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3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
考 点 考纲要求 要求 题型
复数的加减运算 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则． i 选择，填空
复数加减法的几何意义 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. i 选择，填空
知识梳理
一、复数加、减法法则及运算律
1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数加法满足的运算律：
对任意z1，z2，z3∈C，满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1，结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数加法的几何意义
如图，若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行．这就是复数加法的几何意义．
三、复数减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数z1，z2相对应，且，不共线，如图，则这两个复数的差z1－z2与向量－对应，这就是复数减法的几何意义．即复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量所对应的复数．
典例解析
考向一 复数的加减运算
[典例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)；
(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
1．(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
考向二 复数加减法的几何意义
[典例2] 已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
考向三 |z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用
[典例3] 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．
3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
过关检测
1．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
3．设复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．5 B.C．6 D.
4．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．圆 B．半圆C．直线 D．射线
5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1C. D.
6．定义运算＝|ad－bc|，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R，x>0)，符合条件＝x的点Z在复平面上所表示的曲线的形状是( )
A．椭圆B．双曲线C．抛物线 D．圆
7．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2B．4C．4 D．16
8．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于( )
A．10 B．25C．100 D．200
9．在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为( )
A．－1－5i B．－1＋5iC．3－4i D．3＋4i
10．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
11．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
12．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．
13．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
14．计算：
(1)(2－i)＋(－2i)；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
15．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．
(1)求向量对应的复数；
(2)求△ABC的面积．
16．已知复数z1＝1－2i和z2＝4＋3i分别对应复平面内的A，B两点，求：
(1)A，B两点间的距离；
(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式．
17．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i，a∈R，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝?，求a的取值范围．
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3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
考 点 考纲要求 要求 题型
复数的加减运算 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则． i 选择，填空
复数加减法的几何意义 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. i 选择，填空
知识梳理
一、复数加、减法法则及运算律
1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数加法满足的运算律：
对任意z1，z2，z3∈C，满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1，结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数加法的几何意义
如图，若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行．这就是复数加法的几何意义．
三、复数减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数z1，z2相对应，且，不共线，如图，则这两个复数的差z1－z2与向量－对应，这就是复数减法的几何意义．即复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量所对应的复数．
典例解析
考向一 复数的加减运算
[典例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)；
(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
[解析] (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)
＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋(1＋i)
＝1＋2i.
(3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)
＝－1－8i.
(4)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
复数加、减法运算的两种方法：
(1)复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式．注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．
(2)利用复数的结合律计算．
1．(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
解析：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.
考向二 复数加减法的几何意义
[典例2] 已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝＝，
∴S＝||||sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
怎样求解复数加减法几何意义的问题？
1．复数加法、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算．
2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题．
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解析：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
因为＝，
所以(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
所以解得
故点D对应的复数为2－i.
考向三 |z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用
[典例3] 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．
[解析] 解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图．
∵|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，
∴复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，则|Z1Z3|最小，最小值为1.
解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z＋i|＋|z－i|＝2，
∴＋＝2，
又＝2－≥0，
∴0≤1－y＝≤2，
即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.
∴x＝0且－1≤y≤1，
则z＝yi(－1≤y≤1)．
∴|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝≥1，等号在y＝－1，即z＝－i时成立．
∴|z＋i＋1|的最小值为1.
1．|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义．
设复数z，z0在复平面内分别对应点A，B，则|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离．
2．|z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用．
(1)判断点的轨迹．
(2)求最值问题时，一般有两种方法：
一是几何法，即数形结合法，根据条件所表示复平面图形的几何意义求解；
二是代数法，设出z＝x＋yi(x，y∈R)，化为普通函数求最大(小)值．
3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
解析：由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.
即|z|max＝6，|z|min＝4.
过关检测
1．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：向量对应的复数是2＋i，
则对应的复数为－2－i，
∵＝＋，
∴对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.
答案：D
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
故z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
答案：D
3．设复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．5 B.
C．6 D.
解析：z1－z2＝(cos θ－sin θ)＋2i，
所以|z1－z2|＝＝，
因此当sin 2θ＝－1时，|z1－z2|取最大值，故选D.
答案：D
4．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．圆 B．半圆
C．直线 D．射线
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，
由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得
＝，
化简可得3x－4y＝0，
所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．
答案：C
5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，d＝＝.
答案：C
6．定义运算＝|ad－bc|，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R，x>0)，符合条件＝x的点Z在复平面上所表示的曲线的形状是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由已知可得|z－1|＝x，∴|x－1＋yi|＝x.
∴(x－1)2＋y2＝x2.∴y2＝2x－1.
答案：C
7．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
解析： 由|z－4i|＝|z＋2|得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
答案：C
8．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于( )
A．10 B．25
C．100 D．200
解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，∵||＝＝5，∴|M1M2|＝10.
∴|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.
答案：C
9．在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为( )
A．－1－5i B．－1＋5i
C．3－4i D．3＋4i
解析：＝－＝(－2－3i)－(－1＋2i)
＝－1－5i.
答案：A
10．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，
又∵|z|＝3，∴b＝3∴z＝3i.
答案：3i
11．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得
∴λ＋μ＝1.
答案：1
12．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．
解析：∵x＋yi＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)，
∴x2＋y2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2
＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos(θ＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100.
答案：100
13．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4.
答案：－4
14．计算：
(1)(2－i)＋(－2i)；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
解析：(1)原式＝(2＋)－(＋2)i＝－i.
(2)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.
(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋
＝(1－1＋5)＋(2＋1)i＝5＋3i.
(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i
＝8＋2i.
15．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．
(1)求向量对应的复数；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)．
则D(，)，点D对应的复数是＋i，
＝－＝(，)－(1,0)＝(－，)，
∴对应复数为－＋i.
(2)＝－＝(1,1)，
||＝，
＝－＝(－2,2)，||＝＝2，
＝－＝(－3,1)，||＝，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
∴S△ABC＝||·||
＝××2＝2.
16．已知复数z1＝1－2i和z2＝4＋3i分别对应复平面内的A，B两点，求：
(1)A，B两点间的距离；
(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式．
解析：(1)|A|＝|z2－z1|＝|(4＋3i)－(1－2i)|
＝|3＋5i|＝.
所以A，B两点间的距离为.
(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A，B两点的距离相等，
设点Z对应的复数为z，
由复数模的几何意义，
知|z－(1－2i)|＝|z－(4＋3i)|.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上式，得
|(x－1)＋(y＋2)i|＝|(x－4)＋(y－3)i|，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝(x－4)2＋(y－3)2.
整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x＋5y－10＝0.
所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z－(1－2i)|＝|z－(4＋3i)|，实数表示的一般形式为3x＋5y－10＝0.
17．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i，a∈R，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝?，求a的取值范围．
解析：因为z1＝1＋2ai，z2＝a－i，|z－z1|<，
即|z－(1＋2ai)|<，|z－z2|≤2，
即|z－(a－i)|≤2，
由复数减法及模的几何意义知，集合A是以(1,2a)为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以(a，－1)为圆心，2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝?，则两圆圆心距大于或等于半径和，即≥3，解得a≤－2或a≥.
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