第 5 节：探究弹性势能的表达式
知识回顾
一、重力做功的特点：
与路径无关，只与起点和终点的高度差有关
二、重力势能：物体由于被举高而具有的能量。
表达式
三、重力做功与重力势能变化的关系
重力做正功，重力势能减少 重力做负功，重力势能增加
四、重力势能是相对的 ，正负表示大小。
一般不加说明是以地面或题目中的最低点所在的平面作为零势能参考面
五、重力势能的变化量的绝对性，与所选取的参考平面无关。
六、势能是系统能。指系统所有。
观察
这几张图中的物体有什么共同点
一、弹性势能
1.定义：发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的能量叫弹性势能。
2.产生条件：发生弹性形变
弹性势能的大小跟什么有关呢？
1、弹性势能的表达式可能与哪几个物理量有关？（类比、猜想）
探究问题一：弹簧的弹性势能可能与哪些物理量有关？
①k一定，Δl越大，弹性势能越大
②Δl一定，k越大，弹性势能越大
① 与弹簧的伸长量Δl
②劲度系数k有关
？
？
二、探究弹性势能的表达式方法
表达式是EP=kx?
重力势能mgh
重力做功WG
弹性势能
弹簧弹力做功
探究问题二：你将从什么知识入手研究影响弹性势能的因素？
W=mgh1-mgh2
类比
探究问题三：这里弹力有什么特点？弹力做功与拉力做功有何关系？
1、弹力是变力。2、拉力做功等于克服弹簧弹力做的功
W拉 = －W弹
WG = mgh1 - mgh2 = －ΔEp
W拉 = －W弹＝ΔEp
拉力做功等于克服弹簧弹力做的功，也等于弹簧弹性势能的变化量
W弹= －ΔEp
探究问题四：弹力做功与弹性势能有什么关系？拉力做功与弹性势能有什么关系？
类比
能否直接用W=Flcosα来求W拉？
l’
Δl
l0
m
F
W拉= △ EP
弹性势能与拉力做功的关系
在各个小段上，弹力可近似认为是不变的
把弹簧从A到B的过程分成很多小段
Δl1,Δl2,Δl3…
F1、F2、F3 …
W＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…
积分
思想
微分
思想
三、如何求拉力（变力）做的功
v0
v
O
t
t
v4
t1
t2
t3
t4
v3
v2
v1
v0
v
O
t
t
v0
v
O
t
t
v0
v
O
t
t
v0
v
O
t
t
联想：匀变速直线运动的位移与速度的关系
F拉
l
F拉
O
l
l
Δl1
Δl2
Δl3
Δl5
Δl4
F2
F3
F4
F5
F1
拉力所做的功等于图线与横轴所围的面积！
F拉 = kl
对应：拉力做功与弹簧伸长的关系
F拉
l
四、弹簧弹性势能的表达式
(1) l 为弹簧的伸长量或压缩量， k 为弹簧的劲度系数;
(2) 一般规定弹簧在原长时，弹簧的弹性势能为零;
(3) 弹形势能具有相对性，一般相对弹簧原长时的弹性势能;
(4) 弹形势能具有系统性。
2、表达式：
1、弹簧弹力做正功：弹性势能减少
弹簧弹力做负功：弹性势能增加
五：弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系
一、弹性势能
二、弹簧的弹性势能的表达式
三、弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系
弹簧弹力做正功，弹性势能减少
弹簧弹力做负功，弹性势能增加
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。
例1、将弹簧拉长或压缩x，弹力大小变化相同，关于弹力做功和弹性势能变化的正确说法为（ ）
A、拉长时弹力做正功，弹性势能增加；压缩时弹力做负功，弹性势能减小；
B、拉长和压缩时弹性势能均增加；
C、拉长或压缩x时，弹性势能改变相同；
D、形变量相同时，弹性势能与劲度系数有关
BCD
例2、如图，在一次“蹦极”运动中，人由高空跃下到最低点的整个过程中，下列说法正确的是：
A.重力对人做正功
B.人的重力势能减小了
C.“蹦极”绳对人做负功
D.“蹦极”绳的弹性势能增加了
例3、在水平面上竖直放置一轻质弹簧，有一物体在它的正上方自由落下，在物体压缩弹簧速度减为零时（ ）
A．物体的重力势能最大
B．物体的动能最大
C．弹簧的弹性势能最大
D．弹簧的弹性势能最小
E、在未接触弹簧时，小球加速度不变，在压缩弹簧的过程中加速度逐渐减小
C
谢谢
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7.5 弹性势能
一选择题
1．如果取弹簧伸长Δx时弹性势能为0，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧处于原长时，弹簧弹性势能为正值
B．弹簧处于原长时，弹簧弹性势能为负值
C．当弹簧的压缩量为Δx时，弹性势能的值为0
D．只要弹簧被压缩，弹性势能均为负值
2．在一次“蹦极”运动中，人由高空落下，到最低点的整个过程中，下列说法中正确的是( )
A．重力对人做负功 B．重力势能减少了
C．橡皮绳对人做负功 D．橡皮绳的弹性势能增加了
3．在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下列猜想有一定的道理的是（ ）
①重力势能与物体被举起的高度h有关，所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关系
②重力势能与物体被举起的高度h有关，所以弹性势能很可能与弹簧拉伸（或压缩）的长度有关
③重力势能与物体所受的重力mg大小有关，所以弹性势能很可能与弹簧的弹力大小有关
④重力势能与物体的质量有关，所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小有关
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
4．关于弹力做功与弹性势能的关系，我们在进行猜想时，可以参考重力做功与重力势能的关系来讨论。则下面的猜想有道理的是（ ）
①弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将增加
②弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少
③弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将增加
④弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将减少
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
5．在水平面上竖直放置一轻弹簧，有一物体在它的正上方自由落下，在物体压缩弹簧速度减为零时( )
A．物体的重力势能最大 B．物体的动能最大
C．弹簧的弹性势能最大 D．物体的弹性势能最小
6．如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x，关于拉力F随伸长量x的变化图线，图中正确的是（ ）
7．如图所示，小球在竖直向下的力F作用下，将竖直轻弹簧压缩，若将力F撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到速度为零时为止，则小球在上升过程中正确的说法是（ ）
A．小球的动能先增大后减小
B．小球在离开弹簧时动能最大
C．小球动能最大时弹性势能为零
D．小球动能减为零时，重力势能最大
二、计算题
8．弹簧原长l0=15cm，受拉力作用后弹簧逐渐被拉长，当弹簧伸长到l1=20cm时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
9．弹簧原长为l0，劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
10．放在地面上的物体上端系在劲度系数k=400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示，手拉绳子的另一端。当往下拉0.1m时物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h=0.5m高处。如果不计弹簧重和滑轮跟绳的摩擦。求整个过程中拉力所做的功以及弹性势能的大小。
参考答案：
1．BC
2．BCD
3．C
4．B
5．C
6．B
7．AD
8．（1）k=8000N/m；（2）WF=-10J；（3）ΔEP =10J
9．(l-l0)2/(2l-l0)2
10．WF=22J，EP=2J
F
F
O
x
F
O
x
F
O
x
F
O
x
A
B
C
D
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第七章 机械能守恒定律
第5节 弹性势能
教学目标
1．通过猜测弹性势能的表达式与哪些因素有关体会计算拉力做功的方法，培养学生科学预测的能力。
2．通过定量分析体会微分思想和积分思想在物理学上的应用
3．通过对弹性势能公式的探究过程和所用方法理解弹性势能的概念及意义，学习计算变力做功的思想方法，培养学生探究知识的欲望和学习兴趣，体味弹性势能在生活中的意义，提高在生活中应用物理知识的意识．
重点：解决弹簧拉力做功时如何想到用过的分割、求和、逼近的微积分方法。
难点：解决弹簧拉力做功时如何想到用过的分割、求和、逼近的微积分方法。
预习案
1、卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑杆跳运动员手中弯曲的杆，都发生了 ，每个物体的各部分之间都有 的相互作用。
2、发生 的物体的各部分之间，由于 的相互作用而具有的势能。研究弹性势能的改变量是有实际意义的。
3、重力势能与物体被举起的 有关，弹性势能很可能跟弹簧被拉伸的 有关。
4、弹力做功与弹性势能的变化关系为：弹力做正功时，弹性势能 ，并且弹力做多少功，弹性势能就减少多少；弹力做负功时（克服弹力做功），弹性势能 ，并且克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。
5、弹性势能的大小与弹性的劲度系数、弹簧形变量有关，为了研究弹性势能与劲度系数的关系，应控制什么量不变？ ；为了研究弹性势能与弹簧形变量的关系，应控制 不变。这种研究方法叫做 ，是物理学中的常用方法。
6、通过实验研究和理论推导可知，弹簧的弹性势能表达式为 。
一、弹性势能
活动与探究1
1．试举例说明什么是弹性势能？弹性势能是否具有系统性和相对性？为什么？
2．猜一猜，弹性势能的大小可能与哪几个物理量有关？
迁移与应用1
关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
1．发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而产生了弹性势能。
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。
3．影响弹性势能的因素：（1）形变量；（2）劲度系数。
二、探究弹性势能的表达式
[问题设计]
1．在上图所示的实验中，弹簧压缩的长度越大，物块被弹开的速度____________；在压缩量相同的情况下，劲度系数越大的弹簧，弹开物块的速度____________．由此可以猜测，弹簧的弹性势能可能与__________________、____________________有关．
2.如图所示，弹簧处于原长时，其右端位于A点．现将弹簧由A点拉到B点，使其伸长Δl(仍处于弹性限度内)：
(1)弹簧的弹性势能如何变化？弹性势能与拉力做的功有什么关系？
(2)拉力F是恒力吗？怎样计算拉力的功？
(3)作出F－Δl图象并类比v－t图象中面积的含义，思考F－Δl图象中“面积”有何物理意义？当Δl＝x时，其表达式是怎样的？
[要点提炼]
1．猜想：
(1)弹性势能与弹簧的形变量有关，同一弹簧形变量越大，弹簧的弹性势能也越大．
(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在形变量相同时，劲度系数k越大，弹性势能越_____．
2．探究思想：研究__________做功与弹性势能变化的关系．
3．“化变为恒”求拉力做功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln.
4．“F－l”图象面积的意义：表示F________的值．
三、弹性势能与弹力做功
1．对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能．
注意 对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能是相同的．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：W弹＝____________
(1)弹力做正功，弹性势能________，弹力做功的数值等于弹性势能的____________．
(2)弹力做负功，弹性势能________，弹力做功的数值等于弹性势能的____________．
四．当堂检测
【课堂练习】
1．关于弹性势能，以下说法正确的是 ( )
A．任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
C．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
D．弹簧的弹性势能只由的形变量决定
2．关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是 ( )
A．弹力对物体所做的功等于物体所具有的弹性势能
B．物体克服弹力所做的功等于物体所具有的弹性势能
C．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能的减少
D．物体克服弹力所做的功等于物体弹性势能的增加
3．弹性势能的表达式与以下那些量有关( )
A．弹簧的长度 B．弹簧伸长的长度或缩短的长度 C．弹簧的劲度系数 D．弹簧的质量
4．当弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是（???????? ）
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小
C．若选弹簧自然长度时的势能为0，则其他长度的势能均为正值
D．若选弹簧自然长度时的势能为0，则伸长时弹性势能为正值，压缩时弹性势能为负值
5．下列现象中，物体的弹性势能转化为动能的是（ ）
A．秋千在最高处荡向最低处 B．张开的弓把箭水平射出去
C．骑自行车匀速驶上斜坡 D．跳水运动员从跳板上跳起
6．如图所示，一个物体以速度v0冲向竖直墙壁，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是（ ）
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
7． 如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置。将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1>h2 ，小球落到弹簧后向下运动压缩弹簧。从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的变化量ΔEp1与ΔEp2的关系是ΔEp1 ΔEp2 ，弹簧弹性势能的增加量ΔEp3与ΔEp4的关系是ΔEp3 ΔEp4， (填“>”、“<”或“=”)。
8．如图所示为一弹簧的弹力—位移图象，那么弹簧由伸长量8㎝到伸长量4㎝的过程中，弹力所做的功和弹性势能的变化量为（ ）
A．3.6J，-3.6J B．-3.6J， 3.6J
C．1.8J，-1.8J D．-1.8J， 1.8J
参考答案：
1、卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑杆跳运动员手中弯曲的杆，都发生了弹性形变，每个物体的各部分之间都有弹力的相互作用。
2、发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用而具有的势能。研究弹性势能的改变量是有实际意义的。
3、重力势能与物体被举起的高度有关，弹性势能很可能跟弹簧被拉伸的长度有关。
4、弹力做功与弹性势能的变化关系为：弹力做正功时，弹性势能减少，并且弹力做多少功，弹性势能就减少多少；弹力做负功时（克服弹力做功），弹性势能增加，并且克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。
5、弹性势能的大小与弹性的劲度系数、弹簧形变量有关，为了研究弹性势能与劲度系数的关系，应控制什么量不变？形变量；为了研究弹性势能与弹簧形变量的关系，应控制劲度系数不变。这种研究方法叫做控制变量法，是物理学中的常用方法。
6、通过实验研究和理论推导可知，弹簧的弹性势能表达式为E= kx2/2。
【课堂练习】
1．AC
2．CD
3．BC
4．C
5．BD
6．BD
7．ΔEp1＞ΔEp2 ，ΔEp3 =ΔEp4
8．C
v0
h
F/N
x/cm
0
F=kx
4
8
30
60
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