第17章 一元二次方程单元测试卷
一、单选题（共10题；共40分）
1.把方程 的左边配方后可得方程（?? ）
A.????????????????B.??????????????????C.?????????????????D.?
2.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是（????? ）
A. B. C. D.
3.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（??????? ）
A.11 B.11或13 C.13 D.以上选项都不正确
4.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(? ???)
A. B.且 C. D.且
5.设 ， 是方程x2+ x﹣2018=0的两个实数根，则 的值为（??? ）
A.0 B.1 C.4036 D.2018
6.关于一元二次方程 根的情况，下列说法正确的是（ ??）
A.?有一个实数根??????????B.?有两个相等的实数根???????? C.?有两个不相等的实数根??????D.?没有实数根
7.下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ??）
A.x2+x+2=0 B.x2－x－5=0 C.x2+x－3=0 D.2 x2－x－1=0
8.若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（???? ）
A.???????????????????? B.????????????????????? C.?且 ?????????????????D.?且
9.已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（? ?）
A.???????????????????????????????????? B.??????????????????????????????????? C.?或 ???????????????????????????? D.?或
10.某市体育局要组织一次篮球邀请赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,设应邀请x个球队参加比赛,则可列方程为（??? ）
A.?(x?1)x=28???????????????????? B.?(x+1)x=28?????????????????? C.?(x?1)x=28???????????????????D.?=28
二、填空题（共4题；共20分）
11.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为________ ．
12.已知 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且 ，则 。
13.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，则m取值范围是________．
14.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．
三、解答题（共9题；共90分）
15.解方程：?
（1）（x+3）2=2x+6；
（2）x2﹣2x=8．
16.判断关于x的方程（a－2）x2－ax＋1＝0的根的情况，并说明理由.
17.一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
18.有一幅长20 cm、宽16 cm的照片，现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框，且相框边所占面积为照片面积的二分之一，求相框边宽．
19.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2?2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且 ，求m的值．
已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
（Ⅰ）求实数m的取值范围； （Ⅱ）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．
21.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
23.一个矩形周长为56厘米.
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
第17章 一元二次方程单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共10题；共40分）
1.把方程 的左边配方后可得方程（?? ）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
解： ? ，
? ，
? ，
? .
故答案为： .
2.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是（????? ） A. B. C. D.
解：∵方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根， ∴ ， 解得：a ＞1 ， 故答案为：B 3.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（??????? ）
A.11 B.11或13 C.13 D.以上选项都不正确
解：∵方程 的两根为：
∵三角形的两边长分别为3和6，第三边不能取2，只能取4，则这个三角形的周长为：13，
故答案为：C
4.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(? ???)
A. B.且 C. D.且
解：∵ 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴【-（2K+1）】2-4k2=0且k2≠0， ∴k＞且k≠0。 故答案为：B。 5.设 ， 是方程x2+ x﹣2018=0的两个实数根，则 的值为（??? ）
A.0 B.1 C.4036 D.2018
解：由题意可知 ，再由韦达定理可知ab=-2018，故原式=2018-2018=0，
故答案为：A.
6.关于一元二次方程 根的情况，下列说法正确的是（ ??） A.?有一个实数根???????????B.?有两个相等的实数根???????? C.?有两个不相等的实数根???????? D.?没有实数根
解： ， ， ，
，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故答案为：C
7.下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ??）
A.x2+x+2=0 B.x2－x－5=0 C.x2+x－3=0 D.2 x2－x－1=0
解：对于一元二次方程 的两根为 和 ，则 ；本题中A选项的方程没有实数根.
故答案为：C
8.若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（???? ）
A.???????????????????? B.????????????????????? C.?且 ???????????? ???D.?且
解：∵△=b2-4ac=22-4×k×（-1）≥0，
解上式得，k≥-1，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥-1且k≠0．
故答案为：D．
9.已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（? ?）
A.?????????????????????????????????? B.?????????????????????????????????????C.?或 ??????????????????????????????? D.?或
解：根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2 ， ∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
10.某市体育局要组织一次篮球邀请赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,设应邀请x个球队参加比赛,则可列方程为（??? ）
A.?(x?1)x=28?????????????????? B.?(x+1)x=28??????????????????? C.?(x?1)x=28?????????????????? D.?=28
解：应邀请x个球队参加比赛，每个队都要赛(x?1)场，但两队之间只有一场比赛，
则有： =28，
故答案为：C.
二、填空题（共4题；共20分）
11.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为________
解：一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ 故答案为：-3
12.已知 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1 ， x2 ， 且 ，则 。
解：∵ 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1 ， x2 ，
∴ ，
∵
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∵方程： ， ，
∴ 故答案为：
13.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，则m取值范围是________．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+（m+2）=0有实数根， ∴ ， 解得m≤2且m≠1． 故答案为：m≤2且m≠1 14.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．
解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x， 整理得：4x2+17x-21=0， 解得：x1=1，x2=- （舍去）， 所以，x=1，x+7=8． 故这个两位数是81
三、解答题（共9题；共90分）
15.解方程：?
（1）（x+3）2=2x+6；
（2）x2﹣2x=8．
解：（1） ?
?
?
所以x1=-3，x2=-1 （2）解：x2-2x =8，
x2-2x-8=0，
∴（x-4）（x+2）=0，
所以x1=4，x2=-2．
16.判断关于x的方程（a－2）x2－ax＋1＝0的根的情况，并说明理由.
解：当a=2时，方程-2x+1=0，有一个实数根
当a≠2时，方程为一元二次方程（a－2）x2－ax＋1＝0
>0
此时，方程有两个不相等的实数根
17.一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
解：设平均每次降价的百分率是x，依题意得： 60（1﹣x）2=48.6， 解方程得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）， 答：平均每次降价的百分率是10%．
18.有一幅长20 cm、宽16 cm的照片，现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框，且相框边所占面积为照片面积的二分之一，求相框边宽．
解：设相框边的宽度为x cm，则可列方程： (20＋2x)(16＋2x)＝ ×20×16，解得x1＝2，x2＝－20(舍去)． 答：相框边的宽度为2 cm
19.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2?2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1 ， x2 ， 且 ，求m的值．
（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥ ，
所以m的最小整数值为﹣2。 （2）解：根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，
，
，
∴ ，
整理得 ，解得 。
，
∴m的值为2。
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根 （Ⅰ）求实数m的取值范围； （Ⅱ）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．
解：（Ⅰ）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣4）＞0， ∴m＞ ； （Ⅱ）设此方程的两个实数根为x1 ， x2 则x1+x2=2m+1，x1?x2=m2﹣4， ∵两个实数根的平方和等于15， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2（m2﹣4）=15， 解得：m=﹣3，m=1
21.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长
证明：（1）△=[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k=（k﹣2）2 ， ∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）解：①当b=c时，则△=0， 即（k﹣2）2=0， ∴k=2， 方程可化为x2﹣4x+4=0， ∴x1=x2=2， 而b=c=2， ∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7； ②解：当b=a=3时， ∵x2﹣（k+2）x+2k=0． ∴（x﹣2）（x﹣k）=0， ∴x=2或x=k， ∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根， ∴k=b=3， ∴c=2， ∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8； 综上所述，△ABC的周长为7或8．
22.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
解：设每件童装应降价x元，由题意得： （40-x）（20+2x）=1200， 解得：x1=20，x2=10， 当x=20时，20+2x=60（件）， 当x=10时，20+2x=40（件）， ?∵60>40， ?∴x2=10舍去. 答：每件童装应降价20元.
23.一个矩形周长为56厘米.
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
（1）解：设长为x厘米，则宽为28-x厘米；依题可列方程得：
x（28-x）=180.
化简得：x2-28x+180=0.
解得：x1=10（舍去）,x2=18.
答：长为18厘米，宽为10厘米. （2）解：设长为y厘米，宽为28-y厘米，依题可列方程得：
y（28-y）=200.
化简得：y2-28y+200=0.
∵△=b2-4ac=282-4×200=-16＜0.
∴原方程无解.
∴不能围成面积为200平方厘米的矩形.
