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1.2 复数的几何意义
考点 考纲要求 要求 题型
复数与复平面内点的关系 了解复数的几何意义． i 选择。填空
复数与复平面内向量的关系复数的模. 2.理解复数的模的概念，会求复数的模 i 选择。填空
知识梳理
一、复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除了原点外，都表示纯虚数．
二、复数的几何意义
三、复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模r叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，且r∈R)．
典例解析
考向一 复数与复平面内点的关系
[典例1] (1)复数z＝sin＋icos对应的点在复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若复数z＝a2－3＋2ai对应的点在直线y＝－x上，则实数a的值为________．
[解析] (1)∵z＝sin＋icos＝－i，
∴复数对应的点为，此点在第四象限．
(2)已知复数对应的点为(a2－3,2a)，代入y＝－x，有2a＝－(a2－3)，解得a＝－3或a＝1.
[答案] (1)D (2)－3或1
1．复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
1．在复平面内i＋i2表示的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为i＋i2＝i－1＝－1＋i，所以i＋i2对应的点为(－1,1)，此点在第二象限．
答案：B
考向二 复数与复平面内向量的关系
[典例2] (1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
(2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
[解析] (1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，
所以＝(1,4)，＝(－3,6)，
所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，
所以向量＋对应的复数为－2＋10i.
(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，
又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，
所以向量表示的复数是－6－8i.
[答案] (1)B (2)－6－8i
复数与复平面内的向量有怎样的关系？
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
2．一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
2．向量对应的复数为－1＋i，对应的复数为2＋3i，对应的复数为－2＋i，则向量对应的复数为________．
解析：因为向量对应的复数为－1＋i，对应的复数为2＋3i，对应的复数为－2＋i，
所以＝(－1,1)，＝(2,3)，＝(－2,1)，
所以＝－＝(2,3)－(－1,1)＝(3,2)，
＝＋＝(3,2)＋(－2,1)＝(1,3)，
即向量对应的复数为1＋3i.
答案：1＋3i
考向三 复数的模
[典例3] (1)设复数z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，则|z|的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
(2)已知复数z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)据条件可得
|z|＝
＝
＝
＝≥2，
即|z|的最小值为2.
(2)因为|z1|>|z2|，所以x4＋x2＋1>(x2＋a)2，
所以(1－2a)x2＋(1－a2)>0对x∈R恒成立．
当1－2a＝0，即a＝时，不等式成立；
当1－2a≠0，即a≠时，需
所以－1
综上，a∈(－1，]．
[答案] (1)C (2)(－1，]
求解关于复数模最值问题的两种方法：
(1)将z＝x＋yi(x，y∈R)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x，y的函数表示出来，转化为函数最值问题．
(2)因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值．
3．(1)设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
(2)设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
①|z|＝；②|z|≤3.
解析：(1)∵z为纯虚数，
∴设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则
|z－1|＝|ai－1|＝.
又∵|－1＋i|＝，
∴＝，即a2＝1，
∴a＝±1，即z＝±i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)．
①∵|z|＝，∴x2＋y2＝2，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．
②∵|z|≤3，
∴x2＋y2≤9，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
过关检测
1．对于复平面，下列命题中真命题是( )
A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的
C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D．实轴上一侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
解析：A中纯虚数所对应的点不在象限内；B中的点应在第三象限；C中若复数z为负实数，则在x轴负半轴上，故选D.
答案：D
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵＜m＜1，∴2＜3m＜3，－＜m－1＜0，
∴0＜3m－2＜1，
∴z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限．
答案：D
3．下列命题中为假命题的是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
解析：A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，
∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
答案：D
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：∵|z|＝，a∈(0,2)，∴|z|∈(1，)．故选B.
答案：B
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：|z|＝
＝＝ ，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴|z|＝－2cos.
答案：B
6．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是( )
A．一个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|2－2|z|－3＝(|z|－3)(|z|＋1)＝0，得|z|＝3，即＝3，所以x2＋y2＝9，
故复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．
答案：A
7．已知复数z＝3＋4i所对应的向量为O，把O依逆时针旋转θ得到一个新向量为O1.若O1对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是( )
A．3i B．4i
C．5i D．－5i
解析：O1＝|O|＝＝5，由于新向量O1对应的点Z1在虚轴上，则新向量O1＝(0,5)，即新向量O1对应的复数是5i.
答案：C
8．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)
9．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________．
解析：由题意知(log2m)2＋16≤25，即(log2m)2≤9，－3≤log2m≤3，
所以2－3≤m≤23，即≤m≤8.
答案：≤m≤8
10．设z1＝1＋i，z2＝－1＋i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A，B，O为原点，则△AOB的面积为________．
解析：在复平面内，z1，z2对应的点
A(1,1)，B(－1,1)，
如图，连接AB交y轴于C.
∵|z1|＝|z2|＝，
∴△AOB是等腰三角形．
∵|AB|＝＝2，
|OC|＝1，
∴S△AOB＝|AB|·|OC|＝×2×1＝1.
答案：1
11．复数(a－3)＋(b－2)i(a，b∈R)，在复平面内对应的点为坐标原点，则a＋b＝________.
解析：由题意知a－3＝0，b－2＝0，∴a＋b＝5.
答案：5
12．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
解析：由已知得??1＜x＜2.
答案：(1,2)
13．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得＝2，∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
14．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解析：由已知得向量＝(0,1)，
＝(1,0)，＝(4,2)，
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，
∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，
即点D对应的复数为3＋3i.
15．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R，当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．
解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝；
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1＜a＜；
(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，则有
(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，
解得a＝.
16．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解析：(1)由已知，得
解①得，－1＜m＜0.
解②得，m＜2.
故不等式组的解集为－1＜m＜0，
∴m的取值范围是－1＜m＜0.
(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2(1＋m)(3－m)＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，
∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m＞0，且
3－m＞0，
∴m＝1±.
17．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，
求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
解析：因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，
所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．
又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，
所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
因为z∈A∩(?UB)等价于z∈A，且z∈?UB，
所以?|z|＝1，由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆.
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1.2 复数的几何意义
考点 考纲要求 要求 题型
复数与复平面内点的关系 了解复数的几何意义． i 选择。填空
复数与复平面内向量的关系复数的模. 2.理解复数的模的概念，会求复数的模 i 选择。填空
知识梳理
一、复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除了原点外，都表示纯虚数．
二、复数的几何意义
三、复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模r叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，且r∈R)．
典例解析
考向一 复数与复平面内点的关系
[典例1] (1)复数z＝sin＋icos对应的点在复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若复数z＝a2－3＋2ai对应的点在直线y＝－x上，则实数a的值为________．
[解析] (1)∵z＝sin＋icos＝－i，
∴复数对应的点为，此点在第四象限．
(2)已知复数对应的点为(a2－3,2a)，代入y＝－x，有2a＝－(a2－3)，解得a＝－3或a＝1.
[答案] (1)D (2)－3或1
1．复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
1．在复平面内i＋i2表示的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为i＋i2＝i－1＝－1＋i，所以i＋i2对应的点为(－1,1)，此点在第二象限．
答案：B
考向二 复数与复平面内向量的关系
[典例2] (1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
(2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
[解析] (1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，
所以＝(1,4)，＝(－3,6)，
所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，
所以向量＋对应的复数为－2＋10i.
(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，
又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，
所以向量表示的复数是－6－8i.
[答案] (1)B (2)－6－8i
复数与复平面内的向量有怎样的关系？
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
2．一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
2．向量对应的复数为－1＋i，对应的复数为2＋3i，对应的复数为－2＋i，则向量对应的复数为________．
解析：因为向量对应的复数为－1＋i，对应的复数为2＋3i，对应的复数为－2＋i，
所以＝(－1,1)，＝(2,3)，＝(－2,1)，
所以＝－＝(2,3)－(－1,1)＝(3,2)，
＝＋＝(3,2)＋(－2,1)＝(1,3)，
即向量对应的复数为1＋3i.
答案：1＋3i
考向三 复数的模
[典例3] (1)设复数z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，则|z|的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
(2)已知复数z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)据条件可得
|z|＝
＝
＝
＝≥2，
即|z|的最小值为2.
(2)因为|z1|>|z2|，所以x4＋x2＋1>(x2＋a)2，
所以(1－2a)x2＋(1－a2)>0对x∈R恒成立．
当1－2a＝0，即a＝时，不等式成立；
当1－2a≠0，即a≠时，需
所以－1综上，a∈(－1，]．
[答案] (1)C (2)(－1，]
求解关于复数模最值问题的两种方法：
(1)将z＝x＋yi(x，y∈R)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x，y的函数表示出来，转化为函数最值问题．
(2)因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值．
3．(1)设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
(2)设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
①|z|＝；②|z|≤3.
解析：(1)∵z为纯虚数，
∴设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则
|z－1|＝|ai－1|＝.
又∵|－1＋i|＝，
∴＝，即a2＝1，
∴a＝±1，即z＝±i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)．
①∵|z|＝，∴x2＋y2＝2，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．
②∵|z|≤3，
∴x2＋y2≤9，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
过关检测
1．对于复平面，下列命题中真命题是( )
A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的
C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D．实轴上一侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
解析：A中纯虚数所对应的点不在象限内；B中的点应在第三象限；C中若复数z为负实数，则在x轴负半轴上，故选D.
答案：D
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵＜m＜1，∴2＜3m＜3，－＜m－1＜0，
∴0＜3m－2＜1，
∴z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限．
答案：D
3．下列命题中为假命题的是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
解析：A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，
∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
答案：D
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：∵|z|＝，a∈(0,2)，∴|z|∈(1，)．故选B.
答案：B
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：|z|＝
＝＝ ，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴|z|＝－2cos.
答案：B
6．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是( )
A．一个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|2－2|z|－3＝(|z|－3)(|z|＋1)＝0，得|z|＝3，即＝3，所以x2＋y2＝9，
故复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．
答案：A
7．已知复数z＝3＋4i所对应的向量为O，把O依逆时针旋转θ得到一个新向量为O1.若O1对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是( )
A．3i B．4i
C．5i D．－5i
解析：O1＝|O|＝＝5，由于新向量O1对应的点Z1在虚轴上，则新向量O1＝(0,5)，即新向量O1对应的复数是5i.
答案：C
8．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)
9．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________．
解析：由题意知(log2m)2＋16≤25，即(log2m)2≤9，－3≤log2m≤3，
所以2－3≤m≤23，即≤m≤8.
答案：≤m≤8
10．设z1＝1＋i，z2＝－1＋i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A，B，O为原点，则△AOB的面积为________．
解析：在复平面内，z1，z2对应的点
A(1,1)，B(－1,1)，
如图，连接AB交y轴于C.
∵|z1|＝|z2|＝，
∴△AOB是等腰三角形．
∵|AB|＝＝2，
|OC|＝1，
∴S△AOB＝|AB|·|OC|＝×2×1＝1.
答案：1
11．复数(a－3)＋(b－2)i(a，b∈R)，在复平面内对应的点为坐标原点，则a＋b＝________.
解析：由题意知a－3＝0，b－2＝0，∴a＋b＝5.
答案：5
12．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
解析：由已知得??1＜x＜2.
答案：(1,2)
13．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得＝2，∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
14．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解析：由已知得向量＝(0,1)，
＝(1,0)，＝(4,2)，
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，
∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，
即点D对应的复数为3＋3i.
15．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R，当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．
解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝；
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1＜a＜；
(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，则有
(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，
解得a＝.
16．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解析：(1)由已知，得
解①得，－1＜m＜0.
解②得，m＜2.
故不等式组的解集为－1＜m＜0，
∴m的取值范围是－1＜m＜0.
(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2(1＋m)(3－m)＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，
∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m＞0，且
3－m＞0，
∴m＝1±.
17．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，
求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
解析：因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，
所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．
又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，
所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
因为z∈A∩(?UB)等价于z∈A，且z∈?UB，
所以?|z|＝1，由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆.
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