8.2 概率
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
（1）必然事件：一定条件下必然________发生的事件，叫做必然事件.
（2）不可能事件：一定条件下必然________发生的事件，叫做不可能事件.
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能________的事件，叫做随机事件。
二、概率
1、概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的________，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
注：P(必然事件)=________，P(不可能事件)=________，________＜P(不确定事件)＜________；
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有________种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的________种结果，那么事件A发生的概率.
3、用列举法求概率：
（1）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可用________求事件发生的概率.
（2）树状图法：当一次实验要涉及两个或更多的因素时，可采用________来求事件发生的概率.
三、用频率估计概率
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的________作为该事件发生的概率的估计值.
四. 概率的应用——游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都________，则游戏公平，否则不公平.[来源
考点一：随机事件
一个菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4，这个事件是（?? ）
A.?必然事件?????????????????????????/B.?随机事件?????????????????????????/C.?不可能事件?????????????????????????/D.?以上都不是
变式跟进1口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（?? ）
A.?随机摸出1个球，是白球?????????????????????????????????????/B.?随机摸出1个球，是红球 C.?随机摸出1个球，是红球或黄球???????????????????????????/D.?随机摸出2个球，都是黄球
考点二：概率公式
某校举办的诗词大会有4名女生和6名男生获奖,现从中任选1人去参加区诗词大会 ,则选中女生的概率是(??? )
A.?
1
10
??????????????????????????????????????/B.?
3
5
??????????????????????????????????????/C.?
2
5
??????????????????????????????????????/D.?
1
4
?
变式跟进2在实数
5
，π，3°，tan60°，2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是________．
考点三：几何概率
如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（?? ） /
变式跟进3已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1 ， 针尖落在⊙O内的概率为P2 ， 则
??
1
??
2
=________．
/
考点四：利用列表法、树状图法求概率
九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．
（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是________．
（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．
变式跟进4我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： /
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
考点五：用频率估计概率
一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是________．
变式跟进5下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
??
0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？???
考点六：游戏公平性
有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、4的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
变式跟进6一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当x=3时，谁获胜的可能性大？
（2）当x为何值时，游戏对双方是公平的？
一、单选题
1．（2016?抚顺）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张彩票，中奖 B．通常加热到100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．射击运动员射击一次，命中靶心
2．（2016?台州）质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数都是偶数 B．点数的和为奇数
C．点数的和小于13 D．点数的和小于2
3.（2017?乌鲁木齐）下列说法正确的是（?? ）
A.?“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件 B.?已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C.?处于中间位置的数一定是中位数 D.?方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
4.（2017?绍兴）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（??? ）
A.?
1
7
??????????????????????????????????????????B.?
3
7
??????????????????????????????????????????C.?
4
7
??????????????????????????????????????????D.?
5
7
5.（2017?东营）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（?? ）
/
A.?
4
7
??????????????????????????????????????????B.?
3
7
??????????????????????????????????????????C.?
2
7
??????????????????????????????????????????D.?
1
7
6．（2018?海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为
1
3
，那么n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2018?荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=
4
5
．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
/
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
8．（2018?镇江）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注连续偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是
5
6
，则n的取值为（ ）
/
A．36 B．30 C．24 D．18
二、填空题
9．（2016?杭州）已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是_________．
/
10．（2016?株洲）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是 ．
11.（2017?黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是________．
12.（2017?营口）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________个。
13.（2017?达州）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=
6
??
图象上的概率是________．
14．（2018?永州）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____．
15．（2018?益阳）2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．
/
16．（2018?呼和浩特）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为_____．
三、解答题
17．（2016?云南）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．
（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．
18. （2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
/
19．（2018?江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
20．（2018?贵阳）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．
/
一、单选题
1.（2017?襄阳模拟）下列说法中，正确的是（?? ）
A.?“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件 B.?某种彩票中奖概率为10%是指买10张一定有一张中奖 C.?了解某种节能灯的使用寿命应采用全面检查 D.?一组数据3，5，4，6，7的中位数是5，方差是2
2. （2017?唐山一模）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（?? ） /
A.?1??????????????????????????????????????????/B.?
1
4
??????????????????????????????????????????/C.?
1
2
??????????????????????????????????????????/D.?
3
4
3.（2017?天门二模）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（?? ）
A.?
1
4
??????????????????????????????????????????/B.?
1
2
??????????????????????????????????????????/C.?
3
4
??????????????????????????????????????????/D.?1
4.（2017?泰安一模）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（?? ）
A.?
1
2
??????????????????????????????????????????/B.?
1
3
??????????????????????????????????????????/C.?
1
6
??????????????????????????????????????????/D.?
1
9
5.（2017?青岛一模）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（?? ）
A.?60枚????????????????????????????????????/B.?50枚????????????????????????????????????/C.?40枚????????????????????????????????????/D.?30枚
6．（2018?黔东南州三模）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件
B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为
1
3
7．（2018?巴彦淖尔模拟）从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
8．（2018?济宁二模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小球（假设小球落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，由此可估计不规则区域的面积约为（ ）
/
A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m2
9．（2018?泰安模拟）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（ ）
/
A．
1
5
B．
3
10
C．
1
3
D．
1
2
10．（2018?太原模拟）小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）
/
A．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为
1
2
B．小明胜的概率是
1
3
，所以输的概率是
2
3
C．两人出相同手势的概率为
1
2
D．小明胜的概率和小亮胜的概率一样
二、填空题
11.（2017?宁波模拟）一个布袋里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，摸到的两个球都是红球的概率为________．
12.（2017?江淮二模）如图1，一张纸条上依次写有10个数，如图2，一卡片每次可以盖住纸条上的3个数，那么随机地用卡片盖住的3个数中有且只有一个是负数的概率________．
/
13.（2017?济宁模拟）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．
14．（2018?盐城模拟）三张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的三个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率是_____．
/
15．（2018?哈尔滨二模）一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是_____．
16．（2018?合肥调研）学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.
三、解答题
17.（2017?长春一模）某校对初三学生进行物理、化学实验操作能力测试．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理实验分别用①、②、③表示，化学实验分别用a、b、c表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．王刚同学对物理的①、②号实验和化学的b、c号实验准备得较好．请用画树状图（或列表）的方法，求王刚同学同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
18.（2017?合肥模拟）初三年（4）班要举行一场毕业联欢会，主持人同时转动下图中的两个转盘（每个转盘分别被四等分和三等分），由一名同学在转动前来判断两个转盘上指针所指的两个数字之和是奇数还是偶数，如果判断错误，他就要为大家表演一个节目；如果判断正确，他可以指派别人替自己表演节目．现在轮到小明来选择，小明不想自己表演，于是他选择了偶数． 小明的选择合理吗？从概率的角度进行分析（要求用树状图或列表方法求解） /
19．（2018?无锡四模）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论．
（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；
（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？
20．（2018?西安五模）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率P1；
（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
/
/
8.2 概率
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
（1）必然事件：一定条件下必然会发生的事件，叫做必然事件.
（2）不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件，叫做不可能事件.
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
二、概率
1、概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
注：P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1；
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率.
3、用列举法求概率：
（1）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可用列表法求事件发生的概率.
（2）树状图法：当一次实验要涉及两个或更多的因素时，可采用树状图来求事件发生的概率.
三、用频率估计概率
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
四. 概率的应用——游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.[来源
考点一：随机事件
一个菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4，这个事件是（?? ）
A.?必然事件?????????????????????????/B.?随机事件?????????????????????????/C.?不可能事件?????????????????????????/D.?以上都不是
【答案】C
【解析】解：菱形的对角相等，不可能出现菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4， 这个事件是不可能事件， 故选C． 【点评】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
变式跟进1口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（?? ）
A.?随机摸出1个球，是白球?????????????????????????????????????/B.?随机摸出1个球，是红球 C.?随机摸出1个球，是红球或黄球???????????????????????????/D.?随机摸出2个球，都是黄球
【答案】B
【解析】解：A、随机摸出1个球，是白球是不可能事件，选项不符合题意； B、随机摸出1个球，是红球是随机事件，选项符合题意； C、随机摸出1个球，是红球或黄球是必然事件，选项不符合题意； D、随机摸出2个球，都是黄球是不可能事件，选项不符合题意． 故答案为：B． 【点评】据随机事件的定义得出答案。
考点二：概率公式
某校举办的诗词大会有4名女生和6名男生获奖,现从中任选1人去参加区诗词大会 ,则选中女生的概率是(??? )
A.?
1
10
??????????????????????????????????????/B.?
3
5
??????????????????????????????????????/C.?
2
5
??????????????????????????????????????/D.?
1
4
?
【答案】C
【解析】解：共10名同学有4名女生，从中任选1人去参加市科技制作比赛，则选中女生的概率是
4
10
=
2
5
. 故选C. 【点评】运用概率公式解答.
变式跟进2在实数
5
，π，3°，tan60°，2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是________．
【答案】
2
5
【解析】解：在实数
5
，π，3°，tan60°，2中，大于2的数有
5
，π， 则抽得的数大于2的概率是
2
5
； 故答案为：
2
5
． 【点评】先找出大于2的数，再根据概率公式即可得出答案．
考点三：几何概率
如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（?? ） /
A.?
1
3
??????????????????????????????????????????/B.?
1
4
??????????????????????????????????????????/C.?
1
5
??????????????????????????????????????????/D.?
1
6
【答案】B
【解析】解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=
4
16
=
1
4
， ∴它停在黑色区域的概率是
1
4
； 故答案为：B． 【点评】根据黑色方砖4块，共有16块方砖，得出黑色方砖在整个区域中所占的比值，得出小球在黑色区域的概率.
变式跟进3已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1 ， 针尖落在⊙O内的概率为P2 ， 则
??
1
??
2
=________．
/
【答案】
2
??
【解析】解：设⊙O的半径为1，则AD=
2
， 故S圆O=π， 阴影部分面积为：π
(
2
2
)
2
×2+
2
×
2
﹣π=2， 则P1=
2
??+2
，P2=
??
??+2
， 故
??
1
??
2
=
2
??
． 故答案为：
2
??
． 【点评】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1 ， P2的值即可得出答案．
考点四：利用列表法、树状图法求概率
九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．
（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是________．
（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．
【答案】（1）
1
2
（2）解：画树形图得： / 所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种． ∴这2名学生来自同一个班级的概率为 /= /
【解析】解：（1）所选的学生性别为女生的概率=
2
4
=
1
2
， 故答案为：
1
2
； 【点评】（1）根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
变式跟进4我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： /
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：根据题意得：15÷30%=50（名）． 答；在这项调查中，共调查了50名学生 （2）解：C项目的人数为50﹣（10+5+15）=20，其百分比为 /×100%=40%，补全图形如下： / （3）解：用A表示男生，B表示女生，画图如下： / 共有20种情况，同性别学生的情况是8种， 则刚好抽到同性别学生的概率是 /= /
【点评】（1）用D的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；（2）用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
考点五：用频率估计概率
一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是________．
【答案】12
【解析】解：3÷
20
100?20
=12（个）． 故答案为：12． 【点评】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
变式跟进5下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
??
0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？???
【答案】（1）0.52、0.50、0.51、0.50 （2）P≈0.51
【解析】（1）78÷150=0.52； 104÷209=0.50； 152÷300=0.51； 175÷350=0.50. （2）观察表中数据，可知P≈0.51
【点评】（1）根据投中的频率=
??
??
,分别计算即可得出答案。 （2）观察表中数据，即可得出答案。
考点六：游戏公平性
有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、4的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：画树状图得：
/ ∴一共有12种等可能的结果，两球编号之和为奇数有6种情况， ∴P（甲胜）= / （2）解：公平．∵P（乙胜）= /， ∴P（甲胜）=P（乙胜）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方公平
【点评】（1）首先画树状图，然后根据树状图即可求得甲获胜的概率；（2）根据树状图，求得甲、乙获胜的概率，然后比较概率，即可求得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
变式跟进6一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当x=3时，谁获胜的可能性大？
（2）当x为何值时，游戏对双方是公平的？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：A同学获胜可能性为 /，B同学获胜可能性为 /， 因为 /， 当x=3时，B同学获胜可能性大 （2）解：游戏对双方公平必须有： /， 解得：x=4， 答：当x=4时，游戏对双方是公平的
【点评】（1）比较A、B两位同学的概率解答即可；（2）根据游戏的公平性，列出方程
??
16
=
16?3??
16
解答即可．
一、单选题
1．（2016?抚顺）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张彩票，中奖 B．通常加热到100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件；
B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件；
C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
故选B．
2．（2016?台州）质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数都是偶数 B．点数的和为奇数
C．点数的和小于13 D．点数的和小于2
【答案】C
【解析】画树状图为：
/
共有36种等可能的结果数，其中点数都是偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点数和小于13的结果数为36，点数和小于2的结果数为0，所以点数都是偶数的概率=
18
36
=
1
2
，点数的和为奇数的概率=/=/，点数和小于13的概率=1，点数和小于2的概率=0，所以发生可能性最大的是点数的和小于13．故选C．
3.（2017?乌鲁木齐）下列说法正确的是（?? ）
A.?“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件 B.?已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C.?处于中间位置的数一定是中位数 D.?方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
【答案】D
【解析】解：A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误； B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误； C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误； D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确； 故选：D． 【点评】根据概率的意义以及中位数的定义、方差的意义分别分析得出答案．
4.（2017?绍兴）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（??? ）
A.?
1
7
??????????????????????????????????????????B.?
3
7
??????????????????????????????????????????C.?
4
7
??????????????????????????????????????????D.?
5
7
【答案】B
【解析】解：摸出一个球一共有3+4=7种同可能的情况， 而抽出一个是黑球的有3种情况， 故P（摸出黑球）=
3
7
. 故选B. 【点评】用简单的概率公式解答P=
??
??
；在这里，n是球的总个数，m是黑球的个数.
5.（2017?东营）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（?? ）
/
A.?
4
7
??????????????????????????????????????????B.?
3
7
??????????????????????????????????????????C.?
2
7
??????????????????????????????????????????D.?
1
7
【答案】A
【解析】解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，
/ 从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况， 而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G， ∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是
4
7
， 故选（A） 【点评】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．
6．（2018?海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为
1
3
，那么n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】此题涉及的知识点是概率，根据概率公式
2
??
=
1
3
，利用比例性质得到n的值.
解：根据题意得:
2
??
=
1
3
,所以n=6.
故选A.
【点评】本题重点考查学生对于概率公式的理解，熟练掌握这一规律是解题的关键.
7．（2018?荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=
4
5
．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
/
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】B
【解析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，然后根据概率公式进行求解即可得.
解：设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=
4
5
，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：
4??·2??
5??·4??
=
2
5
，
故选B．
【点评】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．（2018?镇江）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注连续偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是
5
6
，则n的取值为（ ）
/
A．36 B．30 C．24 D．18
【答案】C
【解析】根据题意可知不大于8的偶数有4个，则大于8的偶数为(n-4)个，根据概率公式可列出关于n的方程，解方程即可得.
解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是
5
6
，
∴
???4
??
=
5
6
，
解得：n=24，
故选C．
【点评】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
9．（2016?杭州）已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是_________．
/
【答案】
1
2
【解析】先求出棕色所占的百分比，再根据概率公式列式计算即可得解．
棕色所占的百分比为：1﹣20%﹣15%﹣30%﹣15%=1﹣80%=20%， 所以，P（绿色或棕色）=30%+20%=50%=/．
10．（2016?株洲）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是 ．
【答案】0.4
【解析】从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率=
40
100
=0.4．故答案为：0.4．
11.（2017?黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是________．
【答案】
3
8
【解析】解：∵袋子中共有8个球，其中红球有3个， ∴任意摸出一球，摸到红球的概率是
3
8
， 故答案为：
3
8
． 【点评】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，用红球的个数除以总个数，求出恰好摸到红球的概率是多少即可．
12.（2017?营口）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________个。
【答案】15
【解析】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%， 所以摸到蓝球的概率为75%， 因为20×75%=15（个）， 所以可估计袋中蓝色球的个数为15个． 故答案为15． 【点评】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数。
13.（2017?达州）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=
6
??
图象上的概率是________．
【答案】
1
3
【解析】解：画树状图得：
/ ∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y=
6
??
图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1）， ∴点（m，n）在函数y=
6
??
图象上的概率是：
4
12
=
1
3
． 故答案为：
1
3
． 【点评】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y=
6
??
图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
14．（2018?永州）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____．
【答案】100．
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，
3
??
=0.03，
解得，n=100，
故估计n大约是100，
故答案为：100.
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（2018?益阳）2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．
/
【答案】
1
3
．
【解析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可.
解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，
所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=
2
6
=
1
3
．
故答案为
1
3
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（2018?呼和浩特）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为_____．
【答案】
5
12
【解析】直接利用一次函数增减性结合k的取值范围进而得出答案．
解：当2k﹣1＞0时，
解得：k＞
1
2
，则
1
2
＜k≤3时，y随x增加而增加，
故﹣3≤k＜
1
2
时，y随x增加而减小，
则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：
3?
1
2
3?
?3
=
5
12
，
故答案为：
5
12
．
【点评】本题考查了概率公式以及一次函数的性质，熟练掌握概率的计算方法以及一次函数的性质是解题的关键.
三、解答题
17．（2016?云南）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．
（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．
【答案】（1）列表见解析；（2）
1
2
.
【解析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；（2、）根据概率公式进行解答即可．
解：（1）列表得：
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
（2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P=/=/．
答：抽奖一次能中奖的概率为/．
18.2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
/
【答案】答案见解析
【解析】解：这个游戏对双方是公平的． 如图， / ∴一共有6种情况，和大于4的有3种， ∴P（和大于4）= /= /， ∴这个游戏对双方是公平的
【点评】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．
19．（2018?江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
【答案】（1）不可能；随机；
1
4
；（2）
1
2
【解析】（1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率；
（2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得.
解：（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，
“小悦被抽中”是随机事件，
第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为
1
4
，
故答案为：不可能， 随机，
1
4
；
（2）画树状图如下：
/
由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，
所以“小惠被抽中”的概率是: ??=
6
12
=
1
2
.
【点评】本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（2018?贵阳）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．
/
【答案】（1）
1
4
；（2）棋子最终跳动到点C处的概率为
3
16
．
【解析】（1）和为8时，可以到达点C，根据概率公式计算即可；
（2）列表得到所有的情况数，然后再找到符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
解：随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是 6、7、8、9.
（1）随机掷一次骰子，满足棋子跳动到点 C 处的数字是 8，则棋子跳动到点C处的概率是
1
4
，
故答案为：
1
4
；
（2）列表得：
9
8
7
6
9
9，9
8，9
7，9
6，9
8
9，8
8，8
7，8
6，8
7
9，7
8，7
7，7
6，7
6
9，6
8，6
7，6
6，6
共有16种可能，和为14可以到达点C，有3种情形，
所以棋子最终跳动到点C处的概率为
3
16
．
【点评】本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
??
??
．
一、单选题
1.（2017?襄阳模拟）下列说法中，正确的是（?? ）
A.?“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件 B.?某种彩票中奖概率为10%是指买10张一定有一张中奖 C.?了解某种节能灯的使用寿命应采用全面检查 D.?一组数据3，5，4，6，7的中位数是5，方差是2
【答案】D
【解析】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》节目是随机事件，故本选项错误； B、某种彩票中奖概率为10%，买这种彩票10张不一定会中奖，故本选项错误； C、了解某种节能灯的使用寿命应采用抽样调查，故本选项错误； D、一组数据3，5，4，6，7的中位数是5，方差是2，故本选项正确． 故选D． 【点评】根据必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件和不可能事件对各选项分析判断利用排除法求解．
2. （2017?唐山一模）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（?? ） /
A.?1??????????????????????????????????????????/B.?
1
4
??????????????????????????????????????????/C.?
1
2
??????????????????????????????????????????/D.?
3
4
【答案】D
【解析】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）=
3
4
． 故答案为：D． 【点评】从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，根据概率公式即可求解。
3.（2017?天门二模）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（?? ）
A.?
1
4
??????????????????????????????????????????/B.?
1
2
??????????????????????????????????????????/C.?
3
4
??????????????????????????????????????????/D.?1
【答案】B
【解析】解：圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中，中心对称图形有圆，矩形2个； 则P（中心对称图形）=
2
4
=
1
2
． 故选B． 【点评】先判断出圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
4.（2017?泰安一模）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（?? ）
A.?
1
2
??????????????????????????????????????????/B.?
1
3
??????????????????????????????????????????/C.?
1
6
??????????????????????????????????????????/D.?
1
9
【答案】B
【解析】解：画树状图得：
/ ∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况， ∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
3
9
=
1
3
． 故选B． 【点评】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．
5.（2017?青岛一模）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（?? ）
A.?60枚????????????????????????????????????/B.?50枚????????????????????????????????????/C.?40枚????????????????????????????????????/D.?30枚
【答案】C
【解析】解：根据试验提供的数据得出： 黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100=20%， 所以白棋子比例为：1﹣20%=80%， 设白棋子有x枚，由题意， 得
??
??+10
=80%， x=0.8（x+10）， x=0.8x+8， 0.2x=8， 所以x=40， 经检验，x=40是原方程的解， 即袋中的白棋子数量约40颗． 故选C． 【点评】利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数．
6．（2018?黔东南州三模）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件
B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为
1
3
【答案】C
【解析】根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.
解：A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.
B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.
C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品,正确.
D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为
1
2
，故错误.
故选:C.
【点评】考查必然事件，随机事件的定义以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比.
7．（2018?巴彦淖尔模拟）从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】B
【解析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，
故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．
故选B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8．（2018?济宁二模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小球（假设小球落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，由此可估计不规则区域的面积约为（ ）
/
A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m2
【答案】D
【解析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.65，
∵正方形的边长为4m，
∴面积为16 m2
设不规则部分的面积为s m2
则
??
16
=0.65
解得：s=10.4
故答案为：D．
【点评】利用频率估计概率．
9．（2018?泰安模拟）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（ ）
/
A．
1
5
B．
3
10
C．
1
3
D．
1
2
【答案】D
【解析】两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P(飞镖落在黑色区域)=
4
8
=
1
2
.
故答案选：D.
【点评】本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点.
10．（2018?太原模拟）小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）
/
A．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为
1
2
B．小明胜的概率是
1
3
，所以输的概率是
2
3
C．两人出相同手势的概率为
1
2
D．小明胜的概率和小亮胜的概率一样
【答案】D
【解析】利用概率公式，一一判断即可解决问题.
解：A、错误．小明还有可能是平；
B、错误、小明胜的概率是?
1
3
，所以输的概率是也是
1
3
；
C、错误．两人出相同手势的概率为
1
3
；
D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是
1
3
；
故选：D．
【点评】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
11.（2017?宁波模拟）一个布袋里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，摸到的两个球都是红球的概率为________．
【答案】
1
6
【解析】解：画树状图如下：
/ 一共有12种情况，两个都是红球的情况共有2种， 所以，P（两个都是红球）=
2
12
=
1
6
， 故答案为：
1
6
． 【点评】画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
12.（2017?江淮二模）如图1，一张纸条上依次写有10个数，如图2，一卡片每次可以盖住纸条上的3个数，那么随机地用卡片盖住的3个数中有且只有一个是负数的概率________．
/
【答案】
1
2
【解析】解：用卡片随机地盖住纸条上的3个数，共有8个等可能结果．其中有且只有一个是负数的结果有4个， 所以所求的概率=
4
8
=
1
2
． 【点评】从盖住开始三个数开始到最后三个数共有8种等可能的结果，再找出盖住的3个数中有且只有一个是负数的结果数，然后根据概率公式求解．
13.（2017?济宁模拟）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．
【答案】
4
5
【解析】解：∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个， ∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为
4
5
， 故答案为：
4
5
． 【点评】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即可．
14．（2018?盐城模拟）三张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的三个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率是_____．
/
【答案】
1
3
【解析】根据概率公式求解可得．
解：从中任意抽取1张，共有3种等可能结果，其中是轴对称的只有圆这一种，
∴抽出的卡片是轴对称图形的概率是
1
3
，
故答案为：
1
3
．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
m
??
．
15．（2018?哈尔滨二模）一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是_____．
【答案】
4
9
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求出答案.
解：画树状图得：/
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的由4种情况，∴两次摸出的球都是红球的概率是
4
9
，故答案为
4
9
.
【点评】本题主要考查了求随机事件概率的方法，解本题的要点在于根据题意画出树状图，从而求出答案.
16．（2018?合肥调研）学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.
【答案】12
【解析】利用树状图展示所有12种等可能的结果数．
解：画树状图为： / 共有12种等可能的结果数． 故答案为12．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
三、解答题
17.（2017?长春一模）某校对初三学生进行物理、化学实验操作能力测试．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理实验分别用①、②、③表示，化学实验分别用a、b、c表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．王刚同学对物理的①、②号实验和化学的b、c号实验准备得较好．请用画树状图（或列表）的方法，求王刚同学同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
【答案】答案见解析
【解析】解：画树状图得： / ∵共有9种等可能结果，他两科都抽到准备得较好的实验题目的有4种情况， ∴他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为：
4
9
【点评】根据题意画出树状图，再求出一共有的等可能结果数，及他两科都抽到准备得较好的实验题目的情况数，利用概率公式求解即可。
18.（2017?合肥模拟）初三年（4）班要举行一场毕业联欢会，主持人同时转动下图中的两个转盘（每个转盘分别被四等分和三等分），由一名同学在转动前来判断两个转盘上指针所指的两个数字之和是奇数还是偶数，如果判断错误，他就要为大家表演一个节目；如果判断正确，他可以指派别人替自己表演节目．现在轮到小明来选择，小明不想自己表演，于是他选择了偶数． 小明的选择合理吗？从概率的角度进行分析（要求用树状图或列表方法求解） /
【答案】答案见解析
【解析】解：小明的选择不合理； 列表得
2
3
4
6
3
5
6
7
9
5
7
8
9
11
8
10
11
12
14
∴共出现12中等可能的结果， 其中出现奇数的次数是7次，概率为
7
12
， 出现偶数的次数为5次，概率为
5
12
， ∵
7
12
>
5
12
，即出现奇数的概率较大， ∴小明的选择不合理
【点评】根据列表共出现12中等可能的结果，其中出现奇数的次数是7次，得到概率；出现偶数的次数为5次，得到概率；得到出现奇数的概率较大，小明的选择不合理.
19．（2018?无锡四模）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论．
（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；
（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）
1
4
；（3）
1
2
.
【解析】（1）根据列树状图的步骤和题意分析所有等可能的出现结果，即可画出图形；
（2）根据（1）求出甲、乙两位评委给出相同结论的情况数，再根据概率公式即可求出答案；
（3）根据（1）即可求出琪琪进入复赛的概率．
解：（1）画树状图如下：
/
（2）∵共有8种等可能结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种可能，
∴只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率P=
2
8
=
1
4
；
（3）∵共有8种等可能结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有4种可能，
∴乐乐进入复赛的概率P=
4
8
=
1
2
．
【点评】此题考查了列树状图，掌握列树状图的步骤，找出三位评委给出相同结论的情况数是本题的关键，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=
??
??
．
20．（2018?西安五模）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率P1；
（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
/
【答案】（1）落回到圈A的概率P1=
1
4
；（2）她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
【解析】（1）由共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
解：（1）∵共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，
∴落回到圈A的概率P1=
1
4
；
（2）列表得：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（4，4），
∴最后落回到圈A的概率P2=
4
16
=
1
4
，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数．
/
