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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
考 点 考纲要求 要求 题型
复数代数形式的乘除法运算 复数范围内的一元二次方程问题. 1.掌握复数代数形式的乘、除运算．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3.理解共轭复数的概念 i 选择。填空
知识梳理
一、复数代数形式的乘法法则
1．复数代数形式的乘法法则：
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法法则的运算律：
对于任意的z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
二、共轭复数与复数的除法法则
1．共轭复数：
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．
2．复数代数形式的除法法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
典例解析
考向一 复数代数形式的乘法运算
[典例1] 计算下列各题
(1)(1－i)2；
(2)(1＋i)；
(3)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(4)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
1．已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)·(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( )
A．2 B.C．－ D．－2
2．已知复数z＝(5－2i)2(i为虚数单位)，则复数z的实部是________．
考向二 复数代数形式的除法运算
[典例2] (1)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋iC.＋i D．－＋i
(2)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝( )
A．3－4i B．3＋4iC．－3－4i D．－3＋4i
(3)复数2＝________.
3．(2014·高考大纲全国卷)设z＝，则z的共轭复数为( )
A．－1＋3i B．－1－3iC．1＋3i D．1－3i
考向三 复数范围内的一元二次方程问题
[典例3] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
4．设关于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0有实数根，若θ是一个三角形的内角，则θ的值为________．
过关检测
1．(2014·高考山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
2．(2014·高考湖南卷)满足＝i(i是虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i B.－iC．－＋i D．－－i
3．(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024C．0 D．1 023
5．(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i
6．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
7．设i是虚数单位，复数i3＋＝( )
A．－i B．i C．－1 D．1
8．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4
9.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．(2015·高考重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
11.已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.
12．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
13．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
14．计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(3)－.
15．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
16．已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
17．已知复数z1＝2＋i,2z2＝.
(1)求z2；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cos A＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
考 点 考纲要求 要求 题型
复数代数形式的乘除法运算 复数范围内的一元二次方程问题. 1.掌握复数代数形式的乘、除运算．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3.理解共轭复数的概念 i 选择。填空
知识梳理
一、复数代数形式的乘法法则
1．复数代数形式的乘法法则：
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法法则的运算律：
对于任意的z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
二、共轭复数与复数的除法法则
1．共轭复数：
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．
2．复数代数形式的除法法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
典例解析
考向一 复数代数形式的乘法运算
[典例1] 计算下列各题
(1)(1－i)2；
(2)(1＋i)；
(3)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(4)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
[解析] (1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i；
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝－－i＋i－
＝－＋i.
(3)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(4)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝9－12i＋33i－44i2＋2i＝53＋23i.
怎样进行复数代数形式的乘法运算？
1．两个复数代数形式乘法的一般方法：
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式：
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i.
1．已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)·(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
解析：∵(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，∴2－a＝0且1＋2a≠0，解得a＝2.
答案：A
2．已知复数z＝(5－2i)2(i为虚数单位)，则复数z的实部是________．
解析：由题意，复数z＝(5－2i)2＝52＋2×5×(－2i)＋(－2i)2＝21－20i，其实部为21.
答案：21
考向二 复数代数形式的除法运算
[典例2] (1)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
(2)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．－3－4i D．－3＋4i
(3)复数2＝________.
[解析] (1)＝＝＝1－i，故选A.
(2)由(3＋4i)z＝25，得z＝＝＝3－4i，故选A.
(3)2＝＝＝－1.
[答案] (1)A (2)A (3)－1
怎样进行复数代数形式的除法运算？
1．两个复数代数形式的除法运算步骤：
(1)把除式写为分式．
(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．
(3)对分子、分母分别进行乘法运算．
(4)把运算结果化为复数的代数形式．
2．解题时注意以下常用结论：
(1)＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i.
(2)in，(－i)n的值是以4为周期的一列值．
(3)＝
＝＝i.
3．(2014·高考大纲全国卷)设z＝，则z的共轭复数为( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
解析：因为z＝＝＝
＝1＋3i，
所以＝1－3i，故选D.
答案：D
考向三 复数范围内的一元二次方程问题
[典例3] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
[解析] (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得
∴b＝－2，c＝2.
(2)方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
与复数范围内一元二次方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但根的判别式“Δ”不再适用．
4．设关于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0有实数根，若θ是一个三角形的内角，则θ的值为________．
解析：根据题意x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0，x∈R，
∴(x2－xtan θ－2)＋(－x－1)i＝0，
∴
∵θ为三角形内角，∴θ＝.
答案：
过关检测
1．(2014·高考山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：根据已知，得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：D
2．(2014·高考湖南卷)满足＝i(i是虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
解析：式子＝i去分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，
解得z＝＝＝＝－i，选B.
答案：B
3．(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝＋i(1－i)＝(－i＋1)＋(i＋1)＝2.
答案：C
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．1 023
解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
答案：C
5．(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.
答案：D
6．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为复数i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，它在复平面内对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限．
答案：A
7．设i是虚数单位，复数i3＋＝( )
A．－i B．i C．－1 D．1
解析：i3＋＝i·i2＋＝－i＋i(1－i)＝1.
答案：D
8．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B.
答案：B
9.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.
答案：A
10．(2015·高考重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.
答案：3
11.已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.
解析：＝＝，因为是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.
答案：1
12．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
解析：－＝－＝－＝，其虚部为.
答案：
13．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以所以a＝.
答案：
14．计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(3)－.
解析：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝＋i.
(3)－
＝
＝＝＝2i.
15．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
16．已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋yi＋2i＝x＋(2＋y)i.
由于z＋2i是实数，则2＋y＝0，解得y＝－2，
＝＝
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由于是实数，则(x－4)＝0，
解得x＝4，∴z＝4－2i，
∴(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2
＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得
解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
17．已知复数z1＝2＋i,2z2＝.
(1)求z2；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cos A＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．
解析：(1)z2＝·
＝·＝＝－＝－i.
(2)在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列．
∴2B＝A＋C＝π－B，
∴3B＝π，
∴B＝，A＋C＝，
又由(1)得z2＝－i，
∴u＋z2＝cos A＋2icos2－i
＝cos A＋i(2cos2 －1)
＝cos A＋icos C，
∴|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C
＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2C)
＝1＋(cos 2A＋cos 2(－A))
＝1＋(cos 2A＋cos(－2A))
＝1＋(cos 2A＋cos(π＋－2A))
＝1＋(cos 2A－cos (－2A))
＝1＋[cos 2A－(coscos 2A＋sinsin 2A)]
＝1＋(cos 2A－sin 2A)
＝1＋sin(－2A)
＝1－sin(2A－)．
∵A＋C＝，
∴0＜A＜，
∴－＜2A－＜，
∴≤1－sin(2A－)＜，
∴≤|u＋z2|2＜，
∴≤|u＋z2|＜，
即|u＋z2|的取值范围是[，)．
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