2018_2019学年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修5（46张PPT）
文档属性
| 名称 | 2018_2019学年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修5（46张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-25 20:22:32 | ||
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文档简介
课件46张PPT。第 一 章解三角形
在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？1992年9月21日，中国政府决定实施载人航天工程，并确定了三步走的发展战略。第一步，发射载人飞船，建成初步配套的试验性载人飞船工程，开展空间应用实验。第二步，在第一艘载人飞船发射成功后，突破载人飞船和空间飞行器的交会对接技术，并利用载人飞船技术改装、发射一个空间实验室，解决有一定规模的、短期有人照料的空间应用问题。第三步，建造载人空间站，解决有较大规模的、长期有人照料的空间应用问题。目前，工程已完成了第一步任务和第二步任务第一阶段的7次飞行任务，正在集中力量突破载人飞船和空间飞行器的交会对接技术，为实施第三步战略任务做准备。你想知道中国航天人是怎样解决空间的测量问题吗？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法等等．那么怎么解决遥不可及的空间距离的测量等问题呢？从本节开始我们学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这些问题吗？ 1.1 正弦定理和余弦定理第1课时 正弦定理自主预习学案“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题．
1．回顾学过的三角形知识填空
(1)任意三角形的内角和为_________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对________，小边对________．
(2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即______________．
2．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即________________.180° 大于 小于 大角 小角 a2＋b2＝c2 sinA∶sinB∶sinC
4．解三角形
(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
①________________________________________．
②________________________________________________(从而进一步求出其他的边和角)．解三角形 已知任意两角与一边，求其他两边和一角 已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角 (3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，
AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c．
其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4B
[解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B．C D 75° 互动探究学案命题方向1 ?已知两角和一边解三角形 在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求△ABC中其他边与角的大小．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．例题 1『规律总结』 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
②求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．命题方向2 ?已知两边和其中一边的对角解三角形例题 2[分析] 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．『规律总结』 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．D 命题方向3 ?运用正弦定理求三角形的面积例题 3[分析] 本题可先求tanA，tanB的值，由此求出sinA及sinB，再利用正弦定理求出a、b及三角形的面积．
例题 4忽略大边对大角致错 [辨析] 错解中忽略了大边对大角，即a>b，∴A>B，故角B为锐角．数学抽象能力 利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．例题 5[分析] 由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ABC的形状．C 2．已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵acosB＝bcosA，∴由正弦定理，得sinAcosB＝sinBcosA，∴sin(A－B)＝0，
由于－π得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA．
∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，
∴A＋C＝π－B．
∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB．
在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？1992年9月21日，中国政府决定实施载人航天工程，并确定了三步走的发展战略。第一步，发射载人飞船，建成初步配套的试验性载人飞船工程，开展空间应用实验。第二步，在第一艘载人飞船发射成功后，突破载人飞船和空间飞行器的交会对接技术，并利用载人飞船技术改装、发射一个空间实验室，解决有一定规模的、短期有人照料的空间应用问题。第三步，建造载人空间站，解决有较大规模的、长期有人照料的空间应用问题。目前，工程已完成了第一步任务和第二步任务第一阶段的7次飞行任务，正在集中力量突破载人飞船和空间飞行器的交会对接技术，为实施第三步战略任务做准备。你想知道中国航天人是怎样解决空间的测量问题吗？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法等等．那么怎么解决遥不可及的空间距离的测量等问题呢？从本节开始我们学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这些问题吗？ 1.1 正弦定理和余弦定理第1课时 正弦定理自主预习学案“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题．
1．回顾学过的三角形知识填空
(1)任意三角形的内角和为_________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对________，小边对________．
(2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即______________．
2．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即________________.180° 大于 小于 大角 小角 a2＋b2＝c2 sinA∶sinB∶sinC
4．解三角形
(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
①________________________________________．
②________________________________________________(从而进一步求出其他的边和角)．解三角形 已知任意两角与一边，求其他两边和一角 已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角 (3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，
AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c．
其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4B
[解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B．C D 75° 互动探究学案命题方向1 ?已知两角和一边解三角形 在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求△ABC中其他边与角的大小．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．例题 1『规律总结』 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
②求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．命题方向2 ?已知两边和其中一边的对角解三角形例题 2[分析] 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．『规律总结』 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．D 命题方向3 ?运用正弦定理求三角形的面积例题 3[分析] 本题可先求tanA，tanB的值，由此求出sinA及sinB，再利用正弦定理求出a、b及三角形的面积．
例题 4忽略大边对大角致错 [辨析] 错解中忽略了大边对大角，即a>b，∴A>B，故角B为锐角．数学抽象能力 利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．例题 5[分析] 由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ABC的形状．C 2．已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵acosB＝bcosA，∴由正弦定理，得sinAcosB＝sinBcosA，∴sin(A－B)＝0，
由于－π
∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，
∴A＋C＝π－B．
∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB．