北师大版 数学 八年级下 2.5 一元一次不等式与一次函数(1) 教学设计
课题
2.5一元一次不等式与一次函数(1)
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系，会用图象法解一元一次不等式和一元一次方程，会用数形结合的思想方法解决问题；
过程与方法：经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力并掌握数形结合的思想，体会解决问题的多种途径；
情感态度与价值观：在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.
重点
理解一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程的关系,运用此关系求解问题.
难点
理解一元一次不等式、一元一次方程的图象解法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在前面的学习中，我们学习了一次函数的相关知识，下面请同学们回答：
问题1.什么是一次函数？
答案：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．
问题2.你能在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x－5的图象吗？
答案：1.列表；2.描点；3.连线
x
0
2.5
y
-5
0
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾一次函数的定义和画法，为探究一元一次不等式与一次函数之间的关系做好铺垫
新知讲解
观察：请根据函数y＝2x－5的图象回答下列问题：
(1)x取何值时，y＝0？
答案：x=2.5时,y=0;
(2)x取哪些值时，y＞0？
答案：x>2.5时,y>0;
(3)x取哪些值时，y＜0？
答案：x<2.5时,y<0;
(4)x取哪些值时，y＞1？
答案：x>3时,y>1.
想一想：如果y＝－2x－5.
(1)当x取何值时，y＞0？
解：－2x－5>0
－2x>5
x<－2.5
答案：当x<－2.5时,y>0;
(2)当x取哪些值时，y＜0？
解：－2x－5<0
－2x<5
x>－2.5
答案：当x>－2.5时,y<0;
(3)当x取哪些值时，y＞1？
解：－2x－5>1
－2x>6
x<－3
答案：当x<－3时,y>1.
追问1：你还有其他的方法吗？
解：函数y＝-2x－5的图象如图所示：
(1)当x<－2.5时,y>0;
(2)当x>－2.5时,y<0;
(3)当x<－3时,y>1.
追问2：你能说一说一元一次不等式和一次函数的关系吗？
归纳：一次函数和一元一次不等式的关系
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为kx＋b＞0或kx＋b＜0(k≠0，k，b为常数)的形式；
所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；
反映在图象上，就是直线y＝kx＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．
即：关于一次函数的值的问题
代数法图象法
关于一次不等式的问题
做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象.
观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20m?谁先跑过100m?
解：设哥哥跑的时间为xs，他们跑的路程为ym.根据题意得：，
函数图象如图所示：
（1）令4x=3x+9,
解得，x=9
根据图象可知：9s前，弟弟跑在了哥哥的前面.
（2）根据图象可知：9s后，哥哥跑在了弟弟的前面.
（3）当x＝9时，y＝36.
根据图象可知：弟弟先跑过了20m，哥哥先跑过了100m.
练习：已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，(1)y1＞y2？(2)y1＝y2?(3)y1＜y2?
解：方法一：代数法
(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2.
(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2.
(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.
答：当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.
方法二：图象法
解：在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．
由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．
观察图象可知，
当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.
学生认真观察，并说自己的答案..
学生读题，找出题中的不等关系，并求解.
学生画函数图象后回答问题.
在老师的引导下，学生同归纳.
学生利用图象法独立完成做，班内交流后，认真听老师的讲评.
学生用两种方法完成本题后，在班内交流，并听老师的点评.
感受一元一次不等式与一次函数之间的关系（图象法）.
感受一次函数与一元一次不等式之间的关系（代数法）.
感受一次函数与一元一次不等式之间的关系（图象法）.
进一步体会一元一次不等式与一次函数之间的关系.
应用图象法解决实际问题，进一步体会一元一次不等式与一次函数的关系.
体会代数法与图象法在解决实际问题中的具体应用.
课堂练习
1．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是( )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
答案：B
2．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x>ax＋3的解集是( )
A．x>2 B．x<2 C．x>－1 D．x<－1
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
若一次函数y＝ax＋b(a>0)的图象与x轴的交点坐标是(m，0)，则关于x的一元一次不等式ax＋b≤0的解集应为( )
A．x≤m B．x≤－m C．x≥m D．x≥－m
答案：A
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析中考题：
（2018·锦州）如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a答案：x>1
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题考查中的运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题：一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？
答案：既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用。
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第51页习题2.6第1、2题
能力作业
教材第51页习题2.6第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
2.5 一元一次不等式与一次函数（1）试卷
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．若函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集为( )
A．x<3 B．x>3 C．x<6 D．x>6
2．一次函数y=kx+b的图象如图所示，点P(3,4)在函数的图象上.则关于x的不等式kx+b≤4的解集是( )
A．x≤3 B．x≥3 C．x≤4 D．x≥4
第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
3．一次函数y=kx+b图像经过（2，0），（0，?1?m2）两点，则关于x的不等式kx+b＞0的解集（ ）
A．x ＞2 B．x ＜2 C．x＞?1?m2 D． x＜?1?m2
4．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B（2，4），则不等式kx≤ax+b的解集为（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤2 D．2≤x≤6
5．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解是______．
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x________时，kx＋b＞2.
8．如图，函数y=kx与y=?32x+b的图象交于点M(?2,1)，那么不等式kx>?32x+b的解集是______．
9．如果一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点坐标为(?2,0)，如图所示．则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程kx+b=0的解为x=?2；③kx+b>0的解是x>?2；④b<0．其中正确的说法有_____．（只填你认为正确说法的序号）
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．x为何值时，函数y＝1.5x＋6能满足下列要求：
(1)y＝3；(2)y＞2.
11．已知一次函数y＝2x﹣6，
(1)画出该函数的图象．
(2)判断(4，3)是否在此函数的图象上．
(3)观察画出的图象，说一说当x为何值时y＜0?
12．如图，直线l1的解析式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B，直线l1、l2交于点C（m，2）．
（1）求m；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
试题解析
1．B
【解析】由一次函数图象过（3，0）知x＞3时，y=kx+b＜0，从而得出答案．
解：由函数图像可得一次函数y=kx+b经过点（3，0）， ∴当x＞3时，y=kx+b＜0， 故选：B．
2．A
【解析】观察函数图象结合点P的坐标，即可得出不等式的解集．
解：观察函数图象，可知：当x≤3时，kx+b≤4．
故选：A．
3．A
【解析】首先利用图象可找到图象在x轴上方时x＜2，进而得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x>2．
解：∵m2>0，
∴?1?m2<0，
∴由题意可得：一次函数y=kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x>2，
则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x>2，
故选A．
4．A
【解析】写出直线y＝kx在直线y＝ax+b下方部分的x的取值范围即可．
解：∵直线y＝ax+b与直线y＝kx交于点B（2，4），
∴不等式kx≤ax+b的解集为x≤2．
故选：A．
5．B
【解析】观察图象，直线y=kx+1落在直线y=﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
解：∵一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象交点为P（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥﹣3x+b，
∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集为x≥3，
在数轴上表示为：
故选B．
6．x=2
【解析】根据一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解即该一次函数与x轴交点的横坐标，由图可知.
解：方程kx+b=0的解即一次函数y=kx+b与 x轴的交点的横坐标.从图中可得x=2
故答案为x=2
7．x＜0
【解析】kx+b＞2就是求函数值大于2时，x的取值范围，观察图象即可求得．
解：观察函数图象，一次函数图象在y轴左边所对应的函数值都大于2，
∴x＜0时，kx+b＞ 2．
故答案为：x＜0
8．x【解析】函数y=kx与y=?32x+b的图象的交点由图象可直接得到答案，以交点为分界，交点左边kx>?32x+b，结合图象可得答案．
解：由图象可得：函数y=kx与y=?32x+b的图象交于点M(?2,1)，
关于x的不等式kx>?32x+b的解集是x故答案为：x9．①②④
【解析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．由图可以k＜0，b＜0.
解：由图可知k＜0， ①当k＜0时，y随x的增大而减小，故本小题正确； ②图象与x轴交于点（-2，0），故关于x的方程kx+b=0的解为x=-2，故本小题正确； ③不等式kx+b＞0的解集图像y>0的部分对应的自变量x的取值范围，所以x＜-2，故本小题错误； ④直线与y轴负半轴相交，b＜0，故本小题正确； 综上所述，说法正确的是①②④． 故答案为：①②④．
10．(1)当x＝－2时，y＝3；(2)当x＞－83时，y＞2.
【解析】（1）当函数值为3时得到方程1.5x+6=3，然后解方程即可； （2）当函数值＞2时得到1.5x+6＞2，然后解不等式即可．
解：(1)当y＝3时，
可得：1.5x＋6＝3，
解得x＝－2；
(2)当y＞2时，
1．5x＋6＞2，
解得x＞－83.
11．(1)见解析；(2)该点不在图象上；(3)x＜3时，y＜0．
【解析】（1）求出直线与坐标轴的交点，画出函数图象即可； （2）把（4，3）代入函数解析式检验即可； （3）根据函数图象即可得出结论．
解：(1)∵一次函数y＝2x﹣6与坐标轴的交点为(0，﹣6)，(3，0)，
∴函数图象如图；
(2)∵当x＝4时，y＝8﹣6＝2≠3，
∴该点不在图象上；
(3)由图可知，当x＜3时，y＜0．
12．（1）m＝2；（2）y＝﹣x+4；（3）2＜x＜3．
【解析】（1）把点C的坐标代入直线l1的解析式求出m的值，即可得解；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据图象解答即可．
解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上，
∴2＝2m﹣2，m＝2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴2=2k+b1=3k+b，
解之得：k=?1b=4，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；
（3）由图象可得1＜kx+b＜2x﹣2的解集为2＜x＜3．
课件22张PPT。一元一次不等式与一次函数（1）数学北师大版 八年级下新知导入1. 什么是一次函数？一般地，形如y =kx +b（k，b 为常数，k ≠0）的函数叫一次函数．2. 你能在平面直角坐标系中画出一次函数y =2x －5的图象吗？列表描点连线-52.5y＝2x－5新知讲解观察：请根据函数y＝2x－5的图象回答下列问题：
(1) x取何值时，y＝0？
(2) x取哪些值时， y＞0？
(3) x取哪些值时， y＜0？
(4) x取哪些值时， y＞1？y＝2x－5x > 2.5 时 , y > 0 ;x = 2.5 时 , y = 0 ;x < 2.5 时 , y < 0 ;x > 3 时 , y > 1.新知讲解想一想：如果 y＝-2x－5.
(1) 当x取何值时，y＞0？
(2) 当x取哪些值时， y＜0？
(3) 当x取哪些值时， y＞1？当x <-2.5 时 , y > 0 ;当x >-2.5 时 , y < 0 ;当x <-3 时 , y > 1.(1)-2x－5>0
-2x>5
x<-2.5解：(2)-2x－5<0
-2x<5
x>-2.5(3)-2x－5>1
-2x>6
x<-3 你还有其他的方法吗？新知讲解想一想：如果 y＝-2x－5.
(1) 当x取何值时，y＞0？
(2) 当x取哪些值时， y＜0？
(3) 当x取哪些值时， y＞1？当x <-2.5 时 , y > 0 ;当x >-2.5 时 , y < 0 ;当x <-3 时 , y > 1. 你能说一说一元一次不等式和一次函数的关系吗？y＝-2x－5(-2.5,0)(-3,1)函数y＝-2x－5的图象如图所示：新知讲解一次函数和一元一次不等式的关系
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为kx＋b＞0或kx＋b＜0(k≠0，k，b为常数)的形式；
所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；
反映在图象上，就是直线y＝kx＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．新知讲解关于一次函数的值的问题关于一次不等式的问题代数法图象法新知讲解做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m. 列出函数关系式，作出函数图象.解：设哥哥跑的时间为xs，他们跑的路程为ym.根据题意得：函数图象如图所示：新知讲解做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m. 列出函数关系式，作出函数图象. 观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？解： （1）令4x=3x+9,
解得，x=9
根据图象可知：9s前，弟弟跑在了哥哥的前面.新知讲解做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m. 列出函数关系式，作出函数图象. 观察图象回答下列问题：
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？解： （2）根据图象可知：
9s后，哥哥跑在了弟弟的前面.新知讲解做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m. 列出函数关系式，作出函数图象. 观察图象回答下列问题：
（3）谁先跑过20m?谁先跑过100m?
36解： （3）当x＝9时，y＝36.
根据图象可知：
弟弟先跑过了20m，哥哥先跑过了100m.新知讲解练习：已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，
(1) y1＞y2？ (2) y1＝y2? (3) y1＜y2?解： (1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2.
(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2.
(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.
答：当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.代数法新知讲解练习：已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，
(1) y1＞y2？ (2) y1＝y2? (3) y1＜y2?图象法解：在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．
由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．
观察图象可知，
当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.课堂练习1．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是( )
A．x＞2
B．x＜2
C．x≥2
D．x≤2B课堂练习2．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x>ax＋3的解集是( )
A．x>2
B．x<2
C．x>－1
D．x<－1D拓展提高若一次函数y＝ax＋b(a>0)的图象与x轴的交点坐标是(m，0)，则关于x的一元一次不等式ax＋b≤0的解集应为( )
A．x≤m B．x≤－m
C．x≥m D．x≥－mA中考链接（2018·锦州）如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a1课堂总结一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？ 既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用。板书设计
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