2018-2019学年福建省莆田二中九年级（下）开学数学试卷（解析版）

2018-2019学年福建省莆田二中九年级（下）开学数学试卷
一．选择题（满分40分，每小题4分）
1．（4分）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
2．（4分）下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（4分）如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB＝6m，大树的高CD＝9m，小明估计自己眼睛距地面EF＝1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF＝2m，则两棵树之间的距离BD是（ ）

A．1m B．m C．3m D．m
4．（4分）将4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情（ ）
A．可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生
5．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
6．（4分）在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以7为半径的圆，那么A（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
7．（4分）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
9．（4分）如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC边上点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）

A．（﹣a，b﹣2） B．（﹣a，b+2） C．（﹣a+2，﹣b） D．（﹣a+2，b+2）
10．（4分）若抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣4，3）和点（8，3），则抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的对称轴是直线（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝﹣1
二．填空题（满分24分，每小题4分）
11．（4分）若x，则的值是 ．
12．（4分）为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获200条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞200条鱼，发现其中25条鱼有记号．则鱼塘中总鱼数大约为 条．
13．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．

14．（4分）如图，在正方形ABCD中，点F在边BC上，把△ABF沿着AF折叠，点B落在正方形内一点E处，射线DE与射线AF交于点G，则∠AGD＝ ．

15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBD的两边在坐标轴上，点A为（0，6），点B为（6，0），E、F分别为OB、BD边上的中点，以BE，BF为边作矩形BEGF．将矩形BEGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中OE、DF所在的直线交于点M．
（1）当将矩形BEGF绕点B顺时针旋转30°时，∠OMD＝ ．
（2）当将矩形BEGF绕点B转一周时，则点M所经过的路径长为 ．

16．（4分）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线y＝ax2上，且AB平行于x轴，AD的中点E在x轴上，AB＝2AD．若矩形ABCD周长为18，则a的值为 ．

三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
18．（8分）先化简再求值：÷（x+2），其中x满足x2﹣3x+2＝0．
19．（8分）等腰三角形ABC的腰长是等腰三角形DEF的腰长的2倍，讨论这两个三角形什么时候相似，什么时候不相似．
20．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．

21．（8分）在第33个教师节来临之际，南开（融侨）中学学生处推出了“好诗献给您”的诵诗活动，向全校学生征集诵诗音频．于老师从全校73个班中随机抽取了4个班（分别用A、B、C、D表示），对每个班诵诗的音频数量进行分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：

（1）m＝ ，扇形统计图中“C”所对应扇形的圆心角为 度；请补全条形统计图；
（2）如果全校征集的诵诗音频中有4条被评为了最美声音，其中有2条是诵读给数学老师的．现学校广播站和学校公众号均打算从这4条最美声音中选择一条进行推送，请用列表或画树状图的方法求出学校广播站和学校公众号各自推送的最美声音中至少有一条是诵读给数学老师的概率．
22．（10分）已知常数a（a是整数）满足下面两个要求：
①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根；
②反比例函数的图象在二，四象限．
（1）求a的值；
（2）在所给直角坐标系中用描点法画出的图象，并根据图象写出：
当x＞4时，y的取值范围是 ；
当y＜1时，x的取值范围是 ．

23．（10分）某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿着A→C→B运动，速度为1个单位/s，在点P运动的过程中，以P为圆心的圆始终与斜边AB相切，设⊙P的面积为S，点P的运动时间为t（s）（0＜t＜7）．
（1）当4＜t＜7时，BP＝ ；（用含t的式子表示）
（2）求S与t的函数表达式；
（3）在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，直接写出t的值．

25．（14分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（，0）和点B，交y轴于点C（0，4），一次函数y＝kx+m的图象经过点B，C，点P是抛物线上第二象限内一点．
（1）求二次函数和一次函数的表达式；
（2）过点P作x轴的平行线交BC于点D，作BC的垂线PM交BC于点M，设点P的横坐标为t，△PDM的周长为l．
①求l关于t的函数表达式；
②求△PDM的周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接PC，是否存在点P，使得以P，M，C为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．


2018-2019学年福建省莆田二中九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（满分40分，每小题4分）
1．【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
2．【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：B．
3．【解答】解：由题意得：FB＝EG＝2m，AG＝AB﹣BG＝6﹣1.5＝4.5m，CH＝CD﹣DH＝9﹣1.5＝7.5m，
∵AG⊥EH，CH⊥EH，
∴∠AGE＝∠CHE＝90°，
∵∠AEG＝∠CEH，
∴△AEG∽△CEH，
∴＝＝，即＝，
解得：GH＝，
则BD＝GH＝m，
故选：B．
4．【解答】解：4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，
若摸到所有的红球与白球共7个，一定还会摸到1个黑球；
若摸到所有的白球与黑球共5个，还会摸到3个红球；
若摸到所有的红球与黑球共6个，还会摸到2个白球；
所以从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件．
故选：D．
5．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
6．【解答】解：∵点A（﹣3，4），
∴AO＝＝5，
∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以7为半径的圆，
∴点A在⊙O内，
故选：C．
7．【解答】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；
当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．
故选：C．
8．【解答】解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；
B、图象位于第二、四象限，故B正确；
C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；
D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；
故选：D．
9．【解答】解：∵A（﹣3，﹣2），B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），
A′（3，0），B′（2，2），C′（1，﹣1），
∴横坐标互为相反数；纵坐标增加了0﹣（﹣2）＝2﹣0＝﹣1﹣（﹣3）＝2；
∵△ABC边上点P的坐标为（a，b），
∴点P变换后的对应点P′的坐标为（﹣a，b+2）．
故选：B．
10．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣4，3）和点（8，3），
∴抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的对称轴是直线x＝＝2．
故选：B．
二．填空题（满分24分，每小题4分）
11．【解答】解：∵x，
∴x2+1＝3x，
∴＝＝．
故答案为：．
12．【解答】解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：×100%＝12.5%，
∴池塘中共有鱼200÷12.5%＝1600．
故答案为：1600．
13．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则
x2＝4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30
所以x＝13，y＝6
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故答案为：76．
14．【解答】解：∵折叠
∴AB＝AE，∠BAF＝∠EAF
∴∠BAE＝2∠EAF
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∴AD＝AE，∠DAE＝90°﹣2∠FAE
∴∠AED＝∠ADE＝＝45°+∠EAF
∵∠AED＝∠EAF+∠AGD＝45°+∠EAF
∴∠AGD＝45°
故答案为45°
15．【解答】解：（1）如图1，E、F分别是OB、BD的中点，
∴OB：BE＝2：1，BD：BF＝2：1，
∴OB：BE＝BD：BF，
由旋转得：∠OBE＝∠DBF＝30°，
∴△OEB∽△DFB，
∴∠BOE＝∠BDM，
∴∠OMD＝∠OBD＝90°；
故答案为：90°；
（2）设旋转角为α，
如图2，连接OD，取中点为C，当O、E、G三点共线时，如图2，
∵A为（0，6），B为（6，0），
∴OB＝6，BD＝6，
则OD＝＝12，
∴OC＝6，
由（1）知：∠BOM＝∠BOE＝∠BDF＝∠BDM，
∴O、B、M、D四点共圆，且直径为OD，
∴∠OMD＝∠OBD＝90°，
∵∠EGF＝90°，
∴D、G、F共线，
∵BE＝OB，BE⊥OE，
∴∠BOE＝30°，
∴所以当矩形BEGF旋转时，点M与G重合时，如图2，旋转角为60°，
当0°≤α≤60°时，点M所经过的路径为：从B到G，以C为圆心，以OD为直径的，
当60°＜α≤300°时，点M所经过的路径为：从G到O，以C为圆心，以OD为直径的，
当300°＜α≤360°时，点M所经过的路径为：从O到B，以C为圆心，以OD为直径的，
∵OG⊥BD，
∴，
∴则点M所经过的路径长为：+＝6π+2π＝8π，
故答案为：8π．


16．【解答】解：
∵AB＝2AD，且矩形ABCD周长为18，
∴2（AB+AD）＝18，即2（2AD+AD）＝18，
∴AD＝3，AB＝2AD＝6，
∵E为AD中点，
∴AE＝1.5，OE＝3，
∴A点坐标为（3，﹣1.5），
∵A点在抛物线y＝ax2上，
∴﹣1.5＝9a，解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．【解答】解：（1）由题意知，△＞0，
则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k为负整数，
∴k＝﹣1，
则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
18．【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴x＝1或x＝2，
又x﹣2≠0，即x≠2，
∴x＝1，
则原式＝＝．
19．【解答】解：如右图，△ABC中AB＝AC，△DEF中DE＝DF，
∵△ABC的腰长等于△DEF的腰长的2倍，
∴＝＝，
∴①当＝时，△ABC∽△DEF；
②当∠A＝∠D时，△ABC∽△DEF；
③当∠B＝E时，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求，∠A＝∠D，那么有△ABC∽△DEF．
同理可得：当不符合以上几种情况，两三角形将不相似．

20．【解答】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．


（2）∵∠B＝60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°，
∵tan∠ABP＝，
∴AP＝ABtan∠ABP＝3×＝，
∴S⊙P＝3π．
21．【解答】解：（1）∵抽取的总数为50÷＝200（条），
则A班级的数量为200×20%＝40（条），
∴m＝×100＝20，
C所对圆心角度数为360°×（1﹣20%﹣20%﹣25%）＝126°，
C班级的数量为200﹣（40+50+40）＝70（条），
补全条形图如下：

故答案为：20、126；

（2）记推送给老师的音频为A、B，其余两条为C、D，
画树状图如下：

由树状图可知共有16种等可能结果，其中至少有一条是诵读给数学老师的有12种情况，
∴至少有一条是诵读给数学老师的概率为＝．
22．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝9+4a＞0，得a＞﹣且a≠0；
∵反比例函数图象在二，四象限，
∴2a+2＜0，得a＜﹣1，
∴﹣＜a＜﹣1．
∵a是整数，
∴a＝﹣2；

（2）∵a＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
其函数图象如图所示；
当x＞4时，y的取值范围﹣＜y＜0；
当y＜1时，x的取值范围是 x＜﹣2或x＞0．
故答案为：﹣＜y＜0，x＜﹣2或x＞0．

23．【解答】解：（1）由题意得：
y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤15且x取整数）

（2）对称轴：x＝﹣＝﹣＝13，
∵a＝﹣5＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴当x＝13时，y最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645，
∴售价＝40+13＝53元
答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元．

（3）由题意得：﹣5x2+130x+1800＝2145
解之得：x＝3或23（不符合题意，舍去）
∴售价＝40+3＝43元．
答：售价为43元时，每周利润为2145元．
24．【解答】解：（1）∵AC＝4，BC＝3，
∴AC+BC＝7，
∵4＜t＜7，
∴点P在边BC上，
∴BP＝7﹣t，
故答案为：7﹣t；

（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
根据勾股定理得，AB＝5，
由运动知，AP＝t，
当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，
如图1，记⊙P与边AB的切点为H，连接PH，
∴∠AHP＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APH∽△ACB，
∴，
∴，
∴PH＝t，
∴S＝πt2，
当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，
如图，记⊙P与边AB的切点为G，连接PG，
∴∠BGP＝90°＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴PG＝（7﹣t），
∴S＝π（7﹣t）2，
即：S＝；

（3）当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，
由（2）知，⊙P的半径PH＝t，
∵⊙P与△ABC的另一边相切，
即：⊙P和边BC相切，
∴PC＝PH，
∵PC＝4﹣t，
∴4﹣t＝t，
∴t＝秒，
当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，
由（2）知，⊙P的半径PG＝（7﹣t），
∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边AC相切，
∴PC＝PG，
∵PC＝t﹣4，
∴t﹣4＝（7﹣t），
∴t＝秒，
即：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为秒或秒．


25．【解答】解：（1）把点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4…①，
令y＝0，则x＝﹣3或，则点B（﹣3，0），
把B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x+4；
（2）由题意得：OB＝3，OC＝4，则BC＝5，
设点P坐标为（t，﹣t2﹣t+4），
令﹣t2﹣t+4＝x+4，解得：x＝，
∴PD＝﹣t＝，
∵PD∥x轴，∴∠PDM＝∠CBO，
∵PM⊥BC，∴∠PMD＝∠COB＝90°，
∴△PDM∽△CBO，
∴，
l＝﹣t2﹣t＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，△PDM的周长的最大值为，此时点P（﹣，）；
（3）存在，理由：
①如图，当∠PCM＝∠CBO时，即：△PCM∽△CBO，

则PC∥AB，令4＝﹣x2﹣x+4，解得：x＝0或﹣（舍去0）；
②如图，当∠PCM＝∠BCO时，即：△PCM∽△BCO，

作点O关于直线BC的对称点D，直线CD与抛物线的另外一个点即为P点，
作DH⊥x轴于点H，则OD＝2OCsin∠BCO＝2OC×＝2×4×＝，
DH＝ODsin∠DCH＝ODsin∠DOH＝ODsin∠BCO＝×＝，
同理可得：OH＝，即点D的坐标为（﹣，），
将CD坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝x+4…②，
联立①②并解得：x＝﹣，
故：点P的横坐标为：﹣或﹣．