时速度的大小；
(2)小球从抛出到落地的重力势能的减少量.
答案：(1)20 m/s (2)300 J
解析：(1)因为只有重力做功，所以机械能守恒，取地面为参考平面
由Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
得：mv02+mgh=mvt2+0
vt=20 m/s.
(2)ΔEp=-WG=-mgh=-2.0×10×15 J=-300 J
重力势能的减少量为300 J.
6.质量1 kg的物体从倾角为30°,长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑,若选初始位置为零势能点,那么,当它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是( )
A.10 J,5 J
B.10 J,15 J
C.0 J,5 J
D.20 J,10 J
答案：C
备课资料
1.机械能转化与守恒定律是怎样被发现的?
1755年至1807年间，瑞士物理学家欧拉(Ｌ.Euler)提出了与速度和重力有关的“力函数”“速度势”概念，法国物理学家拉个朗日(Ｊ.L.C.Lagrange)则给出了“重力势函数”；1807年英国著名物理学家托马斯·杨(T.Young)在《自然哲学与机械技术》讲义中，最先提出了能量的概念，指出产生运动所需要的功等于“物体的质量和速度的二次方积”；1829年，法国物理学家科里奥利建议将托马斯·杨提出的“能量”乘以1/2，称为动能，这很快得到了公认；同年，物理学家庞斯莱明确提出了动能定理.
1834年到1835年间，爱尔兰数学物理学家哈密顿(W.R.Hamilton)提出了哈密顿原理，阐明了保守力场中动能和势能的转化及它们的总和保持不变.这就是机械能转化与守恒定律.
2.过山车中的物理知识
过山车是一种富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.实际上，过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.
在开始时，过山车的小列车是靠一个机械装置的推力推上最高点的，但在第一次下行后，就再也没有任何装置为它提供动力了.事实上，从这时起，带动它沿着轨道行驶的唯一的“发动机”将是引力势能，即由引力势能转化为动能、又由动能转化为引力势能这样一种不断转化的过程构成的.
第一种能，即引力势能是物体因其所处位置而自身拥有的能量，是由于它的高度和由引力产生的加速度而来的.对过山车来说，它的势能在处于最高点时达到了最大值，也就是当它爬升到“山丘”的顶峰时最大.当过山车开始下降时，它的势能就不断地减少(因为高度下降了)，但它不会消失，而是转化成了动能也就是运动能.不过，在能量的转化过程中，由于过山车的车轮与轨道的摩擦而产生了热量，从而损耗了少量的机械能(动能和势能).这就是为什么要设计成随后的小山丘比开始时的小山丘要低的原因：过山车已经没有上升到像前一个小山丘那样的高度所需要的机械能了.过山车最后一节小车厢里是过山车赠送给勇敢的乘客最为刺激的礼物.事实上，下降的感受在过山车的尾部车厢最为强烈.因为最后一节车厢通过最高点时的速度比过山车头部的车厢要快，这是由于引力作用于过山车中部的质量中心的缘故.这样，乘坐在最后一节车厢的人就能快速地达到和跨越最高点，从而产生一种要被抛离的感觉，因为质量中心正在加速向下.尾部车厢的车轮是牢固地扣在轨道上的，否则在到达顶峰附近时，小车厢就可能脱轨甩出去.车头部的车厢情况就不同了，它的质量中心在“身后”，在短时间内，它虽然处在下降的状态，但是它要“等待”质量中心越过高点被引力推动.
到达“疯狂之圈”时，沿直线轨道行进的过山车突然向上转弯.这时，乘客就会有一种被挤压到轨道上的感觉，因为这时产生了一种表观的离心力.事实上，在环形轨道上由于铁轨与过山车相互作用产生了一种向心力.这种环形轨道是略带椭圆形的，目的是为了“平衡”引力的制动效应.当过山车达到圆形轨道的最高点时，事实上它会慢下来，但如果弯曲的程度较小时，这种现象会减弱.一旦过山车走完了它的行程，机械制动装置就会非常安全地使过山车停下来.减速的快慢是由气缸来控制的.
3.多米诺骨牌效应
新华社2000年12月31日和中央电视台2001年元月6日先后报道：在20世纪的最后几分钟里，一项新的多米诺骨牌吉尼斯世界记录，在北京颐和园体育健康城综合馆和网球馆诞生.中国、日本和韩国的62名青年学生，成功推倒340多万张骨牌，一举打破了此前由荷兰人保持的297万张的世界纪录.从电视画面可看出，骨牌瞬间依次倒下的场面蔚为壮观，其间显示的图案丰富多彩，令人惊叹，其中蕴含着一定的科学道理.
这就是“多米诺骨牌效应”.该效应产生的能量是十分巨大的.
这种效应的物理道理是：骨牌竖着时，重心较高，倒下时重心下降，倒下过程中，将其重力势能转化为动能，它倒在第二张牌上，这个动能就转移到第二张牌上，第二张牌将第一张牌转移来的动能和自己倒下过程中由本身具有的重力势能转化来的动能之和，再传到第三张牌上……所以每张牌倒下的时候，具有的动能都比前一块牌大，因此它们的速度一个比一个快，也就是说，它们依次推倒的能量一个比一个大.
大不列颠哥伦比亚大学物理学家A.怀特海德曾经制成了一组骨牌，共13张，第一张最小,长9.53 mm，宽4.76 mm，厚1.19 mm，还不如小手指甲大.以后每张积扩大1.5倍，这个数据是按照一张骨牌倒下时能推倒一张1.5倍体积的骨牌而选定的.最大的第13张长61 mm，宽30.5 mm，厚7.6 mm，牌面大小接近于扑克牌，厚度相当于扑克牌的20倍.把这套骨牌按适当间距排好，轻轻推倒第一张，必然会波及到第13张.第13张骨牌倒下时释放的能量比第一张牌倒下时整整要扩大20多亿倍.因为多米诺骨牌效应的能量是按指数形式增长的.若推倒第一张骨牌要用0.024微焦，倒下的第13张骨牌释放的能量达到51焦.可见多米诺骨牌效应产生的能量的确令人瞠目.
不过A.怀德特毕竟没有制作第32张骨牌，因为它将高达415 m，两倍于纽约帝国大厦.如果真有人制作了这样的一套骨牌，那摩天大厦就会在一指之力下被轰然推倒！
机械能守恒定律
1(海南海口高三调研测试)质量为m的小球，从离地面高h处以初速度v0竖直上抛，小球能上升到离抛出点的最大高度为H.若选取该最高点位置为零势能参考位置，不计阻力，则小球落回抛出点时的机械能是( )
A．0 B．mgH
C.mv＋mgh D．mgh
2下列说法中正确的是( )
A．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和弹力对物体做功，机械能守恒
B．竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒
C．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒
D．水平拉力使物体沿光滑水平面匀加速运动，机械能守恒
3一个人站在阳台上，以相同的速率v0分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率( )
A．上抛球最大
B．下抛球最大
C．平抛球最大
D．三球一样大
4如图所示装置中，木块与水平桌面间的接触面是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
A．子弹与木块组成的系统机械能守恒
B．子弹与木块组成的系统机械能不守恒
C．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
D．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
5美国的NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众，经常有这样的场面：在临终场0.1 s的时间，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的胜利，如果运动员投篮过程中对篮球做功为W，出手高度为h1，篮球筐距地面高度为h2，球的质量为m，空气阻力不计，则篮球进筐时的动能为( )
A．W＋mgh1－mgh2
B．W＋mgh2－mgh1
C．mgh1＋mgh2－W
D．mgh2－mgh1－W
6如图所示，小球自高h处以初速度v0竖直下抛，正好落在弹簧上，把弹簧压缩后又被弹起，弹簧质量不计，空气阻力不计．则( )
A．小球落到弹簧上后立即做减速运动，动能不断减少，但动能与弹性势能总和保持不变
B．在碰到弹簧后的下落过程中，系统的弹性势能与重力势能之和先变小后变大
C．在碰到弹簧后的下落过程中，重力势能与动能之和一直减少
D．小球被弹起后，最高点仍是出发点
7将物体由地面竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍．则这一位置的高度为______．(取地面为参考平面)
8如图所示为某游乐场的翻滚过山车的轨道，竖直圆形轨道的半径为R，现有一节车厢(可视为质点)，从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力，要使过山车通过圆形轨道的最高点，过山车开始下滑时的高度至少应多高？
9.如图，ABC和ABD为两个光滑固定轨道，A、B、E在同一水平面上，C、D、E在同一竖直线上，D点距水平面的高度为h，C点的高度为2h.滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出．
(1)求滑块落到水平面时，落点与E点间的距离sC和sD；
(2)为实现sC＜sD，v0应满足什么条件？
参考答案
1解析：竖直上抛的过程中只有重力对小球做功，小球机械能守恒，所以小球落回抛出时的机械能等于它在最高点时的机械能，即E＝0.
答案：A
2解析：机械能守恒的条件是：只有系统内的重力或系统内的弹簧类弹力对物体做功．系统可以受其他力作用，但其他力不做功，或其他力所做功的代数和为零．对于弹力做功，一定要伴随着弹性势能和动能及重力势能之间的转化．选项A中，弹力对物体做功，但没有弹性势能参与转化，机械能不守恒．选项B中，竖直上抛的物体，只受重力作用，机械能守恒．选项C中，物体除受重力作用外还受斜面支持力作用，但支持力不做功，机械能守恒．选项D也是错误的．
答案：BC
3解析：三球在空中运动轨迹虽然不同，但都只有重力做功，故可用机械能守恒定律求解，选地面为参考平面，对任意球都有mv＝mgh＋mv，所以vt＝.因为它们的h、v0(速度大小)相同，所以落地速度的大小也相同，故选D.
答案：D
4解析：从子弹射入木块到木块压缩至最短的整个过程，由于存在机械能与内能的相互转化，所以对整个系统机械能不守恒．对子弹和木块，除摩擦生热外，还要克服弹簧弹力做功，故机械能也不守恒．
答案：BD
5解析：人掷球过程由动能定理W＝Ek1，球出手后到篮球筐由机械能守恒定律有Ek1＋mgh1＝mgh2＋Ek2，Ek2＝W＋mgh1－mgh2，A对，B、C、D错．
答案：A
6解析：由于没有空气阻力等做功，小球、弹簧、地球三者组成的系统机械能守恒，小球运动过程中，动能、重力势能与弹性势能之和保持不变．
小球碰到弹簧后，开始时弹力小于重力，合力方向向下，小球加速向下运动，动能增加，重力势能减少，弹性势能增加，但弹性势能与重力势能之和将随动能的增加而减少，当小球运动到弹力大小与重力相等时，加速度为零，速度达到最大值．再继续向下运动时，弹力大于重力，合力方向向上，小球将做减速运动，动能减少，弹性势能继续增加，重力势能继续减少，但重力势能与弹性势能之和将随动能的减少而增加，当到达最低点时，小球的速度变为零，即此时动能为零，重力势能与弹性势能之和达到最大值．在小球的下落过程中，重力势能与弹性势能之和经历了先变小后变大的过程．
接触弹簧后，因弹簧不断被压缩，弹性势能不断增加，因而重力势能与动能之和一直减少，从最低点反弹后，动能、重力势能、弹性势能经历了相反的变化过程，最后离开弹簧回到出发点时，由机械能守恒知道小球还有方向向上、大小为v0的速度，从而继续上升到最高点．
答案：BC
7解析：利用机械能守恒定律：解题时只需注意初、末状态，而不必考虑物体的运动过程．
设物体上升到高h处时，动能是重力势能的2倍，即mv2＝2mgh，由机械能守恒定律得
Ep＋Ek＝mgH
mgh＋2mgh＝mgH
h＝.
答案：
8解析：设过山车的质量为m，开始下滑时的高度为h，运动到圆形轨道最高点时的最小速度为v.根据圆周运动的规律，要使过山车通过圆形轨道的最高点，应有mg＝m.
过山车在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒，选取轨道最低点的平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得mv2＋mg·2R＝mgh.
联立以上两式求解得h＝R.
答案：R
9解析：(1)根据机械能守恒，mv＝2mgh＋mv，mv＝mgh＋mv
根据平抛运动规律：2h＝gt，h＝gt
sC＝vCtC，sD＝vDtD
综合得sC＝，sD＝.
(2)为实现sC＜sD，即＜，得v0＜.但滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出，要求v0＞，所以＜v0＜.
答案：(1)sC＝，sD＝ (2)＜v0＜
课件36张PPT。第四节 机械能守恒定律第四章 机械能和能源自主预习
预习新知 夯实基础重点探究
启迪思维 探究重点达标检测
检测评价 达标过关自主预习1.机械能： 势能、 势能与动能统称为机械能.
2.重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能 ，动能
，物体的 转化为 ，若重力对物体做负功，则物体的重力势能 ，动能 ，物体的 转化为 .一、动能与势能的相互转化重力弹性减少增加重力势能动能增加减少动能重力势能3.弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能 ，物体的动能 ，弹簧的 转化为物体的 ；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能 ，物体的动能 ，物体的 转化为 .减少增加弹性势能动能增加减少动能弹簧的弹性势能二、机械能守恒定律1.内容：在只有 或 做功的情形下， 与 可以相互转化，而 保持不变.
2.表达式：Ek1＋Ep1＝ ，即E1＝ .重力弹力动能势能机械能的总量Ek2＋Ep2E2答案即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用.( )
(2)合力为零，物体的机械能一定守恒.( )
(3)合力做功为零，物体的机械能保持不变.( )
(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒.( )×××√2.如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为______.答案mgH图1重点探究如图2所示，质量为m的物体自由下落的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面.
(1)求物体在A、B处的机械能EA、EB；一、机械能守恒定律导学探究答案图2(2)比较物体在A、B处的机械能的大小.答案下落过程中重力对物体做功，重力做的功等于物体重力势能的减少量，则
WG＝mgh1－mgh2由此可知物体在A、B两处的机械能相等.1.对机械能守恒条件的理解
(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等.
(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化.如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒.知识深化(3)重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒.
(4)除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零.如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面运动，拉力与摩擦力的大小相等，方向相反，在此运动过程中，其机械能守恒.2.判断机械能是否守恒的方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变.若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化.
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.例1 (多选)如图3所示，下列关于
机械能是否守恒的判断正确的是
A.甲图中，物体将弹簧压缩的过
程中，物体机械能守恒
B.乙图中，物体在大小等于摩擦力
的拉力F作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒
C.丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒
D.丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒答案解析√图3√解析 弄清楚机械能守恒的条件是分析此问题的关键.表解如下：针对训练1 (多选)如图4所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中
A.弹簧的弹性势能不断增加
B.弹簧的弹性势能不断减少
C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减少
D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变答案解析√图4√解析 从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；
对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确.二、机械能守恒定律的应用1.机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统的两个状态的机械能总量相等.
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量.
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减
此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量.2.机械能守恒定律的应用步骤
首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件.若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解.例2 如图5所示为某游乐场的过山车的简化模型，竖直圆形轨道的半径为R，轨道最下端与水平地面相切.现有一节车厢(可视为质点)，质量为m，从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力.
(1)要使车厢通过圆形轨道的最高点，车厢
开始下滑时距地面的高度至少应多大？答案图5解析解析 设车厢开始下滑时距地面的高度为h，运动到圆形轨道最高点时的最小速度为v，要使车厢通过圆形轨道的最高点，车厢在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒，选取轨道最低点所在平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得(2)运动员起跳时的动能；答案答案 625 J解析 运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，
则运动员起跳时的动能为解析(3)运动员入水时的速度大小.答案答案 15 m/s解析 运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，解析解得v＝15 m/s.达标检测1231.(机械能是否守恒的判断)关于机械能守恒，下列说法正确的是
A.做自由落体运动的物体，机械能一定守恒
B.人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒
C.物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒
D.合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒答案解析4√123解析 做自由落体运动的物体，只受重力作用，机械能守恒，A正确；
人乘电梯加速上升的过程，电梯对人的支持力做功，故人的机械能不守恒，B错误；
物体只有重力做功时，其他力也可存在，当它们不做功或做功之和为0时，机械能也守恒，故C错误；
合外力对物体做功为零，物体的动能不变，机械能不一定守恒，D错误.42.(机械能守恒定律的应用)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图7所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻
力，则
A.h1＝h2＞h3 B.h1＝h2＜h3
C.h1＝h3＜h2 D.h1＝h3＞h2答案解析1234√图712343.(机械能守恒定律的应用)如图8所示，由距离地面h2＝1 m的高度处以v0＝4 m/s的速度斜向上抛出质量为m＝1 kg的物体，当其上升的高度为h1＝0.4 m时到达最高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则
A.物体在最大高度处的重力势能为14 J
B.物体在最大高度处的机械能为16 J
C.物体在地面处的机械能为8 J
D.物体在地面处的动能为8 J√答案1234图8解析解析 物体在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh1＝1×10×0.4 J＝4 J，A错误；
物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即8 J，B错误；
物体在下落过程中，机械能守恒，任意位置的机械能都等于8 J，C正确；
物体落地时的动能Ek＝E－Ep2＝E－mgh2＝8 J－1×10×(－1) J＝18 J，D错误.12344.(机械能守恒定律的应用)如图9所示，在竖直平面内有由 圆弧AB和 圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R，BC弧的半径为 .一小球在A点正上方与A相距处 由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动(不计空气阻力).
(1)求小球在B、A两点的动能之比；答案解析1234答案 5∶1图9解析 设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，1234(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.答案解析1234答案 见解析1234解析 若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0 ④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点.
