河南濮阳市南乐县高二下学期第一次月考数学试卷解析版

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高二下学期第一次月考理科数学试卷
满分：150；考试时间：120分钟；命题时间：2019.3.22
注意事项：
答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共12小题）
1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（　　）
A．e B． C．﹣1 D．﹣e
2．“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0的倾斜角大于”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列推理不属于合情推理的是（　　）
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电
C．两条直线平行，同位角相等，若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A＝∠B
D．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an﹣1+1（n≥2），猜想{an}的通项公式
4．（cos（x+）+）dx＝（　　）
A．8π B．4π C．2π D．π
5．曲线在点P（1，f（1））处的切线l的方程为（　　）
A．x+y﹣2＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x+y+2＝0 D．3x+y﹣4＝0
6．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A．e B．﹣e C． D．﹣
7．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）＝n（n+1）2时，从n＝k到n＝k+1，等号左边需要增加的代数式为（　　）
A．k（3k+4） B．（k+1）（3k+l）
C．（k+1）3k D．（k+1）（3k+4）
8.以下是解决数学问题的思维过程的流程图：

在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（　　）
A．①﹣分析法，②﹣反证法 B．①﹣分析法，②﹣综合法
C．①﹣综合法，②﹣反证法 D．①﹣综合法，②﹣分析法
9.若函数f（x）＝x3﹣x2+2x没有极小值点，则a的取值范围是（　　）
A．[0，] B．[） C．{0}∪[） D．{0}∪（）
10.设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝x?f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（　　）

A．f（x）的极大值为，极小值为
B．f（x）的极大值为，极小值为
C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）
D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）
11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且＝0，直线AF2交y轴于点M，若|F1F2|＝6|OM|，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
13．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为　 　．
14．求直线y＝2x+3与抛物线y＝x2所围成的图形面积是多少？
15．曲线y＝lnx上的点到直线x﹣y+3＝0的最短距离是　 　．
16．若函数f（x）＝e﹣x（x2+ax﹣a）在R上单调递减，则实数a的值为 。
三．解答题（共6小题）
17．已知x∈R，a＝x2+，b＝2﹣x，c＝x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．



18．设函数，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝2．
（Ⅰ）求 b，c的值；
（Ⅱ）若a＝2，求函数y＝f（x）的极值．




19．已知函数f（x）＝x2﹣alnx（a∈R）．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）如果方程f（x）＝0总有两个不相等的实数根，求a的取值范围．




20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为菱形，∠ABC＝60°，PA＝PB＝AB＝2，点N为AB的中点．
（1）证明：AB⊥PC
（2）若点M为线段PD的中点，平面PAB⊥平面ABCD，求二面角M﹣NC﹣P的余弦值．



21．已知函数．
（1）设x＝2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．



22．已知椭圆E的方程为，点A为长轴的右端点．B，C为椭圆E上关于原点对称的两点．直线AB与直线AC的斜率kAB和kAC满足：．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+t与圆相切，且与椭圆E相交于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点．






高二下学期第一次月考理科数学答案



1．解：由f（x）＝2xf′（e）+lnx，得f′（x）＝2f′（e）+，则f′（e）＝2f′（e）+，所以f′（e）＝﹣，故f（x）＝﹣x+lnx，所以f（e）＝﹣1．故选：C．
2．解：∵直线ax+y﹣1＝0的倾斜角大于，∴直线斜率k＞1或k＜0，又∵k＝﹣a，∴a＜﹣1或a＞0，
∵a＜﹣1?a＜﹣1或a＞0，a＜﹣1或a＞0推不出a＜﹣1，∴“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0的倾斜角大于”的充分而不必要条件．故选：A．
3．解：对于A选项：类比推理，B选项：归纳推理，C选项：演绎推理，D选项：归纳推理，故选：C．
4．∵，令，两边平方得y2＝16﹣x2，则有x2+y2＝16，所以，函数在x∈[﹣4，4]上的图象是圆x2+y2＝16的上半部分，所以，．
所以，＝＝，故选：A．
5．解：f′（x）＝，f（1）＝1，f′（1）＝﹣3，故切线方程是：y﹣1＝﹣3（x﹣1），
即3x+y﹣4＝0，故选：D．
6.解：设切点坐标为（a，lna），∵y＝lnx，∴y′＝，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna＝（x﹣a），
将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e，∴切线的斜率是＝；故选：C
D．8.D
9.解：当a＝0时，f（x）＝﹣x2+2x，满足题意，否则：f'（x）＝ax2﹣2x+2，满足题意时有：△＝4﹣8a≤0，求解不等式可得：，综上可得，实数a的取值范围是．故选：C．
10.解：观察图象知，x＜﹣3时，y＝x?f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，y＝x?f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，y＝x?f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．
x＞3时，y＝x?f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）．故选：D．
11．解：＝0，可得∠F1AF2＝90°，由题意可得△F2OM∽△F2AF1，则：，因为|F1F2|＝6|OM|，所以＝，所以＝，因为|AF1|+|AF2|＝2a，所以|AF1|＝，|AF2|＝，所以|AF1|2+|AF2|2＝4c2，可得，解得e＝＝．
故选：D．
12．解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，0）递减，由（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0，得g（x+2014）＞g（﹣2），故x+2014＜﹣2，解得：x＜﹣2016，故选：C．
13．y＝x．
14.解：所以或所以交点为（3，9）或（﹣1，1）∴直线y＝2x+3与抛物线y＝x2所围成的图形面积是＝（x2+3x）﹣（x3）＝
15．解：根据题意得，y′＝，令＝1得x＝1，∴切点为（1，0），∴由点到直线的距离为d＝＝2，
16.解：f′（x）＝，若f（x）在R递减，则﹣x2+（2﹣a）x+2a≤0在R恒成立
即x2+（a﹣2）x﹣2a≥0在R恒成立，故△＝（a﹣2）2+8a≤0恒成立，故（a+2）2≤0恒成立，故a＝﹣2，
17．证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3而a+b+c＝2x2﹣2x++3＝2+3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1．




18：（Ⅰ）f'（x）＝x2﹣ax+b，………（2分）由题意得解得：b＝0，c＝2． ………（6分）
（Ⅱ）依题意，由f′（x）＝x2﹣2x＝0得x1＝0，x2＝2．………（8分）
所以当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ………（10分）
故f（x）的极大值为f（0）＝2，f（x）的极小值为． ………（12分）
19．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝x2+lnx的导数为f′（x）＝2x+，在点（1，f（1））处的切线斜率为3，切点为（1，1），可得切线的方程为y﹣1＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣2；
（2）方程f（x）＝0总有两个不相等的实数根，即为x2﹣alnx＝0，即a＝有两个不相等的实数根，
设g（x）＝，g′（x）＝，当x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜1或1＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得x＝处g（x）取得极小值，且为2e，即有a＞2e，则a的取值范围是（2e，+∞）．
20．证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为菱形，∠ABC＝60°，PA＝PB＝AB＝2，点N为AB的中点．∴PN⊥AB，CN⊥AB，∵PN∩CN＝N，∴AB⊥平面PNC，∵PC?平面PNC，∴AB⊥PC．
解：（2）∵点M为线段PD的中点，平面PAB⊥平面ABCD，又PN⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PN⊥平面ABCD，以N为原点，NB为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），D（，2，0），M（，1，），N（0，0，0），C（0，，0），＝（，1，），＝（0，，0），＝（0，0，），设平面MNC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（，0，﹣），平面NCP的法向量＝（1，0，0），
设二面角M﹣NC﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角M﹣NC﹣P的余弦值为．
21．（1）由（x＞0），得．∵x＝2是函数f（x）的极值点，∴，故．令，解得或x＞2．∴f（x）在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减；
（2）（x＞0），当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，∴恒成立；当m＞1时，求导可知在（1，+∞）上单调递增，故存在x0∈（1，+∞），使得f′（x0）＝0，∴f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，则f（x0）＜0，这与f（x）＞0恒成立矛盾．综上，m≤1．
22．解：（Ⅰ）设B（x0，y0）则C（﹣x0，﹣y0），…………………（1分）
由得，，…………………（2分）
由kAB?kAC＝，即得，，…………（4分）
所以，所以a2＝2，
即椭圆E的标准方程为：…………………（5分）
（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
…………………（6分）

＝，
又l与圆C相切，所以，即…………………（8分）
所以
＝…………………（11分）
所以，，即∠MON＝90°，所以，以线段MN为直径的圆经过原点．…………（12分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/3/21 9:48:47；用户：1583939517邮箱：158393951









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