中小学教育资源及组卷应用平台
3．1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
考 点 考纲要求 要求 题型
复数的概念 .了解数系的扩充过程． 理解复数的基本概念 i 选择，填空
复数的分类 复数相等 以及复数相等的充要条件．了解复数的代数表示方法. i 选择，填空
知识梳理
一、复数的概念及代数表示
1．定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i2＝－1.
2．表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式，a与b分别叫作复数z的实部与虚部．
二、复数的分类
1．复数：a＋bi(a，b∈R)
2．集合表示
三、复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
典例解析
考向一 复数的概念
[典例1] (1)下列说法错误的有________．(填序号)
①若z∈C时，z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a>b，则a＋i>b＋i.
(2)给出以下命题：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋bi的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则(a＋3)i是纯虚数．
其中正确命题的个数是________．
1．若复数z＝3＋bi>0(b∈R)，则( )
A．b>0 B．b＝0C．b<0 D．以上都不正确
2．给出下列三个命题：
①1＋i2＝0；
②若z∈C，则z2≥0；
③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1C．2 D．3
考向二 复数的分类
[典例2] 实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
3．实数m取什么值时，复数(m2－3m＋2)＋(m2－4)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考向三 复数相等
[典例3] 根据下列条件，分别求实数x，y的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i；
(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
4．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且x，y满足2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，求复数z.
过关检测
1．下面四个命题
(1)0比－i大；
(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；
(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0
3．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(i－i－1)3的虚部为( )
A．8i B．－8iC．8 D．－8
5．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝2 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
6．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1C．2 D．3
7．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2iB．2＋2iC．－＋i D.＋i
8．1．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6
9．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是( )
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．两个点，其坐标为(2,2)，(－2，－2)
C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)
10．若x是实数，y是纯虚数，且满足3x＋1＋4i＝－y，则x＝________，y＝________.
11．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为________．
12．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
13．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于________．
14．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．
15．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R；
(2)z是虚数；
(3)z是纯虚数；
(4)z＝＋4i.
16．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
17．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
3．1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
考 点 考纲要求 要求 题型
复数的概念 .了解数系的扩充过程． 理解复数的基本概念 i 选择，填空
复数的分类 复数相等 以及复数相等的充要条件．了解复数的代数表示方法. i 选择，填空
知识梳理
一、复数的概念及代数表示
1．定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i2＝－1.
2．表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式，a与b分别叫作复数z的实部与虚部．
二、复数的分类
1．复数：a＋bi(a，b∈R)
2．集合表示
三、复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
典例解析
考向一 复数的概念
[典例1] (1)下列说法错误的有________．(填序号)
①若z∈C时，z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a>b，则a＋i>b＋i.
(2)给出以下命题：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋bi的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则(a＋3)i是纯虚数．
其中正确命题的个数是________．
[解析] (1)①错误，若z＝i，则z2＝－1<0；②错误，当a＝－1时，(a＋1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．
(2)①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错；②形如a＋bi的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当a＝－3时，(a＋3)i＝0，不是纯虚数，故④错．因此正确命题的个数为0.
[答案] (1)①②③ (2)0
解答复数的概念类问题：
1．虚数单位的性质
i2＝－1,1·i＝i,0·i＝0.
2．复数的实部与虚部的确定方法
首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．
1．若复数z＝3＋bi>0(b∈R)，则( )
A．b>0 B．b＝0
C．b<0 D．以上都不正确
解析：只有实数才可比较大小，既然有z＝3＋bi>0，则说明z＝3＋bi是实数，故b＝0.
答案：B
2．给出下列三个命题：
①1＋i2＝0；
②若z∈C，则z2≥0；
③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为i2＝－1，故1＋i2＝0，即①正确；②错误，如i∈C，但i2＝－1<0；复数3－4i的实部是3，复数4－3i的虚部是－3，所以③不正确．
答案：B
考向二 复数的分类
[典例2] 实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解析] (1)若z为实数，则
即
解得m＝－2.
∴当m＝－2时，z为实数．
(2)若z是虚数，则
即
解得m≠－2且m≠－1.
∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数，则
即即
解得m＝0.
∴当m＝0时，z为纯虚数．
解答复数的分类问题的方法：
解决这类复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围，但若已知的复数z不是a＋bi(a，b∈R)的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．
3．实数m取什么值时，复数(m2－3m＋2)＋(m2－4)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：设z＝(m2－3m＋2)＋(m2－4)i.
(1)要使z为实数，必须有m2－4＝0，
得m＝－2或m＝2，即m＝－2或m＝2时，z为实数．
(2)要使z为虚数，必须有m2－4≠0，
即m≠－2且m≠2，
故m≠－2且m≠2时，z为虚数．
(3)要使z为纯虚数，必须有
所以
所以m＝1，即m＝1时，z为纯虚数．
考向三 复数相等
[典例3] 根据下列条件，分别求实数x，y的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i；
(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
[解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R，
∴解得或
(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，
∴解得
怎样解答复数相等问题？
1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
4．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且x，y满足2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，求复数z.
解析：∵2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，x，y∈R，
∴即解得
∴z＝2＋i.
过关检测
1．下面四个命题
(1)0比－i大；
(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；
(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)0比－i大，实数与虚数不能比较大小；
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；
(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．
答案：A
2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
答案：D
3．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a＝0且b≠0，则z＝a＋bi是纯虚数，若z＝a＋bi是纯虚数，则a＝0.
∴a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的必要但不充分条件．
答案：B
4．(i－i－1)3的虚部为( )
A．8i B．－8i
C．8 D．－8
解析：(i－i－1)3＝(i－)3＝()3＝()3＝(2i)3＝－8i，虚部为－8.
答案：D
5．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝2 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：由题意知1＋i是实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(2＋b)i＋b＋c－1＝0，
∴2＋b＝0，b＋c－1＝0，
解得b＝－2，c＝3.
答案：B
6．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
答案：C
7．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－＋i D.＋i
解析：－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.
答案：A
8．1．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：由M∩N＝{3}得3∈M，
故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，
因此得.
解得，
所以m的值为－1.
答案：B
9．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是( )
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．两个点，其坐标为(2,2)，(－2，－2)
C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)
解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，
则
即x2＋y2＝4且x≠y.
由可解得或
故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．
答案：D
10．若x是实数，y是纯虚数，且满足3x＋1＋4i＝－y，则x＝________，y＝________.
解析：设y＝bi(b∈R，b≠0)，
则有3x＋1＋4i＝－bi，
所以有，解得
故y＝－4i.
答案：－ －4i
11．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为________．
解析：由z1＞z2，得即解得a＝0.
答案：0
12．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
解析：∵x，y是实数，
∴根据两个复数相等的充要条件，
可得解得
答案：
13．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于________．
解析：∵z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，∴z为实数，
∴m2－9＝0，得m＝±3，
∴m＝－3.
答案：－3
14．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．
解析：依题意得
所以
答案：－，－
15．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R；
(2)z是虚数；
(3)z是纯虚数；
(4)z＝＋4i.
解析：(1)若z∈R，
则m须满足
解之得m＝－3.
(2)若z是虚数，则m须满足
解之得m≠1且m≠－3.
(3)若z是纯虚数，
则m须满足
解之得m＝0或m＝－2.
(4)若z＝＋4i，
则m须满足方程组无解．
所以m∈?.
16．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解析：∵M∪P＝P，∴M?P.
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，实数m的值为1或2.
17．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：(1)当z为实数时，
则∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
∴
即a≠±1且a≠6.
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
18．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．
解析：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的条件得
解得或
∴方程的实根为x＝或x＝－，
∴相应的k的值为k＝－2或k＝2.3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
