第8讲 平面直角坐标系
【知识扫描】
知识点一 有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a，b）。利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置。如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号。
【例1】如果将一张“9排5号”的电影票简记为（9，5），那么（15，2）表示的电影票表示的是______排______号．
【变式】下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏东30° B．祥云花园4楼8号
C．希望路25号 D．东经118°，北纬40°
知识点二 平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。
2. 平面内点的坐标
由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为（a，b）．
点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来。
【例2】写出图中A、B、C、D、E、F各点的坐标：
【变式】在平面直角坐标系中，点M（－3，－2）到x轴的距离是（ ）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
【例3】在图中的直角坐标系中描出下列各点：
A（2，3）， B（－2，3）， C（0，－4）
D（－2，0），E（－3，－1），F（3，－2）
【变式】在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（－2，－1），B（4，－1），C（3，2），D（0，2），并计算四边形ABCD的面积
知识点三 坐标平面及特殊点的坐标特征
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面被两条坐标轴分成四个部分，从右上角开始按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
（1）各象限内点的坐标特征
第一象限内的点（x，y）坐标满足：x＞0，y＞0
第二象限内的点（x，y）坐标满足：x＜0，y＞0
第三象限内的点（x，y）坐标满足：x＜0，y＜0
第四象限内的点（x，y）坐标满足：x＞0，y＜0
（2）坐标轴上点的坐标
在x轴上的点，纵坐标为0，横坐标为实数，通常表示为（x，0）
在y轴上的点，横坐标为0，纵坐标为实数，通常表示为（0，y）
即，若点（x，y）在x轴上，则y＝0；若点（x，y）在y轴上，则x＝0
原点表示为O（0，0），从而，若点（x，y）在坐标轴上，则一定有xy＝0
（3）对称点的坐标特征
（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）；
（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）；
（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）。
（4）象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为（a，a）；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为（a，－a）
（5）平行于坐标轴直线上的点的坐标特点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【例4】在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m＋3）．
（1）若点M在x轴上，求m的值；
（2）若点M在第二象限内，求m的取值范围；
（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值
【变式】点M（－2019，2019）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点探究】
考点一 用“有序数对”表示路径
【例5】如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用（2，2）→（2，3）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（5，4）表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出由家到学校的另外一种路径：________________________
考点二 由点到坐标的距离确定点的坐标
【例6】在平面直角坐标系中，点M在x轴的上方，y轴的左面，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为7，则点M的坐标是________
【变式】若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（2，0）或（－2，0）
C．（0，2） D．（0，2）或（0，－2）
考点三 由点的坐标求图形的面积
【例7】已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（－1，0）、C（2，1）．求△ABC的面积。
【变式】在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（3，1），B（－3，1），C（－4，－3），D（4，－3）．顺次连接这四个点，求此四边形的面积．
考点四 用平面直角坐标系探究动点问题
【例8】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（－1，1），第2次接着运动到点（－2，0），第3次接着运动到点（－3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2018，0） B．（－2018，1） C．（－2018，2） D．（－2018，0）
【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（－1，1）
C．（－1，－2） D．（1，－2）
第8讲 平面直角坐标系（巩固练习）
一、选择题
1. 在平面内，确定一个点的位置一般需要的数据个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 若点P（m，n）在第二象限，则点Q（－m，－n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知点A（2a＋1，5a－2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m＋7，m－1）在二、四象限的角平分线上，则（ ）
A．a＝1，m＝－2 B．a＝1，m＝2 C．a＝－1，m＝－2 D．a＝－1，m＝2
4. 若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（5，1）或（－1，1）
C．（－1，1） D．（2，4）或（2，－2）
5. 已知点A（2x－4，x＋2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或－2 B．－2 C．2 D．非上述答案
二、填空题
6. 有序数对（2x－1，5－3y）表示的点是（5，2），则x＝________，y＝________
7. 点P（m－1，m＋3）在平面直角坐标系的y轴上，则P点坐标为_________
8. 点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，那么点P的坐标是_______
9. 已知点P的坐标(2－a，3a＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是_______
10. 已知A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△PAB面积是5，则点P的坐标是________
三、解答题
11. 如图，“马”所处的位置为（2，3），其中“马”走的规则是沿着“日”字形的对角线走。
（1）用坐标表示图中“象”的位置是___________
（2）写出“马”下一步可以到达的所有位置的坐标
12. 在平面直角坐标系中，已知点A（－2，0），B（2，0）
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，画出等腰三角形ABC，使顶点C在y轴正半轴上，且到x轴的距离为3；
（2）求ABC的面积．
13. 已知点P（2m＋6，m－3）是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
（1）点P在y轴上，则点P的坐标为_________；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3，则点P的坐标为_________；
（3）点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为_________；
（4）点P在过A（2，－3）点且与x轴平行的直线上，则点P的坐标为_________。
14. （1）在平面直角坐标系中，描出下列4个点：A（0，2），B（－1，0），C（5，0），D（3，4）．
（2）顺次连接A，B，C，D，组成四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
15. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4(_____，_____)，A8(_____，_____)，A12(_____，_____)
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向
第8讲 平面直角坐标系
【知识扫描】
知识点一 有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a，b）。利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置。如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号。
【例1】如果将一张“9排5号”的电影票简记为（9，5），那么（15，2）表示的电影票表示的是______排______号．
【解答】解：∵“9排5号”的电影票简记为（9，5），
∴（15，2）的电影票表示为15排2号。
【变式】下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏东30° B．祥云花园4楼8号
C．希望路25号 D．东经118°，北纬40°
【解答】A
知识点二 平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。
2. 平面内点的坐标
由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为（a，b）．
点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来。
【例2】写出图中A、B、C、D、E、F各点的坐标：
【解答】解：根据点在坐标系的位置，得
A（2，3）， B（3，2），
C（－3，1），D（－2，－2），
E（1，0）， F（0，－3）．
【变式】在平面直角坐标系中，点M（－3，－2）到x轴的距离是（ ）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
【解答】B
【例3】在图中的直角坐标系中描出下列各点：
A（2，3）， B（－2，3）， C（0，－4）
D（－2，0），E（－3，－1），F（3，－2）
【解答】解：如图所示：
【变式】在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（－2，－1），B（4，－1），C（3，2），D（0，2），并计算四边形ABCD的面积
【解答】如图
知识点三 坐标平面及特殊点的坐标特征
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面被两条坐标轴分成四个部分，从右上角开始按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
（1）各象限内点的坐标特征
第一象限内的点（x，y）坐标满足：x＞0，y＞0
第二象限内的点（x，y）坐标满足：x＜0，y＞0
第三象限内的点（x，y）坐标满足：x＜0，y＜0
第四象限内的点（x，y）坐标满足：x＞0，y＜0
（2）坐标轴上点的坐标
在x轴上的点，纵坐标为0，横坐标为实数，通常表示为（x，0）
在y轴上的点，横坐标为0，纵坐标为实数，通常表示为（0，y）
即，若点（x，y）在x轴上，则y＝0；若点（x，y）在y轴上，则x＝0
原点表示为O（0，0），从而，若点（x，y）在坐标轴上，则一定有xy＝0
（3）对称点的坐标特征
（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）；
（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）；
（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）。
（4）象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为（a，a）；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为（a，－a）
（5）平行于坐标轴直线上的点的坐标特点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【例4】在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m＋3）．
（1）若点M在x轴上，求m的值；
（2）若点M在第二象限内，求m的取值范围；
（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值
【解答】解：（1）∵点M在x轴上
∴2m＋3＝0
解得：m＝－1.5；
（2）∵点M在第二象限内
∴
解得：－1.5＜m＜0；
（3）∵点M在第一、三象限的角平分线上，
∴m＝2m＋3，
解得：m＝－3
【变式】点M（－2019，2019）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】B
【考点探究】
考点一 用“有序数对”表示路径
【例5】如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用（2，2）→（2，3）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（5，4）表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出由家到学校的另外一种路径：________________
【解答】解：李老师从家到学校上班的路线可以为：（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）．
考点二 由点到坐标的距离确定点的坐标
【例6】在平面直角坐标系中，点M在x轴的上方，y轴的左面，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为7，则点M的坐标是________
【解答】解：由题意，得x＝－7，y＝4，
即M点的坐标是（－7，4）
【变式】若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（2，0）或（－2，0）
C．（0，2） D．（0，2）或（0，－2）
【解答】解：∵点P在x轴上
∴点P的纵坐标等于0
又∵点P到y轴的距离是2
∴点P的横坐标是±2
故点P的坐标为（2，0）或（－2，0）
故选：B．
考点三 由点的坐标求图形的面积
【例7】已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（－1，0）、C（2，1）．求△ABC的面积。
【解答】解：如图
【变式】在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（3，1），B（－3，1），C（－4，－3），D（4，－3）．顺次连接这四个点，求此四边形的面积．
【解答】解：如图所示．
∵AB∥CD，且AB＜CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴
考点四 用平面直角坐标系探究动点问题
【例8】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（－1，1），第2次接着运动到点（－2，0），第3次接着运动到点（－3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2018，0） B．（－2018，1） C．（－2018，2） D．（－2018，0）
【解答】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（－1，1），
第2次接着运动到点（－2，0），第3次接着运动到点（－3，2），
∴第4次运动到点（－4，0），第5次接着运动到点（－5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2018次运动后，动点P的横坐标为－2018，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2018次运动后，动点P的纵坐标为：2018÷4＝504……2，
故纵坐标为四个数中第2个，即为0，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是：（－2018，0），
故选：D．
【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（－1，1）
C．（－1，－2） D．（1，－2）
【解答】解：由题意知每四个点为一周期循环，
∵2018÷4＝504……2，
∴第2018个点所在的坐标与第2个点所在的坐标相同，即第2018个点所在的坐标是（－1，1），
故选：B
第8讲 平面直角坐标系（巩固练习）
一、选择题
1. 在平面内，确定一个点的位置一般需要的数据个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在一个平面内，一对有序实数确定一个点的位置，即2个数据。故选B
2. 若点P（m，n）在第二象限，则点Q（－m，－n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点P（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴－m＞0，－n＜0，
∴Q（－m，－n）在第四象限
故选D
3. 已知点A（2a＋1，5a－2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m＋7，m－1）在二、四象限的角平分线上，则（ ）
A．a＝1，m＝－2 B．a＝1，m＝2 C．a＝－1，m＝－2 D．a＝－1，m＝2
【解答】解：由已知条件知，点A位于一、三象限夹角平分线上，
所以有2a＋1＝5a－2，
解得：a＝1；
∵点B（2m＋7，m－1）在第二、四象限的夹角角平分线上，
∴(2m＋7)＋(m－1)＝0，
解得：m＝－2．
故选：A
4. 若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（5，1）或（－1，1）
C．（－1，1） D．（2，4）或（2，－2）
【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（2，1），
∴A、B两点纵坐标都是1，
又∵AB＝3，
∴当B点在A点左边时，B的坐标为（－1，1），
当B点在A点右边时，B的坐标为（5，1）．故选：C．
5. 已知点A（2x－4，x＋2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或－2 B．－2 C．2 D．非上述答案
【解答】解：∵点A（2x－4，x＋2）在坐标轴上，
∴当2x－4＝0时，x＝2，
当x＋2＝0时，x＝－2，
∴x的值为±2，
故选：A
二、填空题
6. 有序数对（2x－1，5－3y）表示的点是（5，2），则x＝________，y＝________
【解答】解：由有序数对（2x－1，5－3y）表示的点是（5，2），得
2x－1＝5，5－3y＝2
∴x＝3，y＝1
7. 点P（m－1，m＋3）在平面直角坐标系的y轴上，则P点坐标为_________
【解答】解：∵点P（m－1，m＋3）在平面直角坐标系的y轴上，
∴m－1＝0，解得：m＝1，
故m＋3＝4，
则P点坐标为：（0，4）．
8. 点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，那么点P的坐标是_______
【解答】解：∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5
∴P的纵坐标的绝对值为4，横坐标的绝对值为5
∵点P在第二象限内
∴横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正
∴P的坐标为（－5，4）．
9. 已知点P的坐标(2－a，3a＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是_____
【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，
∴分以下两种情考虑：
①横纵坐标相等时，即当2－a＝3a＋6时，解得a＝－1，
∴点P的坐标是（3，3）；
②横纵坐标互为相反数时，即当(2－a)＋(3a＋6)＝0时，解得a＝－4，
∴点P的坐标是（6，－6）．
10. 已知A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△PAB面积是5，则点P的坐标是________
【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，
∴AP边上的高为2，
又∵△PAB的面积为5，
∴AP＝5，
而点P可能在点A（1，0）的左边或者右边，
∴P（－4，0）或（6，0）
三、解答题
11. 如图，“马”所处的位置为（2，3），其中“马”走的规则是沿着“日”字形的对角线走。
（1）用坐标表示图中“象”的位置是___________
（2）写出“马”下一步可以到达的所有位置的坐标
【解答】解：（1）（5，3）；
（2）如图，
（1，1），（3，1），
（4，2），（4，4），
（1，5），（3，5）．
12. 在平面直角坐标系中，已知点A（－2，0），B（2，0）
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，画出等腰三角形ABC，使顶点C在y轴正半轴上，且到x轴的距离为3；
（2）求ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）∵A（－2，0），B（2，0），C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴
13. 已知点P（2m＋6，m－3）是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
（1）点P在y轴上，则点P的坐标为_________；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3，则点P的坐标为_________；
（3）点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为_________；
（4）点P在过A（2，－3）点且与x轴平行的直线上，则点P的坐标为_________。
【解答】解：（1）∵点P（2m＋6，m－3）在y轴上
∴2m＋6＝0
解得m＝－3
∴m－3＝－3－3＝－6
∴点P的坐标为（0，－6）；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大3
∴(m－3)－(2m＋6)＝3
解得m＝－12
∴2m＋6＝2×(－12)＋6＝－18
m－3＝－12－3＝－15
∴点P的坐标为（－18，－15）；
（3）∵点P在一、三象限角平分线所在直线上，
∴2m＋6＝m－3，
解得m＝－9，
∴2m＋6＝2×(－9)＋6＝－12，
∴点P的坐标为（－12，－12）；
（4）∵点P在过A（2，－3）点且与x轴平行的直线上，
∴m－3＝－3，
解得m＝0，
∴2m＋6＝6，
∴点P的坐标为（6，－3）．
14. （1）在平面直角坐标系中，描出下列4个点：A（0，2），B（－1，0），C（5，0），D（3，4）．
（2）顺次连接A，B，C，D，组成四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）
15. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4(_____，_____)，A8(_____，_____)，A12(_____，_____)
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向
【解答】解：（1）A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）；
（2）当n＝1时，A4（2，0），
当n＝2时，A8（4，0），
当n＝3时，A12（6，0），
所以A4n（2n，0）；
（3）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0），A101的（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上．
