6.3 万有引力定律 拓展

人教版物理必修2-第六章——万有引力-拓展
(
4.1
双星问题
)
(
知识点睛
)
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两者连线上的某定点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。
双星系统具有以下三个特点：
⑴ 两星球做圆周运动所需的向心力由两者间的万有引力提供，因此两星球做圆周运动的向心力大小相等，即；
⑵ 两星球绕它们连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度（或周期）的大小相等，即或；
⑶ 两星球绕共同中心转动的半径、的和等于两星球间的距离，即。
以上三个特点也是解决很多双星问题（求解运动周期、角速度、轨道半径等）的关键。有关双星问题的结论我们不打算直接给大家列出，请大家结合下面的例题自己进行探究。不仅要了解相关的结论，更重要的是掌握解决问题的方法。
(
例题精讲
)

我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体和构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为，到点的距离为，和的距离为，已知引力常量为。由此可求出的质量为?
A. B. C. D.
D
两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。 两星中心距离为，其运动周期为，求两星的总质量。
【答案】

在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星。已知两颗恒星质量分别为、，两星之间的距离为，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度。

****************************************************************************************
⑴ 当时，；
⑵ 当时，，这就是卫星绕中央天体运动的模型。
****************************************************************************************


冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为，同时绕它们在连线上某点做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕点运动的
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
A

双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，双星之间的距离变为原来的倍，则此时圆周运动的周期为
A． B． C． D．
B

如图所示，质量分别为和的两个星球和在引力作用下都绕点做匀速圆周运动，星球和中心之间距离为。已知、的中心和三点始终共线，和分别在的两侧。引力常数为。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期；
⑵ 在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球和，月球绕其轨道中心运行的周期记为。但在近似处理问题时， 常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为。已知地球和月球的质量分别为和。求与两者平方之比。（结果保留三位小数）
⑴ ⑵
(

4.2
天体相遇问题
)
(
知识点睛
)
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近。两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远。
设卫星（角速度大些）与卫星绕行方向相同且在某时刻相距最近，如果经过时间，两卫星转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，即；如果经过时间，两卫星转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即，
当两个卫星在同一轨道半径上运行时，由前面学过的环绕规律可知，它们的线速度是相同的，不存在追及相遇的问题，若一个卫星要追及另一个，首先要变换到不同半径的轨道上，因此天体的追及相遇问题有时也会涉及变轨问题。

(
例题精讲
)

如图所示，、为两颗一前一后在同一轨道绕地球做匀速圆周运动的卫星，试论述用何种方法可使卫星追上前面的卫星？
减速后在低轨道运行，再在恰当的位置加速即可追上

如图所示，有两颗行星绕同一颗恒星做圆周运动，运行方向相同，行星的周期为，行星的周期为，在某一时刻两行星相距最近，则
A．经过时间，两行星再次相距最近
B．经过时间，两行星再次相距最近
C．经过时间，两行星相距最远
D．经过时间，两行星相距最远
BD

如图所示，是地球的同步卫星。另一卫星的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为。已知地球半径为，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为，为地球中心。
⑴ 求卫星的运行周期；
⑵ 如卫星的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻两卫星相距最近（在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
⑴ ⑵
如图，三个质点a、b、c质量分别为、、（，）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比，则它们的周期之比=______；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
，14

(
4.3
信息题
)
(
例题精讲
)

在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为引力常量在缓慢地减小。假设月球绕地球做匀速圆周运动，且它们的质量始终保持不变，根据这种学说当前月球绕地球做匀速圆周运动的情况与很久很久以前相比
A．周期变大 B．角速度变大 C．轨道半径减小 D．速度变大
A

中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星，观测到它的自转周期为。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。（引力常数）



科学家正在研究架设一条长度约为万公里的从地面到太空的“太空梯”，“太空梯”由缆绳、海面基地、太空站和升降机组成。缆绳用质量轻、强度大、韧度高的“碳纳米管”制成，缆绳一端固定在位于赤道某处的海面基地上，另一端固定在位于外太空的巨大太空站上。除升降机外，整个装置相对于地球保持静止，且绷直的缆绳始终垂直于海平面指向地心。升降机上装有两套履带装置，从两侧紧扣缆绳，这样升降机就可以沿缆绳上下运动，或者在摩擦力作用下牢牢固定在缆绳上任意位置，如图所示。设想在太空中距离地面某一高度，升降机与缆绳之间的相互作用力恰好为零，且相对于缆绳保持静止状态，求此时升降机距离地面的高度。已知地球半径，地球表面重力加速度，地球自转角速度。


宇宙飞船以周期T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则

A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．飞船每次“日全食”过程的时间为
D．飞船周期为
AD


(
1
)