6.3 万有引力定律 应用专题

人教版物理必修2-第六章——万有引力-应用专题

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3.1
万有引力与重力
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知识点睛
)
1．万有引力与重力
寒假的课程中我们已经学习过：重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的，但是二者不完全相等。由于地球上的物体随地球一起自转，因此万有引力一共产生两个作用效果（如图所示）：一个效果是提供物体做圆周运动的向心力，方向指向地轴与纬度平面的交点，即轨道的圆心；另一个效果就是物体的重力，方向竖直向下。
由于，随纬度的增大而减小，因此，物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。
2．“黄金代换”
由于一般很小，在高中阶段，一般情况下不考虑地球自转，可以认为万有引力和重力近似相等，在地面上有，即，这个公式称为“黄金代换”公式。
3．重力加速度的计算
基本原理：重力等于万有引力。
⑴ 地球表面附近的重力加速度
。
⑵ 地球上空距地面处的重力加速度
由重力等于万有引力可得，；又由，
联立可得：。
⑶ 任意天体表面附近的重力加速度
由重力等于万有引力可得：（为该星球质量，为该星球半径），又由，
联立可得。
4．利用重力加速度求解卫星运行的线速度、角速度、周期、向心加速度
由于万有引力近似等于重力，我们也可以认为卫星做圆周运动的向心力由地球对卫星吸引产生的重力提供。重力大小为，表示距地面高度处的重力加速度，表示地面处的重力加速度。设卫星的轨道半径为、线速度大小为、角速度为、周期为、向心加速度为。
⑴ 向心加速度规律
由可得， ；当时，，与第2讲中得到的结果相同。
⑵ 线速度规律
由可得，，当时，，这是卫星环绕地球的最大环绕速度（等于第一宇宙速度），与第2讲中得到的结果相同。
⑶ 角速度规律
由可得，
⑷ 周期规律
，当时，
使用这种方法时要注意两点：
⑴ 对于不同的中心天体，其表面的重力加速度是不同的
⑵ 不能根据，，判断、、与成正比或成反比，因为也与有关，并不是常量。
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结合第2讲的内容，我们一共学习了两种求解卫星运行的线速度、角速度、周期、向心加速度的方法：一种是利用万有引力等于向心力；另一种是利用重力等于向心力。
万有引力部分的关键就是搞清万有引力、重力、向心力三者的关系。常用的两种处理方法就是① 万有引力等于向心力；②重力等于向心力。在后面处理天体质量、密度等问题时，我们还会用到这些内容。
)
5．卫星的超重与失重
卫星在进入正式轨道前的加速过程，由于具有向上的加速度而超重；卫星进入轨道后的正常运转过程中，由于万有引力完全充当向心力，产生指向地心的向心加速度，因此处于完全失重状态，平常由重力产生的现象都会消失。
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例题精讲
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地球赤道上的物体重力加速度为，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
B


在圆周轨道上运行的质量为的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径，设地球表面上的重力加速度为，则
A．卫星运行的速度为 B．卫星运行的周期为
C．卫星运行的加速度为 D．卫星运行的角速度为
BD


2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空。已知月球半径为，若“嫦娥一号”到达距月球表面高为处时，地面控制中心将其速度调整为时恰能绕月球匀速飞行。将月球视为质量分布均匀的球体，则月球表面的重力加速度为
A． B． C． D．
B

宇航员在星球表面以一定初速度竖直上抛一个小球，经过时间小球落回原处。若宇航员在某星球表面以相同的初速度竖直上抛一个小球，经过时间小球落回原处，两星球质量之比，求两星球的半径之比。


某物体在地面上受到的重力为，将它放置在卫星中，在卫星以加速度随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径，取）



已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为，地面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球同步卫星的运行速度为v，则第一宇宙速度的值可表示为
A． B． C． D．
【答案】A

质量为的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为，月球半径为，月球表面重力加速度为，引力常量为，不考虑月球自转的影响，则航天器的
A．线速度 B．角速度
C．运行周期 D．向心加速度
ACD

近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为和,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为、，则www.ks5u.com
A． B． D． D．
B

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3.2
天体的质量与密度
)
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知识点睛
)
地球的质量是多少？这个问题不能靠天平称量得到结果，但是却可以通过万有引力定律来测量。解决这个问题的方法并不复杂，主要思路还是我们之前提到的两条：⑴ 万有引力提供向心力；⑵ 重力提供向心力。
1．利用“万有引力提供向心力”求中央天体的质量和密度
⑴ 利用天体的卫星求天体的质量
设卫星绕中央天体做圆周运动的轨道半径为，线速度为，周期为，中央天体质量为、天体半径为、卫星质量为，根据万有引力提供向心力可知：
，
可解得：。
说明：由于角速度，可以认为已知与已知等效，因此我们没有推导含的公式。
⑵ 利用天体的卫星求天体的密度
根据上面的讨论结果，结合
可得：
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径等于天体半径，此时天体密度，注意这里的是卫星环绕天体表面运动时的周期。
2．利用天体表面的重力加速度求天体的质量和密度
⑴ 天体的质量
设天体表面的重力加速度为，天体的半径为，天体的质量为。在不考虑天体自转的情况下，由重力等于万有引力，可解得，其实这个公式就是黄金代换公式的变形。
⑵ 天体的密度
重力等于万有引力和，联立可解得：。
注意：利用以上方法求天体的质量和密度时，只能求出中央天体的质量和密度，而不能求卫星（或环绕天体）的质量、密度。

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例题精讲
)
利用下列数据，可以计算出地球的质量是
A．已知地球的半径和地面的重力加速度
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径和周期
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径和线速度
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期
ABCD

已知万有引力常量，根据下列哪组数据可以计算出地球的质量
A．卫星距离地面的高度和其运行的周期
B．月球自转的周期和月球的半径
C．地球表面的重力加速度和地球半径
D．地球公转的周期和日地之间的距离
C

已知地球的半径，地面的重力加速度，试估算地球的平均密度为
A． B．
C． D．
A

近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆。某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径，它的运动周期为，则火星的平均密度的表达式为（为某个常数）
A． B． C． D．
D


已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的倍。若某行星的自转周期为，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的倍，求该行星的平均密度与地球平均密度之比。



“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期，已知引力常数，（半径为的球体体积），则可估算月球的
A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
A

为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时，周期分别为和，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为。仅利用以上数据，可以计算出
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
A

已知地球半径为，地球表面重力加速度为，万有引力常量为，不考虑地球自转的影响。
⑴ 求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度；
⑵ 若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为，求卫星运行半径；
⑶ 由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式。
⑴ ⑵ ⑶

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3.3
卫星变轨问题
)
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知识点睛
)
卫星绕中央天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力： ，即；当卫星由于某种原因速度突然改变时，万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行，卫星的发射和回收就是利用了这一原理。
⑴ 当卫星速度增大时，所需的向心力增大，这时万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。但卫星进入新的轨道稳定运行（做圆周运动）后，由可知其运行速度比原轨道要小。
⑵ 当卫星速度减小时，所需的向心力减小，这时万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。但卫星进入新的轨道稳定运行（做圆周运动）后，由可知其运行速度比原轨道要大。
这里有两个问题需要简单说明一下：
⑴ 当卫星的速度增大时，会做离心运动，轨道半径变大，为什么当卫星在新轨道上稳定运行时，速度反而比原轨道速度要小呢？要解释这个问题需要用到后续课程将学习的功和能的知识，简单的说就是卫星在做离心运动进入新轨道的过程中，会有一部分动能转化成其他形式的能。这个问题大家可以暂时存疑，学习了后续课程后再进行思考。
⑵ 卫星在变轨的过程中，并不是由一个圆轨道直接进入另一个圆轨道稳定运行，具体过程比较复杂，不要求大家掌握。有些题目的中间过程可能涉及椭圆轨道，有时可以借助以前学习过的开普勒三定律来解决。


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例题精讲
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同步卫星在同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体引力的作用，会产生漂移而偏离原来的位置。当偏离达到一定的程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。图中实线为同步轨道，和为两个已经偏离同步轨道但仍在赤道平面内运行的卫星，要使它们回到同步轨道上，应
A．开动的小发动机向前喷气，使适当减速
B．开动的小发动机向后喷气，使适当加速
C．开动的小发动机向前喷气，使适当减速
D．开动的小发动机向后喷气，使适当加速
AD


如图所示，月球探测卫星绕地球做匀速圆周运动，在适当的位置点火加速，进入近地点在地球表面附近、远地点在月球表面附近的椭圆轨道运行，若要此时卫星进入环月轨道，则必须
A．在近地点启动火箭向运动的反方向喷气
B．在近地点启动火箭向运动方向喷气
C．在近月点（远地点）启动火箭向运动的反方向喷气
D．在近月点（远地点）启动火箭向运动方向喷气
D

“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为，运行速率为，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时
A．、都将略为减小 B．、都将保持不变
C．将略为减小，将略为增大 D．将略为增大，将略为减小
C


2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
A．在轨道Ⅱ上经过的速度小于经过的速度
B．在轨道Ⅱ上经过的速度小于在轨道Ⅰ上经过的速度
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过的加速度小于在轨道Ⅰ上经过的加速度
ABC
发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于点，轨道2和3相切于点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为、和、，在2轨道经过点时的速度和加速度为和，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为、、，以下说法正确的是

A． B．
C． D．
BD



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