江西省奉新县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

2020届高二年级下学期第一次月考数学（理科）试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　 　)
A． B． 2 C． D． 4
3．函数的极大值是(　 　)
A. -9 B. 0 C. D.
4．函数f(x)＝2的单调递增区间是(　 　)
A. B.和 C. D.和
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　 　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，则按照以上规律，若9＝具有“穿墙术”，则n＝(　 　)
A． 48 B． 25 C． 80 D．63
7. 若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)上恰好有(　 　)
A．0个零点　　　　B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点
8. 过原点O作直线交椭圆＋＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝(　 　)
A. B. C. D.
9. 已知P是椭圆＋＝1，(0A．2　　 B．4　　　 　C．6　　　 　D.
10. 设函数f(x)＝x3－x2＋2x＋1，若f(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C． (－∞，－2] D．(－∞，－2)
11．f(x)是定义在上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式f(x)>0的解集为(　 　)
A．(－4，0)∪(4，＋∞) B．(－4，0)∪(0，4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0，4)
12. 若函数f(x)＝的最大值为f(－1)，则实数a的取值范围为(　 　)
A．[0,2e2] B. (0,2e2] C．[0,2e3] D.(0,2e3]
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. ＝________.
14. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1×3……(2n＋1)(n∈N)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为 　　
15．已知椭圆＋＝1(016. 已知函数f(x)＝与函数g(x)＝－2x2－x＋1的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围为
三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
17．（本小题满分10分）
为何实数时，复数满足下列要求：
（1）是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点在第二象限；
（3）在复平面内对应的点在直线上.
18. （本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；
19. （本小题满分12分）
设直线的方程为,该直线交抛物线于两个不同的点.
(1)若点为线段的中点,求直线的方程;
(2)证明:以线段为直径的圆恒过点.
（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝(x2－x－5)ex，g(x)＝tx2＋ex－4e2(t∈R)(其中e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的单调区间与极小值；
(2)是否存在t<0，对任意的x1∈R，任意的x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)> g(x2)？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过轨迹上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与交于异于的 两点. ①求证：直线的斜率为定值；
　　 ②如果两点的横坐标均不大于，求面积的最大值.
22. （本小题满分12分）
设函数，.其中.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若存在，对任意，使得成立，求的取值范围.
2020届高二年级下学期第一次月考数学（理科）参考答案
D D B A A C B C A D B C
13.0 14.2(2k＋1). 15. 3 16. [0,2)∪
17.(1)；(2)；(3).
18. 解　(1)因为f′(x)＝2x－，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6.
又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.…………（5分）
(2)因为f′(x)＝，
又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；当0即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减．
又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．…（9分）
欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则解得2≤a≤6.……（12分）
19. 【解析】(1)联立 ,消去得=,
设,
则==,
因为为线段的中点,所以,解得,
所以直线的方程为=. …………（6分）
(2)因为==,
,
所以=,
即=,
所以==,
因此,
即以线段为直径的圆恒过点.…………（12分）
20.解　(1)∵f(x)＝(x2－x－5)ex，
∴f′(x)＝(2x－1)ex＋(x2－x－5)ex＝(x2＋x－6)ex＝(x＋3)(x－2)ex.
当x<－3或x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)．
当－3∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－3,2)．
故当x＝2时，函数f (x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－3e2. …………（6分）
(2)由题意，只需f(x)min >g(x)max.
由(1)可得当x趋近于－∞时，f(x)趋近于0，
∴f(x)min＝f(2)＝－3e2，
∵g(x)＝tx2＋ex－4e2＝t2－－4e2，
∴g(x)max＝g＝－－4e2.
故－3e2>－－4e2，即1＞－，得到t<－，
∴存在负数t∈满足题意． …………（12分）
21. （I）设为动圆圆心，由题意知，动点到定点与定直线的距离相等，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为.…………（4分）
（II）设.
(1), .
依题意，,
于是.
直线的斜率为定值-1. …………（8分）
（2）设直线的方程：y=-x+m,
,
, ,
又，.
点M到直线AB的距离,
弦长，
，
设，
，
f(m)在上单调递增，，.…………（12分）
解：（1），
当时，令，得，∴的递增区间为.
令，得，，∴的递减区间为.
当时，同理得的递增区间为；递减区间为.………（4分）
（2），
∵当时，及均为增函数，
∴在为增函数，又，
∴当时，；当时，.
从而，在上递减，在上递增，
∴在上的最小值为. ……………（8分）
∵，∴，
∴，当时，∴，∴，∴.
当时，，∴，∴，
又，∴时不合题意.
综上，. ………………（12分）