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复数章末检测(三)时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A. B.C．－ D．－
2．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
3．(2014·高考辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i
4．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋iC.＋i D.－i
5．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B.C. D.
6．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m等于( )
A. B.iC．－ D．－i
7．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．0 B．1C．2 D．3
8．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－iC．－5－5i D．5＋5i
9．已知复数z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.C. D.
10．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位，x∈R)，若复数∈R，则实数x的值为( )
A．－6 B．6C. D．－
11．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方D．z一定为实数
12．(2013·高考陕西卷)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．已知x＋＝－1，则x2 014＋的值为________．
14．已知复数z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，则复数z1·z2的实部是________．
15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x、y的值分别为x＝________，y＝________.
16．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋
3cos θ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)复数z＝(a2＋1)＋ai(a∈R)对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹方程是什么？
18．(本小题满分12分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z；
(2)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．
19. (本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
20．(本小题满分12分)满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分13分)已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，
z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i，(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
22．(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
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复数章末检测(三)时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.因此选A.
答案：A
2．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为函数f(x)＝x2，所以f(1＋i)＝(1＋i)2，化简得f(1＋i)＝2i，
所以 ＝＝＝＝＝＋i.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标为(，)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.
答案：A
3．(2014·高考辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：由(z－2i)(2－i)＝5得z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋3i，选A.
答案：A
4．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋＝－i.
答案：D
5．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B.
C. D.
解析：∵z2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴
∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
答案：D
6．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m等于( )
A. B.i
C．－ D．－i
解析：设方程的实数根为x＝a(a为实数)，
则a2＋(1＋2i)·a＋3m＋i＝0，∴
∴故选A.
答案：A
7．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴
∴xy＝1.
答案：B
8．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
解析：∵由已知＝(2,3)，＝(－3，－2)，
∴＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i.
答案：D
9．已知复数z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－≤≤.
答案：D
10．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位，x∈R)，若复数∈R，则实数x的值为( )
A．－6 B．6
C. D．－
解析：＝＝＝＋·i∈R，∴＝0，∴x＝.
答案：C
11．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
解析：∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称，∴C项正确．
答案：C
12．(2013·高考陕西卷)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．已知x＋＝－1，则x2 014＋的值为________．
解析：∵x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0.∴x＝－±i，∴x3＝1.
∵2 014＝3×671＋1，∴x2 014＝x，∴x2 014＋＝x＋＝－1.
答案：－1
14．已知复数z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，则复数z1·z2的实部是________．
解析：z1·z2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i.
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
答案：cos(α＋β)
15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x、y的值分别为x＝________，y＝________.
解析：原式可以化为(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，
根据复数相等的充要条件，有解得
答案：1 1
16．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋
3cos θ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是________．
解析：因为z1＝z2，所以消去m得λ＝4－cos θ.又因为－1≤cos θ≤1，
所以3≤4－cos θ≤5，所以λ∈[3,5]．
答案：[3,5]
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)复数z＝(a2＋1)＋ai(a∈R)对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹方程是什么？
解析：因为a2＋1≥1>0，复数z＝(a2＋1)＋ai对应的点为(a2＋1，a)，所以z对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a可得x＝y2＋1，所以复数z对应的点的轨迹方程是y2＝x－1.
18．(本小题满分12分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z；
(2)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．
解析：(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，由题意得解得a＝，b＝±.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴b＝－.∴z＝－i.
(2)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，
依题意得
解得∴m＝－2.
19. (本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋<0，
∴
又x2＋y2＝1.③
由①②③得∴z＝－±i.
20．(本小题满分12分)满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．
解析：存在．
设虚数z＝x＋yi(x、y∈R，且y≠0)．z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.
由已知得∵y≠0，∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
21．(本小题满分13分)已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，
z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i，(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解析：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
22．(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
解析：(1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率为.
即事件“z－3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.
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