2018_2019学年高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5（35张PPT）

课件35张PPT。第 二 章数列2.4　等比数列第1课时　等比数列的概念与通项公式自主预习学案我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？
1．等比数列的定义
如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的比都等于______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母______表示．
第2项　同一个常数　公比　q　2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)，
填表：3．等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成____________，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么___________，即____________.q　a1qn－1　等比数列　G2＝xy　B　
2．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有 (　　)
A．① B．③
C．①③ D．②④
[解析]　公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④只有同号的两项才有等比中项，∴只有③正确．
B　
3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于 (　　)
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
[解析]　∵a4＝a1q3＝8×q3＝64，∴q3＝8，q＝2.
∴a3＝a1q2＝8×22＝32.
C　4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝______________.－2n或(－2)n　5．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，求公比q的值．互动探究学案命题方向1　?等比数列的通项公式　　　　　已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
[分析]　(1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q，故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可．
(2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a3＝8求得a2，再解关于a1与a3的方程组，即可获解．例题 1『规律总结』　求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a1，an，n，q四个量中，已知三个可求另一个．〔跟踪练习1〕
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.命题方向2　?等比数列的判定与证明　　　　　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．例题 2
〔跟踪练习2〕
数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．命题方向3　?等比中项　　　　　等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 (　　)
A．90　　　　　 B．100
C．145 D．190例题 3B　『规律总结』　等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用．②用来判断或证明等比数列．〔跟踪练习3〕
在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝_____.1　　　　　　等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．例题 4忽视等比中项的符号致错 [辨析]　错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．　　　　　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[分析]　根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．例题 5数列的实际应用问题 [解析]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得8.857万元．『规律总结』　解答数列实际应用问题的一般思路
(1)建模：根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型；
(2)解模：利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解；
(3)还原：把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 (　　)
A．64　　　　　　　　 B．81
C．128 D．243
[解析]　设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，∴a7＝26＝64.A　
2．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于 (　　)
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
[解析]　∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0.解得q＝1或q＝－2.故选B．B　4