9.3 图形综合证明
图形与证明是空间与图形的核心内容之一，也是中考的热点内容之一，它要求能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质;能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征;能够在头脑里构建几何对象,进行几何图形的分解与组合,能够对某些图形进行简单的变换;能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。解决此类问题的方法可归结为三种：一是综合法即由因导果，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；二是分析法即执果索因，从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；三是两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的.
一、解答题（共12道题）
1．（2016?丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
/
2．（2016?苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
/
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．
3．（2016?舟山）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
/
4.（2017?北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
/
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
5.（2017?营口）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形． ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系________； ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由； /
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系． /
6.（2017?河北）平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=
4
3
，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ． /
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）
7．（2018?安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
/
8．（2018?福建A）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=
3
，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
/
9．（2018?江西）在菱形????????中，∠??????=60°,点??是射线????上一动点，以????为边向右侧作等边△??????，点??的位置随点??的位置变化而变化.
（1）如图1，当点??在菱形????????内部或边上时，连接????，????与????的数量关系是 ，????与????的位置关系是 ；
（2）当点??在菱形????????外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点??在线段????的延长线上时，连接????，若????=2
3
,????=2
19
,求四边形????????的面积.
/
10．（2018?威海）如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．
/
（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求
????
????
的值；
（2）若tan∠FMN=
1
2
，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；
（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．
11．（2018?河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①
????
????
的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断
????
????
的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=
7
，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
/
12．（2018?邵阳）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．
（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；
（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．
①若OE=
3
，OG=1，求
????
????
的值；
②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）
/
一、解答题（共12道题）
1.（2017·无锡二模）如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．请用直尺和圆规对图②、图③作出符合要求的点（保留作图痕迹，不写作法．） /
（1）如图②，在△ABC内求作一点Q，使点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（2）如图③，在△ABC外求作一点M，使点A是△MBC内∠M的一个二倍角点．
2.（2017·台州模拟）已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB为直径作⊙O，与BE边相交于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AE于点D．
/
（1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：AE2=EC?EB．
3.（2017·西安二模）如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． /
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
4.（2017·长春二模）在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD； /
（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE； /
（3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出
????
????
的值． /
5.（2017·合肥一模）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E． /
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC． ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明； ②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
6. （2017·临沂一模）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N． /
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
7．（2018?唐山模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，CD＝3
2
，求弦AD的长．
/
8．（2018?佛山模拟）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF．
（1）说明△BEF是等腰三角形；
（2）求折痕EF的长．
/
9．（2018?襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：
????
????
的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2
2
，则BC= ．
/
10．（2018?深圳模拟）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=
2
AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2
5
，CE=2，求线段AE的长．
/
11．（2018?晋中模拟）（1）操作与探究：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．
①第一次折叠：当折痕的另一端点F在AB边上时，如图1，求折痕GF的长；
②第二次折叠：当折痕的另一端点F在AD边上时，如图2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
/
（2）拓展延伸：通过操作探究发现在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图3所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离是 ．
12．（2018?牡丹江三模）等腰直角△ABC，△MAD中，∠BAC=∠DM/A=90°，连接BM，CD．且B，M，D三点共线
/
（1）当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，如图①，求证：BM+CD=AM；（提示：延长DB到点N，使MN=MD，连接AN．）
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，如图②；当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，如图③，请直接写出线段BM，CD，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）条件下，点E是AB中点，MF是△AMD的角平分线，连接EF，若EF=2MF=6，则CD= ．
/
9.3 图形综合证明
图形与证明是空间与图形的核心内容之一，也是中考的热点内容之一，它要求能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质;能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征;能够在头脑里构建几何对象,进行几何图形的分解与组合,能够对某些图形进行简单的变换;能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。解决此类问题的方法可归结为三种：一是综合法即由因导果，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；二是分析法即执果索因，从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；三是两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的.
一、解答题（共12道题）
1．（2016?丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
/
【答案】（1）证明过程见解析；（2）6.
【解析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到/，解方程即可得到结论．
解：（1）连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴∠ODC=90°， 即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A；
（2）∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴/， ∴EC2=DE?AE， ∴16=2（2+AD）， ∴AD=6．
/
2．（2016?苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
/
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）18.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．
3．（2016?舟山）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
/
【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10
4
17
或12﹣
3
2
7
．
【解析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．
解：（1）矩形或正方形；
（1）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：
/
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线， ∴PA=PD，PC=PB， ∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，
∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB， ∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD；
（3）分两种情况考虑：
（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示，
/
∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′， 设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，
过点D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC， ∴△ED′F∽△EAC， ∴/，即/，
解得：D′F=/，
∴S△ACE=/AC×EC=/×4×（3+4.5）=15；S△BED′=/BE×D′F=/×4.5×/=/，
则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣/=10/；
（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示，
/
∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3， 在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=/，
∴S△AED′=/AE×ED′=/×/×3=/，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣/）×3=12﹣3/，
则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=/+12﹣3/=12﹣/．
4.（2017?北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
/
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AO=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵BD是切线， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD=90°， ∴∠OBE+∠EBD=90°， ∵EC⊥OA， ∴∠CAE+∠CEA=90°， ∵∠CEA=∠DEB， ∴∠EBD=∠BED， ∴DB=DE （2）作DF⊥AB于F，连接OE． ∵DB=DE，AE=EB=6， ∴EF= /BE=3，OE⊥AB， 在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3， ∴DF= /=4， ∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°， ∴∠AOE=∠DEF， ∴sin∠DEF=sin∠AOE= /= /， ∵AE=6， ∴AO= /． ∴⊙O的半径为 /． /
【点评】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=
????
????
=
4
5
，由此求出AE即可解决问题．
5.（2017?营口）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形． ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系________； ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由； /
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系． /
【答案】（1）①DF=
2
AE ②解:理由如下： ∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置， ∴∠ABE=∠DBF， ∵
????
????
=
2
，
????
????
=
2
， ∴
????
????
=
????
????
， ∴△ABE∽△DBF， ∴
????
????
=
????
????
=
2
， 即DF=
2
AE； （2）解：如图3， / ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=mAB， ∴BD=
??
??
2
+??
??
2
=
1+
??
2
AB， ∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD， ∴
????
????
=
????
????
， ∴
????
????
=
????
????
=
1+
??
2
， ∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'， ∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF， ∴
????′
????′
=
????
????
=
1+
??
2
， ∴△ABE′∽△DBF′， ∴
????′
????′
=
????
????
=
1+
??
2
， 即DF′=
1+
??
2
AE′．
【解析】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴BF=
2
AB， ∵EF⊥AB， ∴△BEF为等腰直角三角形， BF=
2
BE， ∴BD﹣BF=
2
AB﹣
2
BE， 即DF=
2
AE； 故答案为DF=
2
AE； 【点评】（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=
2
AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=
2
BE，所以BD﹣BF=
2
AB﹣
2
BE，从而得到DF=
2
AE；②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上
????
????
=
????
????
=
2
，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以
????
????
=
????
????
=
2
；（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=
1+
??
2
AB，再证明△BEF∽△BAD得到
????
????
=
????
????
，则
????
????
=
????
????
=
1+
??
2
，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以
????′
????′
=
????
????
=
1+
??
2
，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得
????′
????′
=
????
????
=
1+
??
2
．
6.（2017?河北）平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=
4
3
，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ． /
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）
【答案】见解析
【解析】（1）解：如图1中， / ①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°， ②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°， 综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100° （2）解：如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E． / ∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA=
4
3
， ∴tan∠ABP=2， 在Rt△APE中，tanA=
????
????
=
4
3
，设PE=4k，则AE=3k， 在Rt△PBE中，tan∠ABP=
????
????
=2， ∴EB=2k， ∴AB=5k=10， ∴k=2， ∴PE=8，EB=4， ∴PB=
8
2
+
4
2
=4
5
， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴BQ=
2
PB=4
10
（3）解：①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形． / 在Rt△AEB中，∵tanA=
????
????
=
4
3
，∵AB=10， ∴BE=8，AE=6， ∴PF=BE=8， ∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ， ∴PF=BF=FQ=8， ∴PB=PQ=8
2
， ∴PB旋转到PQ所扫过的面积=
90????
(8
2
)
2
360
=32π． ②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x． / 易证△PBE≌△QPF， ∴PE=QF=x，EB=PF=8， ∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1， ∵CD∥AB， ∴∠FDQ=∠A， ∴tan∠FDQ=tanA=
4
3
=
????
????
， ∴
??
???1
=
4
3
， ∴x=4， ∴PE=4，
4
2
+
8
2
=4
5
， 在Rt△PEB中，PB=，
4
2
+
8
2
=4
5
， ∴PB旋转到PQ所扫过的面积=
90????
(4
5
)
2
360
=20π ③如图5中， / 当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8， ∴PB旋转到PQ所扫过的面积=
90????
8
2
360
=16π， 综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π
【点评】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA=
????
????
=
4
3
，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP=
????
????
=2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；
7．（2018?安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
/
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.
【解析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，根据CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，从而可得∠CMD=2∠CBM，继而可得∠CME=2∠CBA=80°，根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数；
（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是等边三角形，从而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，继而可得∠ACM=75°，连接AM，结合AE=EM=MB，可推导得出AC=AM，根据N为CM中点，可得AN⊥CM，再根据CM⊥EM，即可得出AN∥EM.
解：（1）∵M为BD中点，
Rt△DCB中，MC=
1
2
BD，
Rt△DEB中，EM=
1
2
BD，
∴MC=ME；
（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
∵CM=MB，
∴∠MCB=∠CBM，
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，
同理，∠DME=2∠EBM，
∴∠CME=2∠CBA=80°，
∴∠EMF=180°-80°=100°；
（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，
∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，
又∵CM=ME=
1
2
BD=DM，
∴DE=EM=DM，
∴△DEM是等边三角形，
∴∠EDM=60°，
∴∠MBE=30°，
∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，
∵∠MCB+∠ACE=45°，
∠CBM+∠MBE=45°，
∴∠ACE=∠MBE=30°，
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，
连接AM，∵AE=EM=MB，
∴∠MEB=∠EBM=30°，
∠AME=
1
2
∠MEB=15°，
∵∠CME=90°，
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，
∴AC=AM，
∵N为CM中点，
∴AN⊥CM，
∵CM⊥EM，
∴AN∥CM.
/
【点评】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
8．（2018?福建A）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=
3
，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
/
【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．
【解析】（1）根据已知条件易证BC∥DF，根据平行线的性质可得∠F=∠PBC；再利用同角的补角相等证得∠F=∠PCB，所以∠PBC=∠PCB，由此即可得出结论；（2）连接OD，先证明四边形DHBC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得BC=DH=1，在Rt△ABC中，用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，再求得∠NOH=∠DOC=40°，根据三角形外角的性质可得∠OAD=
1
2
∠DOC=20°，最后根据圆周角定理及平行线的性质即可求解．
解：（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F=∠PBC，
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB=180°，
∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB；
（2）如图2，连接OD，
/
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1，
在Rt△ABC中，AB=/，tan∠ACB=/，
∴∠ACB=60°，
∴BC=/AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=/∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE=∠CBD=20°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.
9．（2018?江西）在菱形????????中，∠??????=60°,点??是射线????上一动点，以????为边向右侧作等边△??????，点??的位置随点??的位置变化而变化.
（1）如图1，当点??在菱形????????内部或边上时，连接????，????与????的数量关系是 ，????与????的位置关系是 ；
（2）当点??在菱形????????外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点??在线段????的延长线上时，连接????，若????=2
3
,????=2
19
,求四边形????????的面积.
/
【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）8
3
.
【解析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得∠??????=30°，再根据△ABP≌△ACE，可得∠??????=∠??????=30°，继而可推导得出∠??????=90° ，即可证得CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；
（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得????， ????的长，再根据
??
四????????
=
??
△??????
+
??
△??????
，进行计算即可得.
解：（1）①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；
/
②CE⊥AD ，
∵菱形对角线平分对角，
∴∠??????=30°，
∵△ABP≌△ACE，
∴∠??????=∠??????=30°，
∵∠??????=∠??????=60°，
∴∠??????=30°，
∴∠??????＋∠??????=90°，
∴∠??????=90° ，
∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
/
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，∠??????=∠??????=30°，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，
∵∠ABC=60°，????=2
3
，
∴∠ABO=30° ，∴????=
3
， BO=DO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD∥BC，∴CE⊥BC，
∵????=2
19
， ????=????=2
3
，
∴????=
(2
19
)
2
－
(2
3
)
2
=8，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴????=
5
2
＋
(
3
)
2
=2
7
，
∵△APE是等边三角形，∴????=
7
， ????=
21
，
∵
??
四????????
=
??
△??????
+
??
△??????
，
∴
??
四????????
=
1
2
????·????+
1
2
????·????，
=
1
2
×2×
3
+
1
2
×2
7
×
21
=
3
+7
3
=8
3
，
∴四边形ADPE的面积是8
3
.
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.
10．（2018?威海）如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．
/
（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求
????
????
的值；
（2）若tan∠FMN=
1
2
，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；
（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．
【答案】（1）
????
????
=
5
4
；（2）可求线段AD的长；（3）证明见解析；（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
【解析】分析：（1）根据四边形ANFM是平行四边形，AB⊥AE，即可得到四边形ANFM是矩形，再根据FN=FM，即可得出矩形ANFM是正方形，AB=AE，结合∠1=∠3，∠C=∠D=90°，即可得到△ABC≌△EAD，进而得到BC=AD，CA=DE，即可得出
????
????
=
5
4
；
（2）依据四边形MANF为矩形，MF=
1
2
AE，NF=
1
2
AB，tan∠FMN=
1
2
，即可得到
????
????
=
1
2
，依据△ABC∽△EAD，即可得到
????
????
=
????
????
=
1
2
，即可得到AD的长；
（3）根据△ABC和△ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，NA=ND，进而得出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；
（4）由BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
详解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，
∴MF，NF都是△ABE的中位线，
∴MF=
1
2
AE=AN，NF=
1
2
AB=AM，
∴四边形ANFM是平行四边形，
又∵AB⊥AE，
∴四边形ANFM是矩形，
又∵tan∠FMN=1，
∴FN=FM，
∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，
又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴BC=AD=4，CA=DE=5，
∴
????
????
=
5
4
；
（2）可求线段AD的长．
由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF=
1
2
AE，NF=
1
2
AB，
∵tan∠FMN=
1
2
，即
????
????
=
1
2
，
∴
????
????
=
1
2
，
∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，
∴△ABC∽△EAD，
∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，
∵BC=4，
∴AD=8；
（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，
∴△ABC和△ADE都是直角三角形，
∵M，N分别是AB，AE的中点，
∴BM=CM，NA=ND，
∴∠4=2∠1，∠5=2∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠4=∠5，
∵∠FMC=90°+∠4，∠FND=90°+∠5，
∴∠FMC=∠FND，
∵FM=DN，CM=NF，
∴△FMC≌△DNF（SAS）；
（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，
∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
///
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．
11．（2018?河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①
????
????
的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断
????
????
的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=
7
，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
/
【答案】（1）①1；②40°；（2）
3
，90°；（3）AC的长为3
3
或2
3
．
【解析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则
????
????
＝
????
????
=
3
，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，
????
????
＝
3
，可得AC的长．
解：（1）问题发现：
①如图1，
/
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴
????
????
=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，
（2）类比探究：
如图2，
????
????
=
3
，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴
????
????
＝??????30°＝
3
3
，
同理得：
????
????
＝??????30°＝
3
3
，
∴
????
????
＝
????
????
，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴
????
????
＝
????
????
=
3
，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸：
①点C与点M重合时，如图3，
/
同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，
????
????
＝
3
，
设BD=x，则AC=
3
x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=
7
，
∴AB=2OB=2
7
，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(
3
x)2+(x?2)2＝(2
7
)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3
3
；
②点C与点M重合时，如图4，
/
同理得：∠AMB=90°，
????
????
＝
3
，
设BD=x，则AC=
3
x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(
3
x)2+（x+2）2=(2
7
)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2
3
；.
综上所述，AC的长为3
3
或2
3
．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
12．（2018?邵阳）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．
（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；
（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．
①若OE=
3
，OG=1，求
????
????
的值；
②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）
/
【答案】（1）证明见解析；（2）①
????
????
=
3
；②添加AC=BD.
【解析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=
1
2
AC，GF∥AC、GF=
1
2
AC，据此得出OE=GF、OE//GF，即可得证；
（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得
????
????
=
????
????
=
3
；
②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的条件均可以满足此条件．
解：（1）如图1，连接AC，
/
∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴OE∥AC、OE=
1
2
AC，GF∥AC、GF=
1
2
AC，
∴OE=GF，OE//GF，
∴四边形OEFG是平行四边形；
（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，
∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，
∴
????
????
=
????
????
，
∴△OGM∽△OEN，
∴
????
????
=
????
????
=
3
；
②添加AC=BD，
如图2，连接AC、BD，
/
∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴OG=EF=
1
2
BD、OE=GF=
1
2
BD，
∵AC=BD，
∴OG=OE，
∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，
∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，
∴OG=OE、OM=ON，
在△OGM和△OEN中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，
∴△OGM≌△OEN（SAS），
∴GM=EN．
【点评】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．
一、解答题（共12道题）
1.（2017·无锡二模）如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．请用直尺和圆规对图②、图③作出符合要求的点（保留作图痕迹，不写作法．） /
（1）如图②，在△ABC内求作一点Q，使点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（2）如图③，在△ABC外求作一点M，使点A是△MBC内∠M的一个二倍角点．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：如图②中，点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点； / （2）解：如图③，点A是△MBC内∠M的一个二倍角点； /
【点评】（1）作△ABC的外接圆⊙Q，连接BQ，CQ，点Q即为所求. （2）延长BA到C′，使AC=AC′，作△BCC′的外接圆⊙O，在⊙O上取一点M，连接MB，MC，使点A在△BMC内，点M即为所求.
2.（2017·台州模拟）已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB为直径作⊙O，与BE边相交于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AE于点D．
/
（1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：AE2=EC?EB．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：∵∠BAE=90°，AB为直径， ∴AE为⊙O的切线， 又CD为⊙O的切线， ∴AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， 又AB直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°， ∴∠DCE=∠DEC， ∴DC=DE， ∴AD=DE， 即D是AE的中点 （2）解：∵∠BAE=90°， ∴∠BAC+∠CAE=90°， 又AB直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠CAE=∠ABC， 又∠E=∠E， ∴△ACE∽△BAE， ∴ /= /， ∴AE2=EC?EB．
【点评】（1）根据已知条件得到AE为⊙O的切线，根据切线的性质得到AD=CD，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，由圆周角定理得到∠ACB=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠DEC，即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
3.（2017·西安二模）如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． /
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C． ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABE=
1
2
∠ABD，∠CDF=
1
2
∠CDB． ∴∠ABE=∠CDF． ∵在△ABE和△CDF中， {
∠??=∠??
????=????
∠??????=∠??????
∴△ABE≌△CDF（ASA） （2）证明：∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°． ∴平行四边形DFBE是矩形
【点评】（1）由“BE平分∠ABD，DF平分∠CDB”可得∠ABE=∠CDF，结合平行四边形的性质证出△ABE≌△CDF；（2）要证四边形DFBE是矩形四边形可先证DFBE是平行四边形，再由“AB=DB，BE平分∠ABD”，可得BE⊥AD，即∠DEB=90°，所以平行四边形DFBE是矩形.
4.（2017·长春二模）在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD； /
（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE； /
（3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出
????
????
的值． /
【答案】见解析
【解析】（1）解：证明：如图1中，连接BD、AC． / ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 即AC垂直平分线段BD． （2）解：如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120得到△ADM．连接AC交BD于O． / ∵B、D关于AC对称， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠BCD=60°， ∴∠BAD=120°， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°， ∴∠FAE=∠FAM， ∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF， ∴F、D、M共线， ∵FA=FA，AE=AM， ∴△FAE≌△FAM， ∴∠AFE=∠AFM， ∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF， ∴∠GAO=∠DAF， ∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°， ∴∠AGO=∠ADF， ∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE， ∴△AGH∽△AFE． （3）解：如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M． / ∵EF⊥CD， ∴∠EFD=90°， 由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°， ∵∠ADF=90°， ∴AD=DF，设HM=AM=a，则DH=2a，DM=
3
a， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+
3
）a， ∴CD=BD=
3
AD=（3+
3
）a， 在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+
3
）a， ∴AO=OG=
1
2
AD=
1+
3
2
a，OD=
3
OA=
3+
3
2
a， ∴OH=OD﹣DH=
3+
3
2
a﹣2a=
3
?1
2
a， ∴GH=OG+OH=
3
a， ∴
????
????
=
3
??
(3+
3
)??
=
3
?1
2
．
【点评】（1）利用垂直平分线的判定定理及两点确定一条直线可证出；（2）通过旋转构造全等三角形，即△FAE≌△FAM，进而得出∠AFE=∠AFM，∠GAH=∠FAE，证出相似；（3）利用（2）的结论得出∠ADF=90°，AD=DF，设出参数HM=AM=a，运用三角函数定义，用a的代数式分别表示出BD，GH，可求出比值.
5.（2017·合肥一模）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E． /
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC． ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明； ②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形， / 如答图1所示，连接CD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2． 在△AND与△CMD中， {
∠1=∠2
????=????
∠??=∠??????=45°
∴△AND≌△CMD（ASA）， ∴DN=DM． ∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中， {
∠4=∠3
????=????
∠1=∠5
∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF （2）①答：AE=DF． 证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD ∴
????
????
=
????
????
，即MF?EN=DE?DF． 同理△AEN∽△MFB， ∴
????
????
=
????
????
，即MF?EN=AE?BF． ∴DE?DF=AE?BF， ∴（AD﹣AE）?DF=AE?（BD﹣DF）， ∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF． 证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． / ∵D为AB中点， ∴DQ=PC=PB． 易证△DMF∽△NDE，∴
????
????
=
????
????
， 易证△DMP∽△DNQ，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
， ∴
????
????
=
????
????
； 易证△AEN∽△DPB，∴
????
????
=
????
????
， ∴
????
????
=
????
????
，∴AE=DF． ②答：DF=kAE． 证法一：由①同理可得：DE?DF=AE?BF， ∴（AE﹣AD）?DF=AE?（DF﹣BD） ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE． 证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． / 易证△AQD∽△DPB，得
????
????
=
????
????
=
1
??
，即PB=kDQ． 由①同理可得：
????
????
=
????
????
=
????
????
， ∴
????
????
=
??????
????
； 又∵
????
????
=
????
????
， ∴
????
????
=
??????
????
， ∴DF=kAE
【点评】（1）连接CD，首先证明△AND≌△CMD，依据全等三角形的性质可得到DN=DM，然后再证明△NED≌△DFM，从而可得到DF=NE，然后依据等腰三角形的性质可得到AE=NE=DF； （2）①若D为AB中点，则△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，然后依据相似三角形的性质列出比例式，接下来，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立；②若BD=kAD，证明思路与①类似.
6. （2017·临沂一模）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N． /
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图1， / ∵EN∥AD， ∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM． ∵点M为DE的中点， ∴DM=EM． 在△ADM和△NEM中， ∴ {
∠??????=∠??????
∠??????=∠??????
????=????
． ∴△ADM≌△NEM． ∴AM=MN． ∴M为AN的中点． （2）证明：如图2， / ∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形， ∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°． ∵AD∥NE， ∴∠DAE+∠NEA=180°． ∵∠DAE=90°， ∴∠NEA=90°． ∴∠NEC=135°． ∵A，B，E三点在同一直线上， ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°． ∴∠ABC=∠NEC． ∵△ADM≌△NEM（已证）， ∴AD=NE． ∵AD=AB， ∴AB=NE． 在△ABC和△NEC中， {
????=????
∠??????=∠??????
????=????
∴△ABC≌△NEC． ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE． ∴∠ACN=∠BCE=90°． ∴△ACN为等腰直角三角形． （3）△ACN仍为等腰直角三角形． 证明：如图3，延长AB交NE于点F， / ∵AD∥NE，M为中点， ∴易得△ADM≌△NEM， ∴AD=NE． ∵AD=AB， ∴AB=NE． ∵AD∥NE， ∴AF⊥NE， 在四边形BCEF中， ∵∠BCE=∠BFE=90° ∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180° ∵∠FBC+∠ABC=180° ∴∠ABC=∠FEC 在△ABC和△NEC中， {
????=????
∠??????=∠??????
????=????
∴△ABC≌△NEC． ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE． ∴∠ACN=∠BCE=90°． ∴△ACN为等腰直角三角形．
【点评】（1）抓住已知条件EN∥AD和点M为DE的中点，易证得△ADM≌△NEM．即可得出结论。 （2）由△BAD和△BCE均为等腰直角三角形及AD∥NE，去证明∠NEC=∠ABC=135°，AB=NE．再证明△ABC≌△NEC．得出AC=NC，∠ACB=∠NCE．然后证明∠ACN是直角即可。 （3）延长AB交NE于点F，证法同（2）类似，即可得出△ACN为等腰直角三角形。
7．（2018?唐山模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，CD＝3
2
，求弦AD的长．
/
【答案】（1）证明见解析（2）
6
【解析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由△CDB∽△CAD，可得/，推出CD2=CB?CA，可得（3/）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3，/，设BD=/K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解决问题．
解：（1）证明：连结OC，如图，
/
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴/，
∴CD2=CB?CA，
∴（3/）2=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3，/,设BD=/K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，
∴k=/，
∴AD=/．
8．（2018?佛山模拟）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF．
（1）说明△BEF是等腰三角形；
（2）求折痕EF的长．
/
【答案】（1）见解析；（2）
15
2
.
【解析】（1）根据折叠得出∠DEF=∠BEF，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BFE，求出∠BEF=∠BFE即可；
（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在Rt△EMF中，由勾股定理求出即可．
解：（1）∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴∠DEF=∠BEF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，即△BEF是等腰三角形；
（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM．
∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．
在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE=
25
4
=DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣
25
4
=
7
4
=BM，∴FM=
25
4
﹣
7
4
=
9
2
．
在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF=
6
2
+（
9
2
）
2
=
15
2
．
故答案为：
15
2
．
/
【点评】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．
9．（2018?襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：
????
????
的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2
2
，则BC= ．
/
【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②
2
；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=
2
BE；（3）3
5
【解析】（1）①由????⊥????、????⊥????结合∠??????=
90
°
可得四边形CEGF是矩形，再由∠??????=
45
°
即可得证；
②由正方形性质知∠??????=∠??=
90
°
、∠??????=
45
°
，据此可得
????
????
=
2
、????//????，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证△??????∽△??????即可得；
（3）证△??????∽△??????得
????
????
=
????
????
=
????
????
，设????=????=????=??，知????=
2
??，由
????
????
=
????
????
得????=
2
3
??、????=
1
3
??、????=
10
3
??，由
????
????
=
????
????
可得a的值．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴
????
????
=
2
，GE∥AB，
∴
????
????
=
????
????
=
2
，
故答案为：
2
；
（2）连接CG，
/
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
????
????
=cos45°=
2
2
、
????
????
=cos45°=
2
2
，
∴
????
????
=
????
????
=
2
，
∴△ACG∽△BCE，
∴
????
????
=
????
????
=
2
，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=
2
BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
，
设BC=CD=AD=a，则AC=
2
a，
则由
????
????
=
????
????
得
6
2
??
=
2
2
????
，
∴AH=
2
3
a，
则DH=AD﹣AH=
1
3
a，CH=
??
??
2
+??
??
2
=
10
3
a，
∴由
????
????
=
????
????
得
6
2
??
=
2
3
??
10
3
??
，
解得：a=3
5
，即BC=3
5
，
故答案为：3
5
．
【点评】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
10．（2018?深圳模拟）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=
2
AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2
5
，CE=2，求线段AE的长．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4
2
.
【解析】（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；
（2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=
2
，Rt△ACH中，AH=3
2
，即可得到AE=AH+EH=4
2
．
解：解：（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，
&????=????
&∠??????=∠??????
&????=????
，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=
2
AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=
2
，Rt△ACH中，AH=
（2
5
）
2
+（
2
）
2
=3
2
，∴AE=AH+EH=4
2
．
/
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．
11．（2018?晋中模拟）（1）操作与探究：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．
①第一次折叠：当折痕的另一端点F在AB边上时，如图1，求折痕GF的长；
②第二次折叠：当折痕的另一端点F在AD边上时，如图2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
/
（2）拓展延伸：通过操作探究发现在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图3所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离是 ．
【答案】（1）①GF=5
5
；②4
5
；（2）4.
【解析】（1）①首先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，根据勾股定理即可得出结论； ②首先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG，得出四边形BGEF是菱形，再利用菱形性质求出FG的长； （2）分别利用当点P与点B重合时，以及当点D与点Q重合时，求出A′B的极值进而得出答案．
解：（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，
/ 在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8， 所以，EH=
10
2
?
8
2
=6，AE=10-6=4， 设AF=x，则EF=BF=8-x， 则AF2+AE2=EF2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， ∴AF=3，BF=EF=5， 在Rt△BFG中，根据勾股定理得FG=
??
??
2
???
??
2
=5
5
.
②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，
/ ∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC，BH∥EG， ∴四边形BGEF是平行四边形； 由对称性知，BG=EG， ∴四边形BGEF是菱形．
BG=BF=10,AB=8,AF=6,
∴KG=4,FG=
8
2
+
4
2
=
80
=4
5
；
（2）如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5， 如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
/ A′D=AD=13， 在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2， 即132=（13-A′B）2+52， 解得：A′B=1， 所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．
【点评】四边形综合题，主要考查了翻折变换的性质以及菱形的判定和勾股定理等知识，注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．
12．（2018?牡丹江三模）等腰直角△ABC，△MAD中，∠BAC=∠DM/A=90°，连接BM，CD．且B，M，D三点共线
/
（1）当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，如图①，求证：BM+CD=AM；（提示：延长DB到点N，使MN=MD，连接AN．）
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，如图②；当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，如图③，请直接写出线段BM，CD，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）条件下，点E是AB中点，MF是△AMD的角平分线，连接EF，若EF=2MF=6，则CD= ．
【答案】（1）证明见解析（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM（3）12-6
2
【解析】（1）延长DB到点N，使MN=MD，由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，则结论可得． （2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，：在线段BM上截取MN=DM，由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得BM=CD+AM，当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，延长DM到N，使MN=DM．由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得CD=BM+AM （3）由题意可得EF是中位线，分类讨论，代入关系式可求CD的长度．
解：（1）延长DB到点N，使MN=MD，连接AN,
∵等腰直角△ABC，△MAD,
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,
∵MN=MD，∠DMA=90°，AM=AM,
∴△AMN≌△AMD,
∴AD=/AN，∠NAM=∠MAD=45°,
∴∠NAD=90°,
∵∠NAD=∠BAC=90°,
∴∠NAB=∠CAD，且AN=AD，AB=AC,
∴△ABN≌△ACD,
∴BN=CD,
∵MN=BM+BN,
∴AM=MD=BM+CD,
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM,
如图：在线段BM上截取MN=DM,
/
∵等腰直角△ABC，△MAD,
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,
∵MN=DM,
∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,
∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,
∴AN=AD，∠NAD=90°,
∵∠NAD=∠BAC=90°,
∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,
∴△ABN≌△ACD,
∴BN=CD,
∵BM=BN+MN,
∴BM=CD+AM,
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM,
如图：延长DM到N，使MN=DM．
/
∵等腰直角△ABC，△MAD,
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,
∵MN=DM,
∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,
∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,
∴AN=AD，∠NAD=90°,
∵∠NAD=∠BAC=90°,
∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,
∴△ABN≌△ACD,
∴BN=CD,
∵BN=BM+MN,
∴CD=BM+AM,
（3）∵MF是△AMD的角平分线，∠DMA=90°，AM=DM,
∴AF=DF=MF且点E是AB中点,
∴BD=2EF=12，
∵EF=2MF=6,
∴MF=3,
∴AF=DF=MF=3,
∴AM=DM=3
2
,
当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，AM=BM+CD,
∴CD=3
2
﹣（12﹣3
2
）=6
2
﹣12＜0,
故不存在这样的点D,
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，BM=CD+AM,
∴CD=BM﹣AM=12﹣6/,
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM,
∵AB＜DM,
∴不存在这样的点D,
综上所述，CD=12﹣6
2
,
故答案为12﹣6
2
.
【点评】考查了三角形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的关键.
/
