江西省赣州市赣县三中2018-2019学年高二下学期3月月考数学（理）试卷解析版

赣县第三中学高二年级2018—2019学年下学期三月考
数学（理科）试卷
命题时间：2019、3、8
班级 姓名 学号 得分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是(　　)
A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．特殊推理
2.如图，方程x＝表示的曲线是(　　)
3．已知函数f(x)＝，则f′＝(　　)
A．－　 B．－ C．－8 D．－16
4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
5．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x
抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．－ B．－4 C．4 D.
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．2 C．1 D．－1
9．用数学归纳法证明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D.
10.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π C．8π D．9π
11.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2　 B．3 C．6 D．8
12.以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
14.已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．
15．根据所给图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数为________．
16．以下关于圆锥曲线的命题中：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|||－|||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋2)(3x－1)；
(2)y＝x·e－x；
(3)y＝sin 2x.
(4)y＝；
(5)y＝xln(1－x)．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
19.(本小题满分12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为
－.
求证：a≠0且<2.
20．(本小题满分12分)数列{an}满足a1＝，前n项和.
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．
21.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
22．(本小题满分12分)如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
(1)求C1，C2的方程；
(2)求证：MA⊥MB；
(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．
2018—2019学年下学期高二三月考理科数学规范答题
一、选择题
1．A
2.解析：选D. x＝，∴x≥0，y≤0∴x2＝－y，表示开口向下的抛物线轴右边的部分．
3．解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，∴f′＝－2－3＝－16.答案：D
4．解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.归纳得f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 答案：C
5．解析：依题意得，y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝－312＋61＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1. 答案：A
6.解析：选B.当直线与抛物线的对称轴平行时，与抛物线也有一个公共点．
7.解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2.∴－＝b2＝4.∴m＝－，故选A.
8．解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0. 答案：A
9．解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，
所以，增乘的式子为＝2(2k＋1)．答案：B
10.解析：选B.设P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，则点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.
11.解析：选C.由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
12. 解析：选C.设椭圆方程为＋＝1(a>1)，由，得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0，由Δ≥0，得a≥，∴e＝＝≤，此时a＝，故椭圆方程为＋＝1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．解析：＝＝()·＝＝. 答案：1∶8
14.解析：由已知可知圆心与BC中点的距离为定值4，由圆的定义知轨迹为以(0，0)为圆心4为半径的圆． 答案：x2＋y2＝16
15．解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.又1＝1＋01；3＝1＋12；7＝1＋23,13＝1＋34,21＝1＋45.猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(n∈N＋)．
答案：n2－n＋1(n∈N＋)
16．解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．答案：③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．解析：
(1)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)＝9x2－2x＋6.……………2分
(2)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.……………4分
（3）y′＝(sin 2x)′＝2·cos 2x＝cos 2x.……………6分
(4)法一：设y＝u，u＝1－2x2，则
y′x＝y′u·u′x＝(－u)(－4x)＝－(1－2x2)－(－4x)＝2x(1－2x2) ＝.
法二：y′＝′＝[(1－2x2)－]′＝－(1－2x2) ·(1－2x2)′＝2x(1－2x2) ＝.……………8分
(5)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′＝ln(1－x)＋x·＝ln(1－x)－.……………10分
18．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝，则f(2)＝. 又f′(x)＝a＋，
于是解得
故f(x)＝x－. ……………6分
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.……………12分
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
19.[证明]　假设a＝0或≥2.
(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，显然b≠0.
由题意得f(x)＝bx在[－1,1]上是单调函数，
所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|.
由已知条件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，
这与|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0.……………6分
(2)当≥2时，由二次函数的对称轴为x＝－，
知f(x)在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．
所以或
又a＋c＝0，则此时b无解，所以<2.
由(1)(2)，得a≠0且<2. ……………12分
20．解　(1)令n＝2，∵a1＝，
∴S2＝a2，即a1＋a2＝3a2.∴a2＝.
令n＝3，得S3＝a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得S4＝a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝. ……………6分
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝ak＝·＝，
Sk＋1＝ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝ak＋1.
∴＋ak＋1＝ak＋1.
∴ak＋1＝＝＝.
当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N*都有an＝.……………12分
21.解：(1)证明：如图所示，
由方程组消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
y1·y2＝－1.
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2.∴y·y＝x1x2.
∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB. ……………6分
(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0. 令y＝0，则x＝－1，即N(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·＝ .
∵S△OAB＝，∴＝ ，解得k＝±.……………12分
22．解：(1)由题意，知＝，所以a2＝2b2.
又2＝2b，得b＝1.所以曲线C2的方程为y＝x2－1，椭圆C1的方程为＋y2＝1.……………4分
(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．
则?x2－kx－1＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝－1，
·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，
所以MA⊥MB. ……………8分
(3)设直线MA的方程为y＝k1x－1，直线MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1，M(0，－1)，
由解得或所以A(k1，k－1)．
同理，可得B(k2，k－1)．
故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|.
由解得或所以D.
同理，可得E.
故S2＝|MD|·|ME|＝··，
＝λ＝＝≥，
当且仅当＝k，即k1＝±1时取等号．
则λ的取值范围是. ……………12分