7.3 功与功率 提高

人教版物理必修2-第七章——功、功率-提高

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基础知识梳理
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重点知识回顾
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1．功的定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，我们就说力对物体做了功。
2．功的公式：，其中是恒力，是受力点对地的位移，是力的方向与位移方向的夹角。
公式的两种理解：⑴ ，位移在力方向上的投影；
⑵ ，力在位移方向上的投影。
3．功的正负：
功是标量，只有大小，没有方向，但有正负。力对物体做正功还是做负功，由和方向间的夹角来决定。
⑴ 当时，。这说明力不做功；
⑵ 当时，。这说明力做正功（充当动力）；
⑶ 当时，。这说明力做负功（充当阻力）。
4．总功
两种求法： 或 。
5．平均功率
表示在一段时间内做功的平均快慢程度，。若为恒力，则，其中是平均速度，是力的方向与平均速度方向的夹角。
6．瞬时功率
表示力在某一瞬间做功的快慢程度，，其中是瞬时速度，是力的方向与瞬时速度方向的夹角。
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基础训练
)
关于功的正负，下列叙述中正确的是
A．正功表示功的方向与物体运动方向相同
B．正功大于负功
C．正功表示力和位移之间的夹角小于，负功表示力和位移之间的夹角大于
D．正功表示做功的力为动力，负功表示做功的力为阻力
CD

如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力
A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直于接触面，做功不为零
B

有下列几种运动情况
a．用水平推力推一质量为的物体在光滑水平面上前进位移
b．用水平推力推一质量为的物体在粗糙水平面上前进位移
c．用与水平方向成斜向上的拉力拉一质量为的物体在光滑水平地面上前进位移
d．用与斜面平行的力拉一质量为的物体在光滑斜面上前进位移
关于上述四种情况下拉力做功多少的判断正确的是
A．b情况做功最多 B．a情况做功最多
C．d情况做功最少 D．四种情况做功一样多
D

如图所示，质量为的物体静止在倾角为的斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为，现使斜面体向右水平匀速移动距离，物体与斜面体保持相对静止，则摩擦力对物体做的功为 ，支持力对物体做的功为 ，斜面体对物体做的总功为 。
，，
一滑块在水平地面上沿直线滑行，时其速度为。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力， 和滑块的速度随时间的变化规律分别如图a和图b所示，设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力对滑块做的功分别为，则以下关系正确的是

图a 图b
A． B． C． D．
B

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如图所示，两个互相垂直的力和作用在同一物体上，使物体运动，物体发生一段位移后，力对物体做功为，力对物体做功为，则力与的合力对物体做功为
A． B． C． D．
A
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关于功率，下列说法正确的是
A．由可知，只要知道和的值，就可以计算出任意时刻的功率
B．由可知，汽车的功率一定与它的速度成正比
C．由可知，牵引力一定与速度成反比
D．当汽车功率一定时，牵引力一定与速度成反比
D
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汽车上坡的时候，司机必须换档（假设换挡时功率不变），其目的是
A．减小速度，得到较小的牵引力 B．增大速度，得到较小的牵引力
C．减小速度，得到较大的牵引力 D．增大速度，得到较大的牵引力
C
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一个质量为的小球做自由落体运动，那么，在前秒内重力对它做功的平均功率及在秒末重力做功的瞬时功率分别为
A．， B．，
C．， D．，
C

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5.1常见力做功
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知识点睛
)
1．重力做功
在寒假课程中我们学习过重力做功的特点。由于这个知识比较重要，所以我们再来回顾一下。如图所示，质量为的物体分别沿Ｉ、Ⅱ、Ⅲ三条不同路径从滑到。
⑴ 沿Ｉ路径，重力做功
⑵ 沿Ⅱ路径，重力做功
⑶ 沿Ⅲ路径，可以把整个路径分成许多很短的间隔，每小段曲线都可以近似看成是一段倾斜的直线，设每小段的高度差为、、，则整个路径重力做的功等于每小段上重力做功的代数和
可见，重力做功与路径无关，只与重力及初、末位置的高度差有关。
重力做功的这种特点可以推广到任意恒力的功，即恒力做功的特点是：与路径无关，只与初、末位置有关。
2．摩擦力做功
⑴ 静摩擦力可以做负功、也可以做正功或不做功
⑵ 滑动摩擦力可以做负功、也可以做正功或不做功
以上两种情况的实例很多，请大家自己举出一些实例进行说明。
⑶ 在相互摩擦的系统内，一对静摩擦力做功的总和一定等于零；一对滑动摩擦力做功的总和一定为负值。
⑷ 由于滑动摩擦力的方向始终与相对运动方向相反，因此，滑动摩擦力做功与物体运动的路径有关（即与路程有关）。
例如，一个物体沿粗糙斜面上滑到最大长度，又沿斜面下滑到底端，整个过程中摩擦力做功并不是零，而是。请注意：在上滑和下滑过程中摩擦力的方向发生变化，因此从全过程看滑动摩擦力并不是恒力，不能套用前面所说的恒力做功的特点。
⑸ 沿斜面滑动的物体，滑动摩擦力做功与斜面倾角无关。
如图所示，物体下滑位移时，摩擦力做功，只与、和对应的水平位移有关。
3．一对相互作用力做功
虽然作用力和反作用力等大、反向、共线，但是受一对相互作用力作用的两个物体在运动过程中的位移不一定相同（例如受滑动摩擦力作用的两个物体一定有相对位移产生），因此不能简单的认为一对相互作用力做功一定是一正一负，总功为零。实际上，一对相互作用力做功的情形多种多样，可能二者都做正功，也可能都做负功，也可能一个做正功另一个做负功，甚至一个做功另一个不做功。一对相互作用力的总功可以是正值，也可以是负值或者是零。
因此，在分析相互作用力做功的问题时，还是要从做功的定义和条件出发，具体问题具体分析，不要想当然的得出一些错误结论。

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例题精讲
)

关于两物体间的作用力和反作用力的做功情况，说法正确的是
A．作用力做功，反作用力一定做功
B．作用力做正功，反作用力一定做负功
C．作用力和反作用力可能都做负功
D．作用力和反作用力做的功一定大小相等，且两者代数和为零
C

如图所示，质量为的小球从高为处的斜面上的点滚下经过水平面后，再滚上另一斜面，当它到达的点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为
A． B． C． D．
B

水平地面上固定一圆周轨道，半径为，如图所示，一物体在几个力的共同作用下沿此圆周轨道运动。物体所受的力中有一个是恒力，在图中用表示，其方向与轴的正方向一致，大小为。在物体由点沿逆时针方向运动圆周到达点的过程中，力所做的功是



从距地面高处以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为小球，小球上升的最大高度（距出发点）为，空气阻力的大小恒为，则小球从抛出到落地的过程中重力和空气阻力做功分别是多少？
，


物体一次沿轨道1从点由静止下滑至底端点，另一次沿轨道2从点由静止下滑经点至底端点，，物块与两轨道的滑动摩擦因数相同，不考虑物块在点处撞击的因素，物块在两次从下滑的过程中摩擦力做功分别为、，则 （填“大于”、“小于”或“等于”）
等于

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物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以如图所示方向匀速运转，则传送带对物体做功的情况可能是
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
ACD
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5.2 变力做功
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知识点睛
)
只适用于求解恒力做功，但是在实际问题中变力做功也是很常见的，那么如何求解变力做功呢？一般来说变力做功的求解相对比较困难，不能简单套用公式，但是对于一些特殊情况，还是可以通过有关物理规律的转化和变换来求解，下面我们来进行说明。
1．力的大小不变，方向变化
⑴ 利用等效法
若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算对应恒力的功，求出该变力的功。这样变力做功就转化为恒力做功问题。例如和定滑轮有关的一些问题属于此类，大家可以结合例题6来学习。
⑵ 利用微元法
当力的大小不变，方向发生变化时，可根据情况将整个运动过程分成很多小段，使物体在每一小段内所受的力近似为恒力，从而求出力在每个小段中所做的功再求和。许多耗散力（如空气阻力、滑动摩擦力等）在曲线运动（或往复运动）过程中所做的功，在力的大小不变的情况下，等于力与路程的乘积。
2．力的方向不变，大小变化
⑴ 利用平均作用力
如果物体受到的力方向不变，且大小随位移均匀变化，则可用求变力所做的功。，其中是物体初态时受到的力，是物体末态时受到的力，例如求弹簧弹力做功等问题可以用这种方法求解。
⑵ 利用图象法
在图象中，图象与两坐标轴所围“面积”的代数和表示做的功，“面积”有正负，在轴上方的“面积”为正，在轴下方的“面积”为负。
实际上，上面提到的力的方向不变、大小与位移成正比的问题，在很多情况下也可以先画出图象，再利用图象法求解。
除上述方法外，还可以利用动能定理、功能关系或等来解决变力做功问题，这些方法我们在后续课程中再陆续学习。



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例题精讲
)


一人通过轻滑轮和轻绳，将一物体从位置拉到位置，如图所示。如果拉力，滑轮尺寸可忽略，高度，绳与水平面夹角变为，求在物体运动过程中，人对物体所做的功。

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如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上点固定一定滑轮，半径的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心在点的正下方，在轨道上套有一小球。用一条不可伸长的柔软细绳，一端连接球另一端受水平向右的恒力。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，小球可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取。求：把小球从地面点拉到点正下方点过程中，力做的功。

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如图，某人用力转动一半径为的转盘，力的大小保持不变，方向始终与力的作用点的切线方向一致，求使转盘转动一周过程中该力所做的功



某弹簧的劲度系数为，求弹簧由伸长量到伸长量为的过程中，弹力做功
A． B． C． D．
C

用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是多少？




静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动（如图甲所示），拉力随物块所在位置坐标的变化关系（如图乙所示），图象为半圆。则小物块运动到的过程中拉力做的功为
A． B．
C． D．
D

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5.3 功率计算
)
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知识点睛
)
功率的基础知识寒假课程已经讲过，这个模块中我们主要处理一些较难的题目。在计算功率时，首先应该明确是计算某一时刻的瞬时功率还是某一段时间的平均功率。
在计算瞬时功率时，一般使用，其中是瞬时速度，是力的方向与瞬时速度方向夹角的余弦值。
在计算平均功率时，可以使用；若为恒力，也可以使用，这里是对应时间内的平均速度，是力的方向与平均速度方向夹角的余弦值。
(
例题精讲
)

2010年中国最大速度达的“和谐号”动车下线，铁路提速再次引起世人的关注。铁路提速要解决许多具体的技术问题，其中提高机车牵引力功率是一个重要问题。假设匀速行驶时，列车所受阻力与速度的平方成正比，那么当机车分别以和的速度在水平轨道上匀速行驶时，机车的牵引力功率之比为
A． B． C． D．
C
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将质量为的小球以的水平初速度从倾角为的斜面顶端抛出，则球击中斜面前瞬间重力的功率为
A． B． C． D．
D
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跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是，他一分钟跳绳次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是多少。（取）



起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图所示，则钢索拉力做功的功率随时间变化的图象可能是选项中的

A B C D
D



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飞行员在进行素质训练时，抓住金属杆在由水平状态开始下摆达到竖直状态的过程中，如图所示，重力的瞬时功率变化情况是
A．一直增大 B．一直减小 C．先增后减 D．先减后增
C
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质量为的物体静止在光滑水平面上，从时刻开始受到水平力的作用，力的大小与时间的关系如图所示，力的方向保持不变，则
A．时刻的瞬时功率为
B．时刻的瞬时功率为
C．在到这段时间内，水平力的平均功率为
D．在到这段时间内，水平力的平均功率为
BD
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5.4 机车启动
)
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知识点睛
)
机车等现代交通工具有两种典型的启动方式：以恒定功率启动和以恒定加速度启动。下面我们来研究这两种启动方式的具体过程及相应物理量的变化。用到的物理规律主要有：
⑴ 瞬时功率。其中为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或等于其额定功率；为发动机（机车）的牵引力；为机车的瞬时速度。
⑵ 牛顿运动定律。其中，为发动机（机车）的牵引力，为机车受到的阻力，为机车的加速度。
另外，还需要结合加速度与速度的关系等运动学知识进行分析。
1．机车以恒定功率启动
当机车以恒定功率启动后，假设运动过程中所受阻力不变；由牵引力可得，增大，减小；根据牛顿第二运动定律可得，加速度随速度的增大而减小，其运动情况是加速度减小的加速运动，直至时，减小至零，此后速度不变，保持最大值做匀速直线运动。
当机车达到最大速度时，，，，因此。
上述动态分析过程可以用如下框图表示。

这一启动过程的图象如图所示。

2．机车以恒定加速度启动
假设运动过程中所受阻力不变，由可知，当加速度不变时，发动机牵引力恒定，再由可知，此过程中发动机的实际功率随的增大而增大，但当增大到额定功率以后不再增大，此后发动机保持额定功率不变，重复恒定功率启动的过程，继续增大，牵引力减小，直至时，，车速达到最大值。
设机车在匀加速运动过程中能达到的最大速度为，匀加速运动过程能持续的时间为。由牛顿第二定律，得，当时，；由匀加速运动公式可知，。
上述动态分析过程可以用如下框图表示。

这一启动过程的关系图象如图所示。

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例题精讲
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汽车在平直公路上行驶，受到的阻力大小不变，若发动机的功率保持恒定，汽车在加速行驶的过程中，它的牵引力和加速度的变化情况是
A．逐渐减小，也逐渐减小 B．逐渐增大，逐渐减小
C．逐渐减小，逐渐增大 D．逐渐增大，也逐渐增大
A

以恒定加速度从静止开始运动的汽车，经过时间后速度达到最大值，在此过程中汽车通过的位移为，则
A． B． C． D．无法判断
A


汽车的额定功率为，质量为，沿水平路面行驶，所受阻力恒定为，发动机以额定功率工作，则当汽车速度为时，汽车的加速度为__________ ，汽车的最大速度为__________。



在水平路面上运动的汽车的额定功率为，质量为，设阻力恒定，且为车重的倍，求：
⑴ 汽车在运动过程中所能达到的最大速度。
⑵ 若汽车以的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间。
⑶ 若汽车以额定功率不变从静止启动后，当汽车的加速度为时，速度多大。
⑴ ⑵ ⑶



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1
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