第五章-圆周运动 重难点突破

人教版物理必修2-第五章——圆周运动重难点突破

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基础知识梳理
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重点知识回顾
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1．线速度
质点沿圆周运动在一段很短的时间内，通过的弧长为，则该点的线速度为。
某点线速度的方向为该点的切线方向。
2．角速度
质点沿圆周运动在很短的时间内转过的角为，则角速度为。
3．转速、周期、频率
⑴ 转速是指物体单位时间所转过的圈数，单位为转每秒，符号是。（工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢）
⑵ 周期是指物体转过一周所用的时间。
⑶ 频率是指物体在单位时间内转过的圈数，单位是赫兹，符号是。频率高说明物体运动得快，频率低说明运动得慢。
4．线速度、角速度、转速、周期、频率之间的关系
，，，
5．向心加速度
⑴ 任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。向心加速度的大小描述线速度方向改变的快慢。
⑵
⑶ 变速圆周运动中的总加速度并不指向圆心。可以将该加速度分解，指向圆心的分量即为向心加速度；沿切线方向的分量称为切向加速度，它描述线速度大小改变的快慢。
6．向心力
⑴ 做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力，这个力称为向心力。向心力是根据力的作用效果命名的，充当向心力的可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
⑵
⑶ 在变速圆周运动中，合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度；沿切线方向的分力使物体产生切向加速度。
7．匀速圆周运动
物体沿着圆周运动，且线速度大小处处相等，这种运动称为匀速圆周运动。要注意的是，匀速圆周运动的线速度方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。

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基础训练
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质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是
A．线速度越大，角速度一定越大 B．周期越大，角速度一定越小
C．周期越大，转速一定越小 D．角速度越大，半径一定越小
BC


甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为，线速度之比为，那么下列说法中正确的是
A．它们的半径之比是 B．它们的半径比是
C．它们的周期之比是 D．它们的周期比是
【答案】AD

如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比。
，



下列关于向心力的说法中正确的是
A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
B．做匀速圆周运动的物体所受的向心力总指向圆心，且大小不变，因此是一个恒力
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是其中某几种力的合力
D．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
CD


甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为，转动半径之比为，在相等时间里甲转过，乙转动，则它们所受外力的合力之比为
A． B． C． D．
C


下列说法中正确的是
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断改变的运动
D．匀速圆周运动是一种平衡状态
C


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1.1
向心力分析
)
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知识点睛
)
1．向心力来源分析
通过秋季（或寒假）课程的学习，我们已经知道向心力是效果力，可以由某一性质的力提供，也可由某几个力的合力或某一个力的分力提供。分析向心力的一般步骤是：
⑴ 首先确定圆周运动的轨道所在的平面；
⑵ 其次找出轨道圆心的位置；
⑶ 最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力图，找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力。
向心力的分析是圆周运动部分的重点和难点之一，因此，我们在春季继续强化一下这部分的内容。下面列出一些圆周运动的实例，请大家对向心力进行分析。
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教师版说明：学生版中只有运动实例的图，其它内容是空白，可以让学生自己练习。
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运动实例 受力分析 力的正交分解（沿加速度方向） 满足的方程







2．生活中的圆周运动实例分析
⑴ 火车转弯问题
火车转弯时实际是在做圆周运动，如果铁路弯道的内外轨是一样高的，那么火车转弯时外侧车轮的轮缘将挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力。但是火车的质量太大，靠这种方法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。因此，修筑铁路时，通常根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力和地面支持力的合力来提供，以减小对铁轨的挤压（如图所示）。

设火车两轨间距为，内外轨高度差为，转弯处的轨道半径为，则
，
联立解得。
① 当火车行驶速率等于时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力；
② 当火车行驶速率大于时，外轨道对轮缘有侧压力；
③ 当火车行驶速率小于时，内轨道对轮缘有侧压力．
⑵ 汽车过拱桥
① 汽车过桥时的运动也可以看做圆周运动。设汽车的质量为在拱形桥上以速度前进，桥面的圆弧半径为。则汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供汽车运动的向心力，即

解得：
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等。因此，汽车对桥的压力。
当速度不为零时，汽车处于失重状态。
② 同理大家可以分析一下汽车通过凹形桥的情景，

当速度不为零时，汽车处于超重状态。
⑶ 航天器中的失重现象
航天飞船绕地球的运动也可以看做匀速圆周运动，当飞船离地面的高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径，航天员受到的引力近似等于它在地面处的重力。航天员在飞船中受到地球的引力和座舱对他的支持力，二者的合力提供了他绕地球做圆周运动的向心力， 。
即
可见，航天员处于失重状态（这个情景实际上与汽车过拱桥的情景没有本质区别）。
3．离心运动
做匀速圆周运动的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。离心运动是物体具有惯性的表现，而不是因为受到什么离心力。
设做匀速圆周运动的物体的质量为，转动角速度为，转动半径为，所受的合外力为。物体做匀速圆周运动所需的向心力。
⑴ 当时，此时“提供”满足“需要”，物体做匀速圆周运动；
⑵ 当时，此时“提供”小于“需要”，物体做离心运动；
⑶ 当时，此时“提供”大于“需要”，物体做近心运动。
在圆周运动中经常涉及临界问题，分析这类问题时，首先应考虑清楚临界情况下物体所处的状态，然后分析该状态物体的受力特点，再结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程进行求解。其中竖直面内的临界问题我们将在模块1.2中进行重点分析。

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例题精讲
)

有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形的大容器，筒壁竖直，游客进入容器之后靠着筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加大到一定程度的时候，突然地板陷落，这个时候游客发现自己没有掉下去，这是因为
A 游客受到筒壁的作用力垂直于筒壁
B 游客处于失重状态
C 游客受到静摩擦力等于重力
D 游客随着转速的增大有沿着筒壁向上滑动的趋势
C

质量不计的轻质弹性杆插在桌面上，杆端套有一个质量为的小球，今使小球沿水平方向做半径为的匀速圆周运动，角速度为，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为
A．
B．
C．
D．不能确定
C

如图所示，一根光滑的轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，A、B两球可看做质点，穿在杆上，并用细线分别连接OA和AB，且OA=AB，已知B球质量为A球质量的2倍。当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，OA和AB两线的拉力之比为
A．2∶1 B．1∶2 C．5∶1 D．5∶4
D


如图所示，水平转盘上的、、三处，有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块；、处物块的质量相等且为m，处物块的质量为2m；点、与轴O的距离相等且为r，点到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，、、处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是
A．处物块的向心加速度最大
B．处物块受到的静摩擦力最小
C．当转速增大时，最先滑动起来的是处的物块
D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是处的物块
AC

有一列重为的火车，以的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为。（取）
⑴ 试计算铁轨受到的侧压力大小；
⑵ 若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为0，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度的正切值。
，
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火车转弯是比较常见的模型，如果想再巩固一下结论，可以用这个题再练一下。
关于火车转弯问题，以下说法正确的是
A．火车转弯速率小于规定的数值时，外轨受的压力会增大
B．火车转弯速率大于规定的数值时，外轨受的压力会增大
C．火车提速后，要将转弯处的外轨适当抬高
D．火车提速后，要将转弯处的内轨适当抬高
BC
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一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，如图所示，一条长度为的细绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小物体（物体可视为质点）。物体以速率绕圆锥体的轴线做水平面上的匀速圆周运动。
⑴ 当时，求绳对物体的拉力；
⑵ 当时，求绳对物体的拉力。



如图所示，水平转盘上放有质量为的物块，当物块到转轴的距离为时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零），物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的倍。求
⑴ 当转盘的角速度为时，细绳的拉力；
⑵ 当转盘的角速度为时，细绳的拉力。




如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以一定角速度ω匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与之间的夹角为。重力加速度大小为g。
⑴ 若时，小物块受到的摩擦力恰好为零，求；
⑵ ，且，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
⑴ ⑵ 当时，，沿罐壁切线向下；当时，，沿罐壁切线向上 。

(
1.2
竖直面内的圆周运动
)
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知识点睛
)
1．受力分析
用轻绳拉着小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，小球运动到点时受到重力和拉力的作用，将重力分解为、，则拉力与的合力提供向心力；提供切向力，改变速度的大小。除最高点和最低点外，其他各点的切向加速度均不为零，因此小球做变速圆周运动。
小球在圆心下方位置时：，即，小球位置越靠上，越大，越小，张力越小，在任一位置处，在最低点绳中拉力最大，。
同理，小球位置在圆心上方时，，小球越靠上，越小，速度越小，绳中张力越小。球在最高点张力最小（前提是小球能上升到最高点，即），。
2．竖直平面内圆周运动的临界问题
通过受力分析可知，物体在竖直平面内做圆周运动时，一般在通过最高点时处于临界状态，下面我们重点研究一下这个问题。
⑴ 如图所示，绳拉小球在竖直平面内做圆周运动时过最高点的情况：
① 临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力刚好等于零，则小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即。是小球通过最高点的最小速度，。
② 能过最高点的条件：（此时绳对球产生拉力）。
③ 不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）。
⑵ 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动时过最高点的情况：
① 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度。
② 如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：
当时，轻杆对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即；
当时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小；
当时，；
当时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

③ 如图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：
当时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球重力，即；
当时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小；
当时，；
当时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。
⑶ 光滑球面上的物体在竖直平面内做圆周运动的情况（例如汽车过拱桥即属于这种情况）：
由于球面只能提供支持力，不能提供拉力，所以：
① 当物体在最高点的速度为时，物体将做平抛运动而脱离球面
② 当物体在最高点的速度为时，物体将先沿斜面下滑，然后做斜下抛运动而脱离球面。
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例题精讲
)
如图所示，一质量为的木块从光滑半球形的碗边开始下滑，在木块下滑过程中
A．它的加速度方向指向球心
B．它所受合力就是向心力
C．它所需向心力不断增大
D．它对碗的压力不断减小
C

乘坐游乐场的过山车时，质量为的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图所示，下列说法正确的是
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于
C．人在最低点时，处于超重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于
CD

杂技表演中的水流星，能使水碗中的水在竖直平面内做圆周运动。设、、分别表示水碗运动到最高点处的线速度、加速度和角速度，则要使水碗运动到最高点处水不流出，应满足的条件是
A． B．
C． D．
ABCD

质量为的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管横截面的直径，如图所示。已知小球以速度通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为，则小球以速度通过圆管的最高点时
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力等于
C．小球对圆管内壁的压力等于
D．小球对圆管内壁的压力等于
C

如图所示，小物块位于半径为的半球顶端，若小球的初速度为时，物块对球顶恰无压力，则以下说法正确的是
A．物块立即离开球面做平抛运动，不再沿圆弧下滑
B．
C．物块落地点距球顶水平距离为
D．物块落地速度方向和水平地面成角
ABC

如图所示，质量的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥和凸形桥（近似认为凹形桥和凸形桥与水平路面的高度差很小，所以汽车行驶过程中速率不变），两桥的圆弧半径均为，如果桥面承受的压力不超过，则：
⑴ 汽车允许的最大速率是多少？（取）
⑵ 若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？

⑴ ⑵

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1
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