2018_2019学年高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5(37张PPT)

课件37张PPT。第 二 章数列2.2　等差数列第2课时　等差数列的性质自主预习学案
1．等差数列{an}的一些简单性质
(1)对于任意正整数n、m都有an－am＝(n－m)d.
(2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则
ap＋aq＝ar＋______.
特别地对任意正整数p、q、r若p＋q＝2r，则ap＋aq＝_______.as　2ar　
(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差，公差为d，则{ban}也成等差数列，且公差为________.
(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn则{cn}，{dn}都是等差数列．
(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．
bd　
2．等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列，当d<0时，等差数列{an}是单调递______数列；当d>0时，等差数列{an}是单调递______数列．减　增　
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝20，则a2＋a10＝ (　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．16
C．20 D．24
[解析]　由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝20.C　
2．已知等差数列{an}中，a3＝4，a6＝8，则a9＝ (　　)
A．10 B．12
C．14 D．16
[解析]　由等差数列的性质，得2a6＝a3＋a9，
∴a9＝2a6－a3＝16－4＝12.
B　3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ (　　)
A．35 B．38
C．40 D．42
[解析]　∵数列{an}、{bn}都是等差数列，∴a1＋b1＋a5＋b5＝(a1＋a5)＋(b1＋b5)＝2a3＋2b3＝2(a3＋b3)＝42，∴a5＋b5＝42－(a1＋b1)＝42－7＝35.
A　
4．已知等差数列{an}，若a2 008和a2 012是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则a2 003＋a2 017＝_____.
[解析]　由题意得a2 008＋a2 012＝5，
又∵数列{an}为等差数列，
∴a2 003＋a2 017＝a2 008＋a2 012＝5.
5　
5．在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝18，a6＋a8＋a10＝27，若ak＝21，求k的值．
[解析]　∵a4＋a7＋a10＝3a7＝18，∴a7＝6，又∵a6＋a8＋a10＝3a8＝27，∴a8＝9，
∴公差d＝a8－a7＝3，又ak＝21，
∴ak＝a7＋(k－7)d，∴21＝6＋3(k－7)，
∴k＝12.互动探究学案命题方向1　?等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用　　　　　若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例题 1[点评]　1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75.
2．因为{an}为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
3．解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分．『规律总结』　解答数列问题，读题、审题时一定要注意观察项的下标是否具有某种关系(或规律)，这种关系(或规律)往往就是应用性质解题的突破口．〔跟踪练习1〕
等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.7　命题方向2　?运用等差数列性质am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题　　　　　在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式．
[分析]　要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2＋a5＋a8＝9和a3a5a7＝－21直接求解很困难，这样促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a2＋a8＝2a5＝a3＋a7问题就好解了．例题 2
[解析]　∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
又∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a3＋a7＝2a5＝6， ①
∴a3·a7＝－7， ②
由①、②解得a3＝－1，a7＝7，或a3＝7，a7＝－1，
∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.
由an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7，或an＝－2n＋13.『规律总结』　解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差建立方程(组)求解．〔跟踪练习2〕
在等差数列{an}中，已知a7＋a8＝16，则a2＋a13＝ (　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
[解析]　在等差数列{an}中，a2＋a13＝a7＋a8＝16，故选B．B　命题方向3　?等差数列的综合应用　　　　　在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．
[分析]　利用等差中项先求角B，再确定A、C的关系，判断出三角形的形状．例题 3『规律总结』　审清题意，将文字语言翻译转化为数学语言是一项重要的基本功．要注意有意识的加强训练．D　　　　　　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，该数列从第几项开始为正数．例题 4[辨析]　错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，此时a24＝0.[警示]　解题时要加强对题中关键词的理解，提高审题能力；二是加强等价转化的训练，防止不等价转化致误．三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．对称项的设法 　　　　　成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．例题 51．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝ (　　)
A．64　　 B．30　　
C．31　　 D．15D　2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为 (　　)
A．30 B．27
C．24 D．21
[解析]　设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.
A　3．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝__________.3n－1　4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．